专题 1.3 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质基础知识专项突破讲与练（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质，系统梳理开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性及与y=ax²的平移关系，构建从基础性质到综合应用的学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，夯实基础部分通过例题与变式强化单一性质应用，巩固提升融入几何综合培养推理意识，易错点总结助力抽象能力养成。同步检测多样化题型辅助课中教学，课后可帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 1.3 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数的图象与性质 1 【知识点二】二次函数的图象与性质 2 【知识点三】二次函数与的平移关系 2 【知识点四】本节易错重点（必记） 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 3 【题型 2】二次函数的增减性 5 【题型 3】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 7 【题型 4】二次函数的增减性 10 【题型 5】二次函数和二次函数的平移关系 12 三.题型精析（巩固提升） 15 【题型 6】二次函数的图象与性质综合 15 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 18 四.同步检测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 33 一.知识梳理 【知识点一】二次函数的图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值情况 当 时，，无最大值 当 时，，无最小值 增减性 1. ， 随 增大而减小； 2. ， 随 增大而增大 1. ， 随 增大而增大 2. ， 随 增大而减小 图象 平移 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 【知识点二】二次函数的图象与性质 函数 性质 （开口向上） （开口向下） 开口 方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 坐标 最值 时， 时， 增减性 1.对称轴左侧：，随增大而减小2.对称轴右侧：，随增大而增大 1.对称轴左侧：，随增大而增大2.对称轴右侧：，随增大而减小 平移 规律 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 【知识点三】二次函数与的平移关系 1. 基础平移关系：抛物线 经过上下平移可得到 ： 当 ：向上平移个单位，得到 ； 当 ：向下平移个单位，得到 。 2. 逆向平移关系 抛物线 ：，向下平移个单位；，向上平移个单位；即可得到 。 【知识点四】本节易错重点（必记） 1：h符号陷阱： 即 ，对称轴为 ，顶点横坐标为； 2：平移口诀：括号内左加右减，括号外上加下减，切勿混淆； 3：增减性判断：永远以对称轴 为分界线，不是以； 4：开口宽窄：只与有关，与无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题1】（25-26九年级上·湖北黄石·开学考试）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） 【答案】（1）答案见分析；（2）答案见分析；（3）答案见分析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a（x－h）2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 解：（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7）． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为（-3，6） 【点拨】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据抛物线的性质由得到图像开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线． 解：二次函数中的，则其图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，二次函数的最大值为0， 故选项A、B、D说法不正确，选项C说法正确． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的顶点坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）抛物线经过点． （1）求的值； （2）写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】（1）；（2）顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． 解：（1）解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； （2）∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 【题型 2】二次函数的增减性 【例题2】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】（1）此抛物线的解析式为；（2）①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 解：（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 【变式1】（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 解：依题意得：二次函数的对称轴为：， ， ， 当时，， 故选A． 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式：________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 解：根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： （答案不唯一）． 【变式3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线的对称轴是直线，且过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 【答案】（1）；（2）当时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值0 【分析】此题考查的是二次函数的综合题， （1）根据对称轴为直线可知抛物线为，将代入解析式中，即可求出结论； （2）根据二次函数的图象及性质由对称轴位置、顶点坐标和开口方向，即可求出结论． 解：（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线为 又∵抛物线过点， ∴， 即， 解得 ， 所以该抛物线的解析式为． （2）∵， ∴开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值， ∵抛物线的顶点为， ∴当时，函数有最大值． 【题型 3】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）开口方向： ； （2）对称轴： ； （3）顶点坐标： ． 【答案】（1）向上；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式性质解答即可﹒ （1）根据，即可得到抛物线开口向上； （2）由抛物线顶点式即可得到对称轴为直线； （3）由抛物线顶点式即可得到顶点坐标为﹒ 解：（1）解：∵， ∴抛物线开口向上﹒ 故答案为：向上； （2）解：由抛物线解析式可得到抛物线对称轴为直线﹒ 故答案为：； （3）解：由抛物线解析式可得到抛物线顶点坐标为﹒ 故答案为： 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）关于抛物线的情况描述正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 B．开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式的性质进行解答即可． 解：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， 对称轴为：， 顶点坐标为：， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数：决定开口方向，对称轴为，顶点坐标为；是解本题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）二次函数 的开口方向是____，顶点坐标是____，对称轴是__． 【答案】 向上 直线 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系，以及二次函数的图象和性质可直接得出答案． 解：∵二次函数中，， ∴开口向上， 由可知，顶点坐标是，对称轴是直线， 故答案为：向上，，直线． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为；（2） 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 解：（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 【题型 4】二次函数的增减性 【例题4】（23-24九年级上·广东深圳·阶段检测）先用描点法画出抛物线函数图像，并回答以下问题 （1）列表 x y （2）函数的开口方向____，顶点坐标是______，对称轴是________，当时，y随x的增大而增大；当_____ 时，y有最______值，这个值是______． 【答案】（1）见分析；（2）向下；；直线；；大；4 【分析】本题主要考查画二次函数图象以及运用二次函数的图象与性质解决问题： （1）根据列表、描点、连线画出函数图象即可： （2）根据函数图象结合二次函数的图象与性质解决问题即可 解：（1）解： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 4 3 0 ⋯ 描点、连线得， （2）解：根据图象得： 函数的开口方向向下，顶点坐标是，对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大；当时，y有最大值，这个值是4． 故答案为：向下；；直线；；大；4 【变式1】（23-24九年级上·北京密云·期中）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．当时，y随x增大而减小 B．当时，y随x增大而增大 C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∵二次函数的图象为一条抛物线，当时，随的增大而减小，时，随增大而增大， ∴正确， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，主要包括：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减性，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式性质，结合条件，直接得出开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性． 解：由抛物线是顶点式，可写为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小． 故答案为：向下；，，，． 【变式3】（25-26九年级上·吉林·阶段检测）已知抛物线． （1）若当时，随着的增大而减小，则的最小值是___________； （2）已知点的坐标为，若点在抛物线上，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴，求解即可； （）把点坐标代入函数表达式，即可求解． 解：（1）解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，随着的增大而减小， ∴， 则的最小值为； （2）∵点在抛物线上， ∴把代入抛物线解析式可得： ， ∴当时，解得； 当时，解得； 即的值为或． 【题型 5】二次函数和二次函数的平移关系 【例题5】（24-25九年级上·全国·单元测试）把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度． （1）写出平移后的抛物线的解析式； （2）指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？ 【答案】（1）；（2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的平移问题： （1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）平移后的抛物线解析式开口向下，则在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，据此可得答案． 解：（1）解：把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为； （2）解：∵平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵平移后的抛物线解析式开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x 的增大而减小， 又∵对称轴为直线， ∴当y随x 的增大而减小时，． 【变式1】（2025·四川成都·二模）要得到二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的图象，需将y＝﹣2x2的图象（       ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位； B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移1个单位； D．向左平称1个单位，再向上平移2个单位 【答案】C 【分析】先确定两二次函数的顶点坐标，根据平移特征，上加下减，左减右加，得出顶点坐标的变化规律即可. 解：原二次函数y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），新二次函数y=-2（x-1）2-1的顶点坐标为（1，-1）， ∴将原抛物线向右平移1个单位，再向下平移1个单位可得到新抛物线． 故选C． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，平移特征，熟记平移规律和顶点坐标是解题关键. 【变式2】（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 【变式3】（24-25九年级上·河南周口·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3单位长度． （1）求平移后所得抛物线的顶点坐标． （2）当时，求平移后所得抛物线的函数值的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移： （1）将变形为顶点式，再根据平移方式求出平移后的表达式，即可得出平移后的顶点坐标； （2）根据平移后的解析式判断抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，结合x的取值范围，可得的取值范围． 解：（1）解： ， 抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3单位长度得到的抛物线的表达式为， 平移后所得抛物线的顶点坐标为． （2）解：平移后所得抛物线的表达式为， 平移后的抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 当时，函数值随的增大而增大；当时，函数值随的增大而减小． 当时，； 当时，． 综上，当时，函数值的取值范围为． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】二次函数的图象与性质综合 【例题6】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在二次函数中． （1）若函数图象过点，则的值为 ； （2）当时，有最小值为，求的值． 【答案】（1）或；（2）的值为或． 【分析】（）把点代入二次函数解析式，然后解一元二次方程即可； （）由函数得抛物线对称轴为直线，然后分当时当时当时三种情况分析即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：（1）解：∵二次函数图象过点， ∴，整理得： 解得：，， 故答案为：或； （2）解：由函数， ∴抛物线对称轴为直线， 当时， 即时有最小值， ∴，解得：， ∴； 当时， 即时有最小值， ∴不符合题意； 当时， 即时有最小值， ∴，解得：或， ∴； 综上可知：的值为或． 【变式1】（25-26九年级上·云南·期末）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，从解析式中准确提取信息是解题关键． 根据中、、的意义，结合抛物线的开口方向、平移规律、增减性及最值来逐一判断选项． 解：抛物线的解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， 对于选项：∵， ∴抛物线开口向上，选项正确； 对于选项：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移个单位得，再向下平移个单位得，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，顶点为最低点， ∴当时，有最小值，而非最大值，选项错误． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点． （1）求该二次函数的表达式（结果写顶点式）； （2）当时，求y的取值范围； （3）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查用顶点式二次函数解析式，二次函数的图象及性质． （1）设二次函数顶点式，把相应点代入即可求得； （2）由抛物线的开口方向及对称轴确定时，的取值范围； （3）求出当时，当时的值，再结合函数图象及可求解． 解：（1）解：设二次函数的解析式为； 把代入解析式得， 解得； ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵，顶点为， ∴开口向上，当时，y有最小值为； ∵当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：当时，，解得：或； 当时，，解得：或； 由于二次函数开口向上，当 时，的取值范围为：或． 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题7】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标； （2）试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 【答案】（1），；（2）点P的坐标为；的周长最小值为． 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的解析式，二次函数与面积综合，求出点P的坐标是解本题的关键． （1）将点A坐标代入抛物线解析式中，求出a，根据，直接得出B点的坐标，即可得出结论； （2）利用对称性得出，再求出直线的解析式为，在根据勾股定理算出，，即可作答． 解：（1）解：∵抛物线的图象与y轴交于点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴顶点B的坐标为； （2）解：由（1）得顶点B的坐标为， 如图，      ∵是定值，的周长要最小， ∴最小， 作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P， 即：点P为所求作的点； ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，得 则， ∴点P的坐标为； ∵，，， 则， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1）_______． （2）周长的最小值为_______． 【答案】 8 【分析】（1）将代入得，计算即可得解； （2）由二次函数解析式可得二次函数的对称轴为直线，求出，得到，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接，则，由轴对称的性质可得：，的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小，再由勾股定理求出的长即可得解． 解：（1）将代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， 如图，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于，连接， ， 则， 由轴对称的性质可得：， ∴的周长，由两点之间线段最短可得此时的周长最小， ∵， ∴的周长的最小值， 故答案为：． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式3】（2025·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且）与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），与轴交于点， （1）若，且． （i）求抛物线的函数表达式； （ii）平移抛物线，使平移后的抛物线的顶点在线段上，且经过点，求点的横坐标； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）（1）（i）；（ii）；（2） 【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数解析式及二次函数解析式、二次函数的最值问题． （1）（i）根据抛物线与坐标轴交点坐标可以确定抛物线的函数表达式为，如何将代入求出即可， （ii）设的坐标为（t，h），抛物线为，求出直线的函数表达式为，进而可得即，在由抛物线经过点，可得，进而求解． （2）根据已知可知：点，代入解析式，化简可得，进而可得，从而求解． （1）解：（i），抛物线与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），， ，点的坐标为，点的坐标为， ，即抛物线的函数表达式为， ， ∴二次函数的函数表达式为； （ii）设的坐标为（t，h），则抛物线为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴直线的函数表达式为， ∵顶点在线段上 ∴ ，即， ∵抛物线经过点， ，解得（不合题意，舍去）， 即点的横坐标为； （2）设，， ，即， 将代入，得． 由题意得， ，即， ，， 当时，的最小值为． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断． 解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意； B、，顶点坐标为，本选项不符合题意； C、，顶点坐标为，本选项符合题意； D、，顶点坐标为，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 解：A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 5．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的相关性质（对称轴、顶点坐标、开口方向与增减性、最值的关系）判断各选项． 解：∵抛物线解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， ∴对称轴为直线，故A选项错误， 顶点坐标为，故B选项错误， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，故C选项正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，故D选项错误， 故选：C． 6．（25-26九年级上·全国·期末）现有一组抛物线：，…，则这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点及一次函数的性质，设这组抛物线的顶点为，再代入各个选项一一判断即可． 解：由题意可设这组抛物线的顶点为， A、将代入中，得，顶点在直线上，本选项符合题意； B、将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； C、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意； D、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意； 故选：A 7．（25-26九年级上·广东广州·期末）将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，抛物线平移时，向下平移改变y值，向左平移改变x值，先求原顶点坐标，再根据平移方向计算新顶点，最后写出新解析式． 解：∵ 原抛物线 的顶点为 ， ∴ 向下平移4个单位后，顶点变为 ， ∴ 再向左平移3个单位后，顶点变为 ， ∴ 新抛物线的解析式为 ， 故选A． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图像上、二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表： 下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②这个函数的最大值大于； ③点的坐标是； ④当，时， 其中正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可得答案． 解：将，代入得： ， 解得：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 故①错误，②正确． 点坐标为， 点的坐标为， 故③错误 ，， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 故④正确； 故选：C （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 12．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的开口方向确定的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·云南·期中）若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是________．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，掌握抛物线上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将，，分别代入，再比较即可． 解：把，，分别代入， 得：，，． ∵， ∴． 故答案为：． 14．（25-26九年级下·广东河源·开学考试）已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可． 解：， ∴顶点坐标为， ∵函数图象开口向下， ∴当时，函数值y随x的增大而增大，此时的取值范围是． 故答案为： 15．（2025·上海·一模）将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的平移、二次函数的性质，根据二次函数图像平移的法则“左加右减，上加下减”，先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，原函数的顶点相应平移，即可得到新抛物线的顶点坐标． 解：将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， ∴所得抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）如图，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、矩形的性质，先利用抛物线的顶点式求出顶点坐标为，再根据矩形的性质得到，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得出答案． 解：∵抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为， ∵矩形， ∴， ∵轴于点C， ∴当点A在抛物线的顶点时，有最小值，最小值为3， ∴对角线的最小值为3． 故答案为：3． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数图象上总存在一点，使得，就称为该抛物线的“开口大小”，则抛物线的“开口大小”为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，理解抛物线的“开口大小”是解题关键．根据抛物线的“开口大小”定义，存在点 满足，且点在抛物线上，代入顶点式可得，结合条件得，因，故，即，因此开口大小为，对于给定抛物线，直接识别系数即可计算． 解：由定义，存在点 使得，且， ， 代入条件得， ， 两边除以，得，即， 开口大小， 抛物线 的二次项系数， ， 开口大小为 ， 故答案为： 4． 18．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）抛物线经过点，且对称轴与线段有交点，点，，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得，将代入抛物线解析式得出，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 解：∵抛物线的对称轴与线段有交点，点，， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大为，当时，，当时，， ∴的取值范围是， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． （1）求，的值； （2）说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1），；（2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 解：（1）因为平移不改变图象的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点拨】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向、对称轴． （2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． （3）设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线；（2）函数y有最小值，最小值为；（3） 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和最值，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． （1）根据函数表达式即可解决问题． （2）由抛物线开口向上，结合函数表达式解决问题． （3）令即可求解． 解：（1）解：∵抛物线，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线； （2）解：∵，且顶点坐标为 ∴函数y有最小值，最小值为； （3）解：在中，令，则， ∴． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 解：（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点. （1）请直接写出点A，B的坐标及该抛物线的解析式：A ，B ， . （2）连接、，求的面积； （3）将抛物线向上平移个单位，使顶点落在直线上，求平移后的抛物线解析式． 【答案】（1）；；；（2）；（3）平移后的抛物线为： 【分析】（1）把代入求出A的坐标，可得抛物线的解析式，再求出直线与抛物线的交点坐标即可； （2）如图，连接，，，求解顶点，求解，，，结合，从而可得答案； （3）由题意可得平移后的顶点坐标为：把代入中，，则平移后的抛物线的顶点坐标为：，从而可得答案. 解：（1）解：∵直线， 当时，， ∴A的坐标是， ∴，解得：， 抛物线的解析式是． ∴，解得：或， 联立直线与抛物线解析式可得B点坐标为. （2）如图，连接，，，    ∵， ∴顶点， ∵，， ∴，，， ∴； （3）由题意可得平移后的顶点坐标为： 把代入中，， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：， ∴平移后的抛物线为：； 【点拨】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点坐标，坐标与图形，二次函数的图象平移，掌握以上基础知识是解本题的关键. 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西赣州·期中）平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入，将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解； （2）先求出原抛物线关于y轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解； 解：（1）当时，抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为， ∵，对称轴为直线，， 又， ∴，新二次函数取得最大值0． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）对称轴为直线、顶点坐标为；（3）存在点，使得的面积最大，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把（1）中解析式化为顶点式，即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作轴交直线于点E，设点P的坐标为，则，可得，然后根据，结合二次函数的性质解答即可． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴该二次函数的对称轴为直线、顶点坐标为； （3）解：存在点，使得的面积最大， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交直线于点E， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，此时点P的坐标为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】二次函数的图象与性质 1 【知识点二】二次函数的图象与性质 2 【知识点三】二次函数与的平移关系 2 【知识点四】本节易错重点（必记） 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 3 【题型 2】二次函数的增减性 4 【题型 3】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 4 【题型 4】二次函数的增减性 5 【题型 5】二次函数和二次函数的平移关系 6 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型 6】二次函数的图象与性质综合 7 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 7 四.同步检测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.知识梳理 【知识点一】二次函数的图象与性质 函数性质 （开口向上） （开口向下） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值情况 当 时，，无最大值 当 时，，无最小值 增减性 1. ， 随 增大而减小； 2. ， 随 增大而增大 1. ， 随 增大而增大 2. ， 随 增大而减小 图象 平移 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 向右平移 个单位（） 向左平移 个单位（） 【知识点二】二次函数的图象与性质 函数 性质 （开口向上） （开口向下） 开口 方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点 坐标 最值 时， 时， 增减性 1.对称轴左侧：，随增大而减小2.对称轴右侧：，随增大而增大 1.对称轴左侧：，随增大而增大2.对称轴右侧：，随增大而减小 平移 规律 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 由 先左右平移个单位，再上下平移个单位 【知识点三】二次函数与的平移关系 1. 基础平移关系：抛物线 经过上下平移可得到 ： 当 ：向上平移个单位，得到 ； 当 ：向下平移个单位，得到 。 2. 逆向平移关系 抛物线 ：，向下平移个单位；，向上平移个单位；即可得到 。 【知识点四】本节易错重点（必记） 1：h符号陷阱： 即 ，对称轴为 ，顶点横坐标为； 2：平移口诀：括号内左加右减，括号外上加下减，切勿混淆； 3：增减性判断：永远以对称轴 为分界线，不是以； 4：开口宽窄：只与有关，与无关。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题1】（25-26九年级上·湖北黄石·开学考试）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） （2） （3） 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点是 D．函数有最小值0 【变式2】（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）二次函数的顶点坐标是_________． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）抛物线经过点． （1）求的值； （2）写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【题型 2】二次函数的增减性 【例题2】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【变式1】（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（   ） A． B． C． D．0 【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式：________________． 【变式3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）已知抛物线的对称轴是直线，且过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 【题型 3】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）开口方向： ； （2）对称轴： ； （3）顶点坐标： ． 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）关于抛物线的情况描述正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 B．开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【变式2】（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）二次函数 的开口方向是________，顶点坐标是________，对称轴是______． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 【题型 4】二次函数的增减性 【例题4】（23-24九年级上·广东深圳·阶段检测）先用描点法画出抛物线函数图像，并回答以下问题 （1）列表 x y （2）函数的开口方向____，顶点坐标是______，对称轴是________，当时，y随x的增大而增大；当_____ 时，y有最______值，这个值是______． 【变式1】（23-24九年级上·北京密云·期中）关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．当时，y随x增大而减小 B．当时，y随x增大而增大 C．当时，y随x增大而减小 D．当时，y随x增大而增大 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）抛物线的开口方向是_________，顶点坐标是___________，对称轴是直线___________．当x__________时，函数y随x的增大而增大；当x__________时，函数y随x的增大而减小． 【变式3】（25-26九年级上·吉林·阶段检测）已知抛物线． （1）若当时，随着的增大而减小，则的最小值是___________； （2）已知点的坐标为，若点在抛物线上，求的值． 【题型 5】二次函数和二次函数的平移关系 【例题5】（24-25九年级上·全国·单元测试）把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度． （1）写出平移后的抛物线的解析式； （2）指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？ 【变式1】（2025·四川成都·二模）要得到二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的图象，需将y＝﹣2x2的图象（       ） A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位； B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移1个单位； D．向左平称1个单位，再向上平移2个单位 【变式2】（2026·宁夏吴忠·三模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【变式3】（24-25九年级上·河南周口·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3单位长度． （1）求平移后所得抛物线的顶点坐标． （2）当时，求平移后所得抛物线的函数值的取值范围． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】二次函数的图象与性质综合 【例题6】（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在二次函数中． （1）若函数图象过点，则的值为 ； （2）当时，有最小值为，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·云南·期末）对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【变式2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且与y轴交于点． （1）求该二次函数的表达式（结果写顶点式）； （2）当时，求y的取值范围； （3）当时，求x的取值范围． 【题型 7】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题7】（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线的图象与y轴交于点，顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标； （2）试在x轴上求一点P，使得的周长取最小值． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，O是坐标系的原点，P是该二次函数图象对称轴上一动点． （1）_______． （2）周长的最小值为_______． 【变式3】（2025·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且）与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），与轴交于点， （1）若，且． （i）求抛物线的函数表达式； （ii）平移抛物线，使平移后的抛物线的顶点在线段上，且经过点，求点的横坐标； （2）若，求的最小值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北邢台·期末）下列抛物线的顶点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 5．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 6．（25-26九年级上·全国·期末）现有一组抛物线：，…，则这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 7．（25-26九年级上·广东广州·期末）将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 9．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线，分别交这两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则的值为（   ） A．9 B． C．10 D． 10．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图像与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图像上、二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如表： 下列结论： ①抛物线的对称轴是直线； ②这个函数的最大值大于； ③点的坐标是； ④当，时， 其中正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．②④ D．①②④ （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26九年级上·河南南阳·期末）写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 12．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是__________． 13．（24-25九年级上·云南·期中）若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是________．（用“<”连接） 14．（25-26九年级下·广东河源·开学考试）已知二次函数当函数值y随x的增大而增大时，y的取值范围是____________． 15．（2025·上海·一模）将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点为______． 16．（25-26九年级上·湖北宜昌·期中）如图，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）若二次函数图象上总存在一点，使得，就称为该抛物线的“开口大小”，则抛物线的“开口大小”为_____． 18．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）抛物线经过点，且对称轴与线段有交点，点，，则的取值范围是___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·全国·课后作业）已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． （1）求，的值； （2）说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·广西河池·期中）已知抛物线． （1）写出该抛物线的开口方向、对称轴． （2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（或最小）值． （3）设抛物线与y轴的交点为P，求点P的坐标． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点. （1）请直接写出点A，B的坐标及该抛物线的解析式：A ，B ， . （2）连接、，求的面积； （3）将抛物线向上平移个单位，使顶点落在直线上，求平移后的抛物线解析式． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西赣州·期中）平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）请求出该二次函数的对称轴、顶点坐标． （3）在直线下方抛物线上是否存在点，使得的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $