3.3 幂函数 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数的概念、图象及性质，通过购物支付、正方形面积等5个现实实例导入，引导学生观察共同特征，抽象出幂函数定义，衔接函数概念，为性质探究搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动贯穿教学，通过实例抽象概念培养数学眼光，对比y=x、y=x²等图象归纳性质发展数学思维，例题习题结合生活情境强化数学语言表达。采用图表归纳性质、分层例题设计，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂互动，提升教学效率。

人教A版必修一数学教学同步课件 第三章 函数的概念与性质 3 . 3 幂函数 学习目标 1. 通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式； 2. 结合幂函数y=x、y=x2、y=x3、y=x-1, y=的图象,理解它们的变化规律； 3. 能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小； 4. 能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题。 (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w千克，那么他需要支付的钱 元，这里P是w的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 ，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积 ，这里V是b的函数； (4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长 ，这里a是S的函数； (5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度 km/s，这里v是 t的函数。 新课导入 观察以下各个函数有什么共同的特征？ P=w S=a2 V=b3 a= v=t -1 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 （4）自变量x前面的系数为1，幂xα前面的系数为1. （1）解析式都是幂的形式； （2）幂的底数为自变量； （3）幂的指数为常数； 实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数. 新课导入 以上函数有什么共同的特征？ 幂函数 知识点一:幂函数的定义 一般地,函数　　　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  y=xα 幂函数的特征 (1)xα的系数为1; (2)xα的底数是自变量x,指数α为常数; 幂函数是一个形式化的定义,为复合函数作铺垫. 幂函数 幂函数的判断方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1; (2)指数为常数.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式. 问题探讨 函数 ,y=3x2中,哪些是幂函数? 函数 =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数. 典型例题 【例1】在函数中，幂函数的个数为（ ） 解析：其中的定义域为R，而中，所以不是幂函数. B 对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.现请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性） 思考1：我们已经学习过函数的哪些性质？ 思考2：根据以往学习函数的经验，结合着函数图象，来找一找这5个函数的“异同”点. 幂函数图像 ①只有a=1时图象才是直线； ②图象一定会出现在第一象限， 一定不会出现在第四象限； ③图象一定经过 (1,1) 这个定点； ④第一象限内 ，在x=1的右侧a由上到下递减. ⑥时，图象在第一象限下降,函数在区间上是减函数； ⑤时，图象在第一象限上升,函数在区间上是增函数； ⑦在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低） ⑧在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）； 幂函数图像 幂函数性质 解析式 y=xα （a 图像 a a 性质 定义域 定点 单调性 奇偶性 a和a两种情况下幂函数的图象变化及性质表： 在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关 图象过点(0，0)和点(1，1) 图象过点(1，1) 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 在第一象限，图象单调递增 在第一象限，图象单调递减 与a的取值有关 幂函数性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R 　　　  (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R 　　　  R 　　　  (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 　 　  　　　  奇函数 　　　  　　　  单调性 在R上单调递增 在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减 在R上单调递增 在[0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减 定点 　　　  [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) 奇函数 偶函数 非奇非偶 函数 奇函数 (1,1) 问题探讨 1. 幂函数的图象一定过定点吗?     2.为何要特别研究幂函数在第一象限内的图象? 因为无论α取何值y=xα,当x=1时,1α=1,因此幂函数的图象一定过定点(1,1). 因为第一象限意味着自变量x>0,对于幂函数来说更具有普遍性,研究更具有价值. 比较幂大小的三种常用方法 比较幂函数 【例2】 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b A 解析 由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a. 典型例题 典型例题 【例3】 比较下列各组中两个数的大小: 课堂习题 1.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, ),则下列关于f(x)的说法正确的是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.定义域为(0,+∞) D.在(0,+∞)上单调递增 D 课堂习题 2.已知函数f(x)=(m2-2m-2)xm+2,则“m=3”是“f(x)是幂函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 ∵函数f(x)=(m2-2m-2)xm+2,由“m=3”,推出m2-2m-2=1,f(x)=x5,即“f(x)是幂函数”,故充分性成立;由“f(x)是幂函数”,可得m2-2m-2=1,求得m=3或m=-1,故必要性不成立,故函数f(x)=(m2-2m-2)xm+2,则“m=3”是“f(x)是幂函数”的充分不必要条件.故选A. 课堂习题 3.(多选题)已知幂函数y=xα的大致图象如图所示,则α值可能为(　　) AC 解析 根据幂函数y=xα的图象在第一象限内是单调增函数,且关于原点对称,通过与直线y=x的图象比较知,0<α<1,且幂函数为奇函数;所以由选项知,α值可能为 .故选AC. 课堂习题 4.设命题p:幂函数 在(0,+∞)内单调递减,命题q:关于x的不等式mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立. 若命题q为真命题,求实数m的取值范围; 解当m=0时,不等式为-4<0恒成立,满足题意; 当m≠0时,要使二次不等式mx2+4mx-4<0恒成立, 综上,-1<m≤0,所以实数m的取值范围为(-1,0]. 课后作业 1. 完成课本第91页练习题以及习题3.3; 2. 预习课本 3.4函数的应用（一）的内容. y= y= (1)(与(; (2)(-)-1与(-)-1. 解(1)∵幂函数y=在[0,+∞)上单调递增, 又,∴(>(. (2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减, 又-<-,∴(-)-1>(-)-1. 解析 设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)图象过点(2,),∴2α=,∴α=,∴幂函数f(x)=.∵>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴选项D正确;∵幂函数f(x)=的定义域为[0,+∞),函数图象不关于原点对称,也不关于y轴 对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,∴选项A,B,C错误,故选D. A. B. C. D.3 则解得-1<m<0. f (x)= $