3.3 幂函数 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数，涵盖概念、图象与性质及单调性应用。通过5个生活实例导入，引导学生观察共同特征，建立从具体到抽象的学习支架，衔接函数概念与性质的学习脉络。 特色在于以问题驱动结合图表归纳，培养数学眼光（抽象实例特征）、数学思维（推理单调性与奇偶性）。例题分层设计，从定义判断到综合应用，帮助学生系统掌握，教师可提升教学效率，学生发展探究与应用能力。

3.3 幂函数 第三章 <<< 1.掌握幂函数的概念.(重点) 2.掌握幂函数y=x 的图象与性质.(重点) 3.会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点) 学习目标 幂函数的概念 下面几个实例,观察它们得出的函数解析式,有什么共同特征? (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 kg,那么她需要支付p= 元,这里p是 的函数; (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数; (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c=,这里c是S的函数; (5)如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v= km/s,即v=t-1,这里v是t的函数. 问题1 提示 这些函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数. 1.幂函数的概念 一般地,函数 叫做幂函数,其中x是 , 是 . y=x 自变量 常数 2 幂函数的特征 (1) 的系数为1;(2) 的底数是自变量;(3) 的指数为常数. (牢记三个特征,快速判断一个函数是否为幂函数) 只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数.对于形如 , , 等的函数都不是幂函数. 知识剖析 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 为常数 的形 式.反过来,若一个函数为幂函数,则该函数也必具有这一形式,这也是我们解决某 些问题的一个隐含条件. 7 思考辨析 函数f(x)=x0是幂函数吗?它的奇偶性是怎样的? 提示 函数f(x)=x0是幂函数,定义域为{x|x≠0},f(-x)=f(x)=1,是偶函数. 例1 1.判断正误.(正确的画√,错误的画 ) (1)函数f(x)=x2与函数f(x)=-x2都是幂函数.( ) (2)所有二次函数都是幂函数.( ) 2.下列所给的函数中是幂函数的为( ) A.y=2x5 B.y=x3+1 C.y=x-3 D.y=3x C 例2 在函数,,, 中,幂函数的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】函数 为幂函数; 函数中 的系数不是1,所以它不是幂函数; 函数不是 是常数 的形式,所以它不是幂函数; 函数与不相等,所以 不是幂函数. 10 例3 [2026广东惠州期中]若函数是幂函数,且满足 ,则 的值为( ) B A.8 B.16 C.24 D.12 【解析】 设 为常数,因为 ,所以 ,得,所以,则 , 故选B. 11 例4 已知函数为幂函数,则实数 的值为( ) C A.或2 B.或1 C. D.1 【解析】 因为为幂函数,所以 ,即 或.又,所以 . 12 幂函数的图象与性质 你能在同一坐标系下作出y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1这五个函数的图象吗? 问题2 提示 根据之前所学,我们应该从哪些方面来研究幂函数? 问题3 提示 根据函数解析式先求出函数的定义域,然后画出函数图象,再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题. 观察图的图象,可以得到五个幂函数的性质如下: 函数 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数, 也不是偶函数 奇函数 单调性 增函数 在 上递增, 在 上递减 增函数 增函数 在 和 上递减 过定点 点 16 A思考辨析 1.通过对知识点中5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?哪个象限一定没有幂函数的图象? 2.设函数f(x)=x2,g(x)=x3,若0<a<1,f(a)与g(a)的大小关系是怎样的?体现在函数图象上具有怎样的特征? 提示 第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象. 提示 当0<a<1时,f(a)-g(a)=a2(1-a)>0,即f(a)>g(a),体现在图象上,即在区间(0,1)上f(x)=x2的图象在g(x)=x3图象的上方. 例5 下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( ) A.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1 B.①y=x3,②y=x2,③y=x-1,④y= C.①y=x2,②y=x3,③y=x-1,④y= D.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x-1 A 解析 y=x3的定义域为R,且为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象①; y=x2的定义域为R,且为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象②; y=的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递增,对应图象③; y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,对应图象④.故选A. 例6 (2026同济大学附中期中)如图所示的曲线是幂函数y=xa在第一象限内的图象,其中a= ,a= 2,则曲线C1,C2,C3,C4对应a的值依次是 ( ) A.,2,-2,- B.2,,-,-2 C.-2,-,2 D.2,,-2,- B 解析 取x=4,显然42>>4-2,所以曲线C1,C2,C3,C4对应a的值依次是2,,-,-2.故选B. 例7 已知,2,3,,,则使函数 的定义域为且函数 为奇函数 的所有 的值为( ) C A.,3 B.,1 C.1,3 D. ,1,3 【解析】当 为奇函数时,,1,3,又函数的定义域为,所以 , 故或 . 21 例8 [教材改编P91练习T1,多选题]已知函数 的图象经过点 ,则 ( ) AD A.的图象经过点, B.的图象关于 轴对称 C.在定义域上单调递减 D.在内的值域为 【解析】将点,的坐标代入 ,得,则 . ,故的图象经过点 ,A正确; 根据幂函数 的图象与性质可得B,C错误,D正确. 22 例9 若点,在幂函数的图象上,点,在幂函数 的图象上,求当 为何值时,有;; . 【解析】设 ,由点,在幂函数的图象上,得 , , 则,同理得 . 在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图所示. 观察图象可得: (1)当或时, ; (2)当或时, ; (3)当,且时, . 23 例10 [教材改编P91习题3.3 T1]函数 的图象大致是( ) D A. B. C. D. 【解析】函数可化为 因为在上单调递增,在上单调递增, 在 上单调递减, 所以函数在 上单调递增, 在 上单调递减, 又 ,故A,B,C错误,选项D满足以上条件. 24 一般幂函数的图象和性质 1 幂函数的图象 观察五个具体幂函数在第一象限内的图象可知, 幂函数 的图象在第一象限内具有如下特 征:在平面直角坐标系中,直线, 将 直线的右侧部分分为( ) 三个区 域,如图所示. 26 的图象经过区域( ); 的图象经过区域( ); 的图象经过区域( ). 在直线的右侧,从轴向上,幂函数 的指数 由小到大递增,即“指大 图高”. 特别提醒 在画幂函数的图象时,一般先根据 的范围及“指大图高”作出 在 第一象限内的图象,再研究函数的定义域,当 有意义时,研究函数的奇偶性, 根据图象的对称性作出其余象限内的图象. 27 2 幂函数的图象和性质 解析式 图象 图象特征 图象过点和点 .在第一象限 内,当 时,图象上凸;当 时,图象下凸 图象过点 .在第一 象限内,图象都下凸 性质 定义域 在上都有定义,定义域与 的取值有关 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 奇偶性 与 的取值有关 28 知识剖析 幂函数 奇偶性的判断方法#2 的分类 的奇偶性 是偶数 偶函数 是奇数 奇函数 ,互质,, 是奇数 是奇数 奇函数 是偶数 偶函数 是偶数 既不是奇函数,也不是偶函数 29 例11 (2026 上海市实验学校期中)幂函数,, , 在第一象限内的图象依次是图中的曲线( ) D A.,,, B.,,, C.,,, D.,,, 【解析】由于在第一象限内直线的右侧,幂函数 的图象从上到下相应 的指数 由大变小,即“指大图高”,故幂函数在第一象限内的图象为 , 在第一象限内的图象为 , 在第一象限内的图象为 , 在第一象限内的图象为 . 30 例12 关于幂函数的图象,下列选项描述正确的是( ) C A.幂函数的图象一定经过点和点 B.幂函数的图象一定关于 轴或原点对称 C.幂函数的图象一定不经过第四象限 D.两个不同幂函数的图象最多有两个公共点 【解析】对于A,幂函数的图象一定经过点,不一定过点,例如 , 故A错误; 对于B,幂函数的图象既不关于 轴对称,也不关于原点对称,故B错误; 对于C,由幂函数的性质可知,幂函数的图象一定不经过第四象限,故C正确; 对于D,幂函数与的图象的交点为,, ,共3个,故D 错误. 31 函数的凹凸性 1 凸函数与凹函数的定义 设函数在区间上有定义,若对于上任意两个不同的实数, , 都成立,则称在区间 上是凸函数;(也称为上凸函 数)若都成立,则称在区间 上是凹函数.(也称为下 凸函数) 几何解释 在函数 图象上任取两个不 同的点,若这两点连成的线段总在函数图 象的下方,则该函数为凸函数;若这两点 连成的线段总在函数图象的上方,则该函 数为凹函数,如图所示. 33 例13 [多选题](2026 山西省太原市期中)下列幂函数中满足条件 的函数是( ) BD A. B. C. D. 【解析】满足条件 , 也即当 时,函数是凹函数. 由幂函数在第一象限内的图象可知,函数,在 上是凹函数, 因此满足,故选 . 本题运用函数的凹凸性求解,简单直观,而若通过代数运算,则比较复杂且 需要一定的运算能力. 34 2 幂函数的凹凸性 如图给出了幂函数在第一象限内的图象,可根据凸函数与凹函数的定义判断幂 函数的凹凸性.幂函数 ,当时,函数在上是凸函数;当 与时,函数在 上是凹函数. 35 幂函数单调性的判断及综合应用 类型1 单调性的判断 例14 设函数,则 ( ) A A.是奇函数,且在上单调递增 B.是奇函数,且在 上单调递减 C.是偶函数,且在上单调递增 D.是偶函数,且在 上单调递减 【解析】函数的定义域为, ,则 是奇函数. 当时,和是增函数,则在 上单调递增. 37 例15 已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递增,g(x)=2f(x)+1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)如果函数g(x)在区间[+1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 解 (1)由题意可得m2-m-1=1,∴m=2或m=-1. 又f(x)=(m2-m-3)xm在区间(0,+∞)上单调递增, ∴m>0,∴m=2,∴f(x)=x2. (2)由(1)知g(x)=2x2+1,∵函数g(x)在区间[+1,+∞)上单调递增, ∴+1≥0,∴a≥-3,即实数a的取值范围为[-3,+∞). 类型2 比较幂的大小 例16 比较下列各题中两个数的大小: (1), ; 【解析】为上的增函数,且, . (2), . 【解析】为上的减函数,且, . 构造幂函数,利用幂函数单调性比较大小. 39 类型3 已知单调性求参数 例17 (2026 云南省凤庆县第一中学期中)已知幂函数 ,当 时,随的增大而减小,则实数 的值为_. 2 【解析】( 的系数为1,注意该隐含条件)是幂函数, ,即 , 或 .(注意进行验证) 当时,,是幂函数,且满足当时,随 的增大而减小; 当时,,是幂函数,但不满足当时, 随 的增大而减小,故舍去. 实数 的值为2. 40 例18 (2026 浙江省杭州第十一中学期末)已知函数 是幂函数,且在上单调递增,则实数 ( ) C A. B. 或3 C.3 D.2 【解析】由题意知,,即,解得或 , 当时,,则在 上单调递减,不合题意; (求出 后一定要验证是否符合题意) 当时,,则在上单调递增,符合题意, , 故选C. 41 类型4 解不等式 例19 若,则实数 的取值范围为_. ,) 【解析】因为在定义域 上是增函数, 所以 解得 . 故实数的取值范围为 . 42 例20 (2026 河北省张家口市期中)已知幂函数的图象经过点 ,则不等式 的解集为_. 【解析】因为函数为幂函数,所以设 , 由解得,所以 . 又在 上单调递增, 所以 . 故所求不等式的解集为 . 43 例21 [新考法 开放探究]幂函数满足下列性质:(1)对定义域中任意的 ,有 ;(2)对中任意的, ,都有 ,请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式 _. (答案不唯一) 【解析】由题意知幂函数满足性质:对定义域中任意的,有 ,则 为偶函数, 由函数满足对中任意的, ,都有 , 可知函数在 上单调递减, 故 满足题目中要求. 类型5 幂函数的奇偶性 44 例22 (2026 湖北省武汉市期中)已知函数 是幂函数, 且是奇函数,则 _. 1 【解析】函数 是幂函数,且是奇函数, ,解得或 , 当时,,此时函数 为偶函数,不符合 题意; 当时,,此时函数 为奇函数. 综上所述, . 45 1.知识清单: (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳:待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区:易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质. 课堂小结 随堂演练 题型一 幂函数定义的理解 1.已知下列函数: ;;;; .其中是幂函数的有 ( ) C A.①⑤ B.①②③ C.②④ D.②③⑤ 【解析】 由幂函数定义可知,②④是幂函数. 48 2.(2025辽宁六校联考)已知幂函数满足,则 ( ) B A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】 因为幂函数满足,所以,所以 , 则,从而 . 49 3. (2026湖北襄阳四中期末)已知幂函数 与坐标轴有 公共点,则 的值为( ) B A.1 B.2 C.1或2 D.0 【解析】 依题意得(幂函数满足前的系数为1),解得 或 , 当时,( 忽略验证而致错),其图象平行于 轴但不过点 ,所以其图象与轴和 轴均无公共点,不符合要求; 当时, ,其图象是过原点的直线,与坐标轴有公共点(原点),符 合要求. 50 题型二 幂函数的图象 4.(2026云南文山期末)函数 的大致图象为( ) B A. B. C. D. 【解析】 函数,所以其定义域为 ,排除A,C; 又,所以为偶函数,其图象关于 轴对称,排除D,只有B满足要求. 51 5.函数(, 且互质)的图象如图,则( ) C A.,是奇数,且 B.是偶数,是奇数,且 C.是偶数,是奇数,且 D.,是偶数,且 【解析】 因为函数的图象关于轴对称且,互质,所以为偶数, 为奇数,又因为 在第一象限内,函数是上凸函数,所以 . 52 6.(2026吉林师大附中检测)在同一平面直角坐标系内,函数 和 的图象可能是( ) C A. B. C. D. 【解析】 幂的指数,则直线 应为减函数; 幂的指数,则直线应为增函数,且,即直线 与轴的交点在 轴下方; 幂的指数,则,即直线与轴的交点在 轴上方. 53 7.(多选/2026山东枣庄期末)当,,时,幂函数 的图象不可能经过的象 限是( ) BD A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 因为经过第一、三象限,经过第一象限, 经过第一、三 象限,所以幂函数 的图象不可能经过第二、四象限. 54 8.(多选)已知幂函数的图象经过,,, 中的三个点,则 的值可能为( ) BC A. B. C.3 D.9 【解析】 方法一(逆向思考) 幂函数的解析式由一个点的坐标即可确定. 设 . 假设,则,,经检验,只有点, 在 的图象上,不符合要求; 假设,则,,经检验,点,,在 的 图象上,符合要求; 55 假设,则,,经检验,点,, 在 的图象上,符合要求; 假设,则,,经检验,只有点,在 的 图象上,不符合要求. 方法二(正向思考) 设,由幂函数的性质可知的图象必定经过点 , 若的图象经过,,三点,由,得可能为正奇数,则 的解析式 可能为,满足,此时 ; 若的图象经过,,三点,由,得,则,满足 ,此时 ; 若的图象经过,,三点,由,得到,,此时点不在 的图象上,即的图象不同时经过,, 三点. 综上,的值可能为 或3. 题型三 幂函数的性质及应用 题组一 幂函数的性质 9.(多选/2026四川成都期末)已知幂函数的图象经过点 ,则( ) ACD A.函数的定义域为 B.函数 是偶函数 C.函数的单调递增区间为 D.函数的值域为 【解析】 由题设,令 ,则,得,则 ,所以 的定义域为且单调递增,值域为 ,是非奇非偶函数. 所以A,C,D正确,B错误. 57 10.(2026江苏无锡期末)若函数是偶函数,且值域为,则 可以是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ,需满足,即定义域为 ,定义域不关于 原点对称,不是偶函数; ,定义域为 ,定义域关于原点对称,且 ,故是偶函数,且值域为 ; ,满足是偶函数,但值域为 ,不符合题意; ,需满足,即定义域为 ,定义域不关于原点对称, 不是偶函数. 58 11.(2026安徽芜湖检测)若幂函数的定义域为,则 _. 2 【解析】 幂函数的定义域为, ,解得 ,又, ,经检验,符合题意. 59 12. 已知函数 ,则其单调递增区间为_. 【解析】 易知( 忽略先判断定义域致错), 函数的定义域为 . 令,则其在上单调递减,在 上单调递增, , (由与 复合而成,根据“同增异减”确 定单调区间即可)在定义域内单调递增, 的单调递增区间为 . 60 题组二 幂函数性质的应用 13.(2026辽宁部分学校期末联考)已知函数 ,则不等式 的解集为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由不等式可知,解不等式之前要先确定函数 的单调 性和奇偶性. 的定义域为, , 为定义在 上的奇函数. 由幂函数性质知,在 上单调递增. 由得 , ,解得, 不等式的解集为 . 61 14.(2026广东广州期末)若 ,则( ) A A., B., C., D., 【解析】 与指数相同,对应幂函数与 指数相同,对应幂 函数 ,确定其单调性即可比较大小. 因为在上单调递增,且,所以 ; 因为在上单调递增,且,所以,故, . 62 15.(2025陕西咸阳检测)已知集合},则集合 的子集个数是 ( ) C A.4 B.7 C.8 D.16 【解析】 因为,所以(幂函数在 上单调递增),又因 为,所以,所以的子集个数为 . 16.(2026河北唐山检测)已知,,,则,, 的大小关系是_. (用小于号连接) 【解析】 由,, , 因为幂函数在上单调递增,且,所以 . 63 17.(2026浙江金华期中)已知幂函数在 上是减函 数,.若,则实数 的取值范围为_. 【解析】 由函数为幂函数得,解得 或 ,又函数在上是减函数,则,即,所以 , 所以原不等式为 . 设函数,则函数的定义域为,且函数在 上单调递减,所 以解得,所以实数的取值范围是 . 64 18. 比较下列各组数的大小. (1) 与 ; 【答案】 因为幂函数在定义域上单调递减,且 , 所以 . 65 (2) 与 ; 【答案】 因为幂函数的定义域为 , 且在 上单调递减, 又因为 , 所以函数 为奇函数, 所以在 上单调递减, 又因为 , 所以 . (3) 与 . 【答案】 因为函数在上单调递增,且,所以 . 66 $