专题 3.8 圆全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学圆全章复习讲义通过知识梳理模块系统构建知识体系，以框架图形式呈现圆的基本概念、对称性等七个核心知识点，突出垂径定理、切线判定等重难点，清晰展现概念间内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如垂径定理应用结合例题与变式，综合提升题型如圆与几何综合压轴题，配套解题技巧指导培养推理意识与几何直观。同步检测分选择、填空、解答题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题 3.8 圆全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】圆的基本概念 1 【知识点二】圆的对称性 2 【知识点三】确定圆的条件 2 【知识点四】圆周角及其性质 3 【知识点五】直线与圆的位置关系 3 【知识点六】正多边形与圆 3 【知识点七】弧长及扇形的面积 4 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】圆的基本性质与垂径定理应用（基础型） 4 【题型 2】圆周角与圆心角综合计算（高频基础题） 7 【题型 3】切线的判定与性质证明（中考核心题型） 11 【题型 4】弧长与扇形面积计算（计算型题型） 15 三.题型精析（综合提升） 20 【题型 5】圆内接四边形与角度综合计算 20 【题型 6】切线长定理与线段综合计算 25 【题型 7】阴影部分面积拼接计算 30 【题型 8】圆与几何综合压轴（核心提升题型） 34 四.同步检测 41 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 41 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 50 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 55 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】圆的基本概念 1. 圆的定义 （1）动态定义：在平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一端点A运动形成的封闭曲线叫做圆，定点O为圆心，线段OA为半径。 （2）集合定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 2. 圆的相关要素 （1）弦：连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 （2）弧：圆上任意两点间的部分，分为优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）、半圆。 （3）等圆：半径相等的两个圆；等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧。 3. 点与圆的位置关系（设圆半径为r，点到圆心距离为d） 点在圆外⇔d＞r；点在圆上⇔d＝r；点在圆内⇔d＜r。 【知识点二】圆的对称性 1. 对称性质 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。 2. 垂径定理及推论（核心重难点） （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心。 3. 圆心角、弧、弦的关系 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；反之，三组量中任意一组相等，其余两组均相等。 【知识点三】确定圆的条件 1. 确定圆的基本原则 不在同一直线上的三个点确定一个圆；同一直线上的三点无法确定圆。 2. 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。 3. 外心位置规律 锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。 【知识点四】圆周角及其性质 1. 圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半。 3. 重要推论 （1）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 （2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径。 4. 圆内接四边形性质 圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角。 【知识点五】直线与圆的位置关系 1. 三种位置关系（设圆半径r，圆心到直线距离d） 相离⇔d＞r（无交点）；相切⇔d＝r（1个交点）；相交⇔d＜r（2个交点）。 2. 切线的性质与判定（高频考点） （1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3）二推一定理：过圆心、过切点、垂直切线，三者知二推一。 3. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 4. 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆为内切圆，圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，内心到三边距离相等（等于内切圆半径）。 【知识点六】正多边形与圆 1. 基本关系 任意正多边形都有外接圆和内切圆，且两圆同心（圆心为正多边形的中心）。 2. 核心概念 中心角：正n边形每条边所对的外接圆圆心角，度数为；边心距：正多边形中心到边的距离（内切圆半径）。 3. 常见正多边形计算：正三角形、正方形、正六边形的边长、半径、边心距可通过直角三角形勾股定理求解。 【知识点七】弧长及扇形的面积 设圆半径为r，圆心角度数为n° 1. 弧长公式： 2. 扇形面积公式： 3. 圆锥相关拓展：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】圆的基本性质与垂径定理应用（基础型） 【例题1】（25-26九年级上·北京东城·期末）如图，是的弦，半径于点C．若，，求的半径的长． 【答案】17 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 解：连接， 半径于点，， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 的半径的长为． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 【变式2】（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，为的弦，的半径为，于点，交于点，且，则弦的长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，连接，利用线段差求出的长，再通过勾股定理求出的长，即可运用垂径定理求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，AB是的弦，CD是的直径，，垂足为E．如果，，求AB长． 【答案】8 【分析】如图，连接,根据题意，由垂径定理可得，根据勾股定理以及已知条件即可求得，进而求得． 解：如图，连接， CD是的直径，，垂足为E． ， ,， ， ， 在中， ， ． ． 【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 解题技巧：垂径定理问题必作“垂直弦的半径”，构造直角三角形，结合勾股定理求解，注意分类讨论。 【题型 2】圆周角与圆心角综合计算（高频基础题） 【例题2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1）证明：如图：连接 是的直径 ，即 又 ． （2） 【分析】（1）连接，首先证明，即可求解； （2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解． 解：（1）略 （2）的度数为 又，且 ． 【点拨】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 【变式3】（2026·广东佛山·模拟预测）如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：． 【答案】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴（HL）， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】连接，可得，证明，可得，结合，可得，即可得证． 解：略 【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，垂直平分线的性质，HL证明三角形全等，证明是解题的关键． 解题技巧：遇直径想直角，遇同弧找等角，灵活运用圆周角定理及推论。 【题型 3】切线的判定与性质证明（中考核心题型） 【例题3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知为的直径，直线与相切于点A，直线经过上的点B，且，连接交于点M．求证： （1）是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接 ， ，， 为的直径， ， ， ， ， 是的切线； （2）2 【分析】（1）连接，由等边对等角及直径所对的圆周角等于即可证明； （2）根据直线是的切线，根据垂径定理得，根据直径所对的圆周角是直角得，进而得到，最后根据中位线定理即可得出答案． 解：（1）略 （2）解：、是的切线； ，平分， ，， 为的直径， ，即． ， 为中点， ． 【点拨】本题考查了切线的判定和性质，中位线定理，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级下·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 【答案】/50度 【分析】连接，先利用切线的性质得，再根据圆周角定理得，然后利用互余计算的度数． 解：连接，如图所示， 为的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，比连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理． 【变式3】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接OD、CD． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE=DE， ∴∠CDE=∠DCE， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCD+∠DCE=90°， ∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）3 【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案； （2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案． 解：（1）略 （2）解：设⊙O的半径为r， ∵∠ODF=90°， ∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2， 解得：r=3， ∴⊙O的半径为3． 【点拨】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键． 解题技巧：切线判定两种方法：①有切点，连半径、证垂直；②无切点，作垂直、证半径。 【题型 4】弧长与扇形面积计算（计算型题型） 【例题4】（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． （2） 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． 【变式1】（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）    【答案】 【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则，，根据阴影部分面积即可求解． 解：如图所示，连接，设交于点        ∵将沿弦翻折，使点与圆心重合， ∴， 又 ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴, ∴阴影部分面积 故答案为：． 【变式3】（2024·河南南阳·三模）如图，为的直径，的顶点D在上，边交于点C． （1）从①与相切；②；③是的平分线中选择合适的两个作为已知条件，余下的一个作为结论，编制一道题目，并完成证明过程； （2）在（1）的前提下，过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）②③作为条件，①为结论． 证明如下：连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵是的半径． ∴与相切． （答案不唯一：任意两个作为条件，都可以推出第三个） （2） 【分析】（1）②③作为条件，①为结论．连接，由角平分线的定义可出，等边对等角可得出，等量代换可得出，即可证，由平行线的性质可得出，进一步即可证明与相切． （2）由角平分线的性质定理可得出，，由圆周角定理和含直角三角形的性质可出，，由勾股定理求出，，最后由即可得出答案． 解：（1）（1）略 （2）∵是的平分线，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得∶，， ∴ 【点拨】本题主要考查了角平分线的性质定理，切线的性质判定以及性质，平线线的判定以及性质，圆周角定理，含直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积等知识，掌握这些性质是解题的关键． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】圆内接四边形与角度综合计算 【例题5】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． （1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）略 【变式1】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、平行线的性质，对性质的综合应用是解题的关键． 先根据圆周角定理推导出，根据等边对等角得到，，再根据平行线求解． 解：如图所示，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，四边形是的内接四边形，，的长为．则的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则为的直径，， ∴， ∵的长为． 在中，； ∴的半径为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·天津河东·期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径， （1）如图①，连接和，若，求的度数； （2）如图②，连接和，若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再结合得出的度数，最后利用圆内接四边形的性质即可求出的度数； （2）根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理得出，再结合图形计算即可解答． （1）解：是的直径， ， 又， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 的度数为． （2）解：四边形是的内接四边形， ， 又， ，即， 是的直径， ， ， ， 的度数为． 解题技巧：圆内接四边形优先用对角互补、外角等于内对角；遇直径必构造直角三角形，转化角度互余关系。 【题型 6】切线长定理与线段综合计算 【例题6】（2026年浙江省湖州市安吉县中考模拟测试数学试题）已知：为的直径，，弦，直线与相交于点C，弦在上运动且保持长度不变，的切线交于点F． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断与是否相等，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）相等，理由见分析 【分析】（1）如图1，连接，证得是等边三角形，进一步证得即可证得结论； （2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论． 解：（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：与相等，理由如下： 如图2，点E运动至与点B重合时，是的切线， ∵的切线交于点F， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质．作出辅助线构建等边三角形是解题的关键． 【变式1】（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·湖北·阶段检测）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接， 交于点G，且，连接并延长交于点 H，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，圆的性质以及切线长定理，根据题意画出辅助圆是解题的关键．证明得到，即可得到点在以为直径的圆上，与相切时，最大，由勾股定理求出的最大值为，即可得到答案． 解：正方形， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上， 与相切时，最大， 此时， 设，则， 在中，， ， 解得， 的最大值为，故的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． （1）求和的大小； （2）如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】（1），；（2），的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． （1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 解题技巧：切线长模型必连“圆心与切点、圆心与外点”，构造含30°/60°的直角三角形，结合三角函数、勾股定理求解。 【题型 7】阴影部分面积拼接计算 【例题7】（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用菱形的性质得到，过点作于点，结合，通过特殊角的三角函数值求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值； （2）根据图形关系，用菱形的面积减去扇形的面积，计算得到阴影部分的面积． （1）解：如图，过点作于点． 四边形是菱形， ， 在中，， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：由题图可得，． 【变式1】（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，作，再根据平行四边形的性质和已知条件可得是等边三角形，进而得出，然后根据，结合扇形面积公式可得答案． 解：连接，作，于点F， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由，可得， ∴． 【变式2】（2026·吉林白山·二模）在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】/ 【分析】首先求出，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积求解． 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 【变式3】（2026·江苏淮安·二模）如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2） 【分析】（1）如图：连接，利用垂直的定义、圆周角定理可证明、等腰三角形三线合一的性质可证明，易得，再利用切线的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接，过作与F，则，利用含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到；再说明，最后根据求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵为的直径，， ∴， 如图：连接，过作与F，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 解题技巧：圆中阴影面积核心方法：割补法、和差法，将不规则图形转化为扇形、三角形、圆形的常规面积计算。 【题型 8】圆与几何综合压轴（核心提升题型） 核心考法：结合三角形全等、相似、勾股定理、切线性质、圆内接四边形性质，求解线段长度、角度、阴影面积。 【例题8】（25-26九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的外接圆的半径． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）cm 【分析】本题考查圆的综合知识． （1）由平分，得，可得，由平分，得，进而推得即可； （2）先证明，得是等腰直角三角形，得到即可． 解：（1）略 （2）∵， ∴是的直径， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的外接圆的半径为． 【变式1】（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，四边形为矩形，，所以当最小时，即三点共线时，最小，利用勾股定理进行计算，即可得解． 解：连接 ∵四边形为正方形，，为圆O直径， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ ∴当三点共线时，最小， 则：， ∴， ∴， 故选D． 【点拨】本题考查圆上的动点问题．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．同时考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，是一道综合题． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． （1）若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． （2）若，则的度数为________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 （1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． （1）求证：是的切线； （2）若点、的坐标分别为，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求的长。 （4）试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明如下： 连接， ∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2）的半径为 （3） （4） 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可． （1）连接，根据角平分线的性质，则，根据等边对等角，等量代换，则，根据平行线的性质，直角三角形的性质，则，即可； （2）连接，根据题意，则，，设的半径为，得到，，根据勾股定理，则，求出，即可； （3）过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，，根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出，即可； （4）由（3）得，四边形是矩形，，，根据圆的性质，则为的直径，，等量代换，则，根据，即可． 解：（1）略 （2）解：连接， ∵点、的坐标分别为，， ∴，， 设的半径为， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． （3）解：过点作交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． （4），证明如下： 由（3）得，四边形是矩形，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 解题思路：1. 梳理圆的核心性质，转化边角关系；2. 构造直角三角形、相似三角形；3. 分步拆解问题，先证后算。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，为的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025·山东威海·模拟预测）如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据同弧所对的圆周角相等可得：． 解：为的直径， ， ， ， ， ． 3．（2025·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 解：点为的中点， ， ， ， ∵直线与相切， ， ， 故选：． 4．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 5．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 解：连接交于点，连接，如图： ∵拱门所在的与长方形的边相切于点， ∴，，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 7．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为的圆的面积相同，计算后判断即可． 解：①涂色部分的面积是，符合题意； ②涂色部分的面积是，符合题意； ③涂色部分的面积是，符合题意； ④涂色部分的面积是，不符合题意； 即涂色部分的面积是的图有个， 故选：C． 8．（2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、圆的基本概念、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，利用平行线的性质得到，得出，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， 正方形的边长为． 故选：B． 9．（2025·浙江温州·二模）如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，由圆周角定理可知是的直径．设与边的切点为F，连接并延长交于G点，由切线的性质可知，进而可得，由垂径定理可得．设的半径为r，在中，根据勾股定理列方程可求得，则可得，再根据勾股定理可求得，则可得，进而即可得解． 解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，， 连接， ∵， ∴是的直径， ∴O点是的中点， ∵与直线相切， 设与边的切点为F，连接并延长，交于G点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴． 10．（2023·湖北武汉·模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（　　）    A． B． C．15 D． 【答案】A 【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，并结合勾股定理，得出关于AB为未知数的一元二次方程，最后可解得的长．    解：如图，设内切圆的圆心为O、为内切圆的半径， 则四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴①， ∵小正方形内切圆半径为， ∴小正方形的边长为7， ∴小正方形的面积为49， ∴， ∴ 即②， 把①代入②中得 ， ∴， ∴（负值舍去）， ∴大正方形内切圆半径为． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高,解题的关键是利用完全平方公式变形求解． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 【答案】40 【分析】本题考查了圆的概念，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边对等角；根据圆的半径相等再结合等腰三角形的性质求解即可． 解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 【答案】125 【分析】由圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，由此求解即可． 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，根据可得是的直径，则由圆周角定理可得，由切线的性质推出，据此根据直角三角形两锐角互余可得答案． 解：如图所示，连接， ∵，圆O是的外接圆， ∴是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧所对的圆心角是解题的关键． 连接，根据正五边形的性质求出，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解． 解：如图，连接， 五边形是正五边形， ， ． 故答案为：． 17．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，，，先求出的长，再得出点的运动轨迹，利用圆的性质求最值即可． 解：如图，取的中点，连接，，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵在中，，点为斜边的中点， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点与和线段的交点重合时，的值最小，最小值为． 【点拨】本题的难点在于正确找出点的运动轨迹． 18．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意得到第个半圆的直径为，再根据圆的面积公式进行求解即可. 解：由题意，第1个半圆的直径为， 第2个半圆的直径为， 第3个半圆的直径为， 以此类推， 第5个半圆的直径为， 第个半圆的直径为， ∴第5个半圆的面积为，第n个半圆的面积为. （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． （1）求证； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：四边形内接于圆， ， ， ； （2） 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 解：（1）略 （2）解：， ， ． 【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 21．（本小题满分10分）（临考押题卷01-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（浙江专用））如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． （1）求证：平分； （2）已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用．熟练掌握圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用是解题的关键． （1）连结，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）连接交于点H，根据全等三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据弧长公式得到结论． 解：（1）证明：连结， ∵与相切， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴平分； （2）解：连接交于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长． 22．（本小题满分10分）（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． （1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 23．（本小题满分10分）（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，与轴相切于点，与轴相交于点，．双曲线恰好经过圆心，求的值是多少？ 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理和垂径定理求得的长度，连接，利用切线的性质得到矩形，进而得到点的坐标． 解：过点作轴于点，连接，， ∵，， ∴， ∴由垂径定理可知：， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴四边形是矩形， ∵点， ∴， ∴在中，由勾股定理可知：， ∴， ∴的坐标为， ∴， 故． 【点拨】本题考查了反比例函数解析式的确定、垂径定理、切线的性质、矩形的性质、坐标计算等知识，解题的关键是作辅助线，用垂径定理和勾股定理计算点的坐标． 24．（本小题满分12分）（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． （1）当为等腰直角三角形时，求的大小． （2）如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 【答案】（1）；（2）①不变，②， 【分析】（1）由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； （2）①设，则，由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； ②点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，即可求解． （1）解：为等腰直角三角形， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； （2）解：①的大小始终不变，大小为， 设，则， 边关于对称的线段为， ，， ， ， ， ， ； ②由①得， ， 点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， ， ，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 面积最大值是， 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点拨】利用圆的基本性质找出点的运动轨迹和取得最值时点的位置是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.8 圆全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】圆的基本概念 1 【知识点二】圆的对称性 2 【知识点三】确定圆的条件 2 【知识点四】圆周角及其性质 3 【知识点五】直线与圆的位置关系 3 【知识点六】正多边形与圆 3 【知识点七】弧长及扇形的面积 4 二.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】圆的基本性质与垂径定理应用（基础型） 4 【题型 2】圆周角与圆心角综合计算（高频基础题） 5 【题型 3】切线的判定与性质证明（中考核心题型） 6 【题型 4】弧长与扇形面积计算（计算型题型） 7 三.题型精析（综合提升） 8 【题型 5】圆内接四边形与角度综合计算 8 【题型 6】切线长定理与线段综合计算 10 【题型 7】阴影部分面积拼接计算 11 【题型 8】圆与几何综合压轴（核心提升题型） 12 四.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】圆的基本概念 1. 圆的定义 （1）动态定义：在平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一端点A运动形成的封闭曲线叫做圆，定点O为圆心，线段OA为半径。 （2）集合定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 2. 圆的相关要素 （1）弦：连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦。 （2）弧：圆上任意两点间的部分，分为优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）、半圆。 （3）等圆：半径相等的两个圆；等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧。 3. 点与圆的位置关系（设圆半径为r，点到圆心距离为d） 点在圆外⇔d＞r；点在圆上⇔d＝r；点在圆内⇔d＜r。 【知识点二】圆的对称性 1. 对称性质 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是对称中心。 2. 垂径定理及推论（核心重难点） （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心。 3. 圆心角、弧、弦的关系 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；反之，三组量中任意一组相等，其余两组均相等。 【知识点三】确定圆的条件 1. 确定圆的基本原则 不在同一直线上的三个点确定一个圆；同一直线上的三点无法确定圆。 2. 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径）。 3. 外心位置规律 锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。 【知识点四】圆周角及其性质 1. 圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半。 3. 重要推论 （1）同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 （2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径。 4. 圆内接四边形性质 圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角等于它的内对角。 【知识点五】直线与圆的位置关系 1. 三种位置关系（设圆半径r，圆心到直线距离d） 相离⇔d＞r（无交点）；相切⇔d＝r（1个交点）；相交⇔d＜r（2个交点）。 2. 切线的性质与判定（高频考点） （1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3）二推一定理：过圆心、过切点、垂直切线，三者知二推一。 3. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 4. 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆为内切圆，圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，内心到三边距离相等（等于内切圆半径）。 【知识点六】正多边形与圆 1. 基本关系 任意正多边形都有外接圆和内切圆，且两圆同心（圆心为正多边形的中心）。 2. 核心概念 中心角：正n边形每条边所对的外接圆圆心角，度数为；边心距：正多边形中心到边的距离（内切圆半径）。 3. 常见正多边形计算：正三角形、正方形、正六边形的边长、半径、边心距可通过直角三角形勾股定理求解。 【知识点七】弧长及扇形的面积 设圆半径为r，圆心角度数为n° 1. 弧长公式： 2. 扇形面积公式： 3. 圆锥相关拓展：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】圆的基本性质与垂径定理应用（基础型） 【例题1】（25-26九年级上·北京东城·期末）如图，是的弦，半径于点C．若，，求的半径的长． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，为的弦，的半径为，于点，交于点，且，则弦的长是_____． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，AB是的弦，CD是的直径，，垂足为E．如果，，求AB长． 解题技巧：垂径定理问题必作“垂直弦的半径”，构造直角三角形，结合勾股定理求解，注意分类讨论。 【题型 2】圆周角与圆心角综合计算（高频基础题） 【例题2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若的度数为，求的度数． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点，，在上，若，则______度． 【变式3】（2026·广东佛山·模拟预测）如图，锐角是内接三角形，弦，垂足为．在上取点，使，连接，并延长交于点．求证：． 解题技巧：遇直径想直角，遇同弧找等角，灵活运用圆周角定理及推论。 【题型 3】切线的判定与性质证明（中考核心题型） 【例题3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知为的直径，直线与相切于点A，直线经过上的点B，且，连接交于点M．求证： （1）是的切线； （2）若，求的长． 【变式1】（23-24九年级下·重庆·阶段检测）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式2】（25-26九年级下·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 【变式3】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 解题技巧：切线判定两种方法：①有切点，连半径、证垂直；②无切点，作垂直、证半径。 【题型 4】弧长与扇形面积计算（计算型题型） 【例题4】（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． （1）如图1，求证：；（2）如图2，若，，求的长． 【变式1】（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留与根号）    【变式3】（2024·河南南阳·三模）如图，为的直径，的顶点D在上，边交于点C． （1）从①与相切；②；③是的平分线中选择合适的两个作为已知条件，余下的一个作为结论，编制一道题目，并完成证明过程； （2）在（1）的前提下，过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】圆内接四边形与角度综合计算 【例题5】（25-26九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，，连接． （1）求的度数；（2）求证：． 【变式1】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，弦，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，四边形是的内接四边形，，的长为．则的半径为______． 【变式3】（24-25九年级上·天津河东·期末）已知四边形是的内接四边形，是的直径， （1）如图①，连接和，若，求的度数； （2）如图②，连接和，若，求的度数． 解题技巧：圆内接四边形优先用对角互补、外角等于内对角；遇直径必构造直角三角形，转化角度互余关系。 【题型 6】切线长定理与线段综合计算 【例题6】（2026年浙江省湖州市安吉县中考模拟测试数学试题）已知：为的直径，，弦，直线与相交于点C，弦在上运动且保持长度不变，的切线交于点F． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断与是否相等，并说明理由． 【变式1】（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【变式2】（23-24九年级上·湖北·阶段检测）如图，正方形的边长为4，E，F分别是边，上的点，连接， 交于点G，且，连接并延长交于点 H，则的最小值是__________． 【变式3】（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． （1）求和的大小； （2）如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 解题技巧：切线长模型必连“圆心与切点、圆心与外点”，构造含30°/60°的直角三角形，结合三角函数、勾股定理求解。 【题型 7】阴影部分面积拼接计算 【例题7】（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·吉林白山·二模）在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【变式3】（2026·江苏淮安·二模）如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 解题技巧：圆中阴影面积核心方法：割补法、和差法，将不规则图形转化为扇形、三角形、圆形的常规面积计算。 【题型 8】圆与几何综合压轴（核心提升题型） 核心考法：结合三角形全等、相似、勾股定理、切线性质、圆内接四边形性质，求解线段长度、角度、阴影面积。 【例题8】（25-26九年级上·广东韶关·期中）如图，在中，点是外心，和的平分线交于点，延长交的外接圆于点，连接． （1）求证：；（2）若，，求的外接圆的半径． 【变式1】（25-26九年级下·湖北孝感·阶段检测）如图，在正方形中，，以边为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，于点F，于点P，设，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． （1）若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． （2）若，则的度数为________． 【变式3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． （1）求证：是的切线； （2）若点、的坐标分别为，，求的半径； （3）在（2）的条件下，求的长。 （4）试探究线段、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 解题思路：1. 梳理圆的核心性质，转化边角关系；2. 构造直角三角形、相似三角形；3. 分步拆解问题，先证后算。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，为的直径，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·模拟预测）如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 7．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江温州·二模）如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2023·湖北武汉·模拟预测）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（　　）    A． B． C．15 D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是弦，C是上一点，连结并延长交于点D，连接，，．若，，则的度数为______度． 12．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，于E，，，则的半径为___________． 13．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 14．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，四边形是的内接四边形，已知，则______． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是_______． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 17．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 18．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，从原点A开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；…，按此规律，继续画半圆，则第5个半圆的面积为__，第n个半圆的面积为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·全国·课堂例题）如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． （1）求证； （2）若，，求的度数． 21．（本小题满分10分）（临考押题卷01-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（浙江专用））如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． （1）求证：平分； （2）已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 22．（本小题满分10分）（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23．（本小题满分10分）（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，与轴相切于点，与轴相交于点，．双曲线恰好经过圆心，求的值是多少？ 24．（本小题满分12分）（2026·江苏扬州·一模）如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． （1）当为等腰直角三角形时，求的大小． （2）如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $