4.1相交线讲义2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

本讲义聚焦七年级上册“相交线”核心知识点，从相交线定义出发，梳理同一平面内直线位置关系，进而学习对顶角与邻补角的位置及数量关系，再到垂线的定义与性质，垂线段最短原理，点到直线距离的概念，最后是三线八角的识别，形成从基础到应用的学习支架。 资料特色在于结合定义、性质与生活实例，如用“垂线段最短”解释水泵房选址，培养几何直观与应用意识。练习题从基础判断到综合推理，如对顶角识别、垂线角度计算，提升推理能力。课中辅助教师构建知识体系，课后帮助学生通过练习查漏补缺，强化数学思维。

华东师大版（2024）七年级上册4.1相交线 【知识点1】相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 1.（2023秋•沛县校级月考）图中能相交的是（　　） A． B． C． D． 2.（2023秋•佛山期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（　　）个部分． A．7或8 B．8 C．8或9 D．10 3.（2018秋•江岸区期末）在同一平面内，三条直线两两相交，交点的个数为 ______． 【知识点2】对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 1.（2025春•广安区校级月考）如图，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•元氏县校级期中）如图，直线a与b相交，∠1=36°，则∠3=______，∠2=______． 【知识点3】垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 1.（2025春•新乡期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若OA平分∠COE，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° 2.（2025春•万年县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE⊥CD于点O，若∠AOD=26°，则∠BOE的度数为（　　） A．116° B．126° C．144° D．154° 3.（2025春•静安区校级期末）如图，已知BO⊥DE，垂足为O，若∠BOC=50°，则直线AC与DE的夹角为______°． 【知识点4】垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 1.（2025春•紫阳县校级期末）如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 2.（2024秋•晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A． 平板弹墨线 B． 建筑工人砌墙 C． 弯河道改直 D． 测量跳远成绩 3.（2024秋•丹阳市期末）如图，已知AB=10m,AF=9m,AC=11m,AE=6m,若G在线段BC上运动，则AG的最大值与最小值相差______m. 【知识点5】点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 1.（2025春•罗湖区期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l,若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 2.（2025春•晋安区期末）数学来源于生活又应用于生活．下列现象中能用“点到直线的距离”来解释的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025春•虹口区期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，则线段 ______的长度可以表示点B到直线CD的距离． 4.（2025春•松江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是线段 ______的长度． 【知识点6】同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 1.（2025春•三河市校级月考）已知∠1的对顶角为∠2，∠2和∠3互为同位角，若∠1=80°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．100° C．80°或100° D．不确定 2.（2025春•平江县期末）科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．如图，将一架飞机抽象成几何图形，其中与∠1构成同位角的是 ______． 3.（2025春•渝北区校级月考）如图，如果∠1=50°，∠2=100°，∠3的内错角等于______°． 华东师大版（2024）七年级上册4.1相交线 (参考答案) 【知识点1】相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 1.（2023秋•沛县校级月考）图中能相交的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择即可． 【解答】解：C中这两条直线能相交； B、A、D中的直线，线段，射线不能相交． 故选：C． 2.（2023秋•佛山期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了（　　）个部分． A．7或8 B．8 C．8或9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意画出图形即可． 【解答】解：如图， 所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了8或9个部分， 故选：C． 3.（2018秋•江岸区期末）在同一平面内，三条直线两两相交，交点的个数为 ______． 【答案】1或3个 【分析】分三点共线和三点不共线两种情况作出图形即可． 【解答】解：如图，三条不同的直线两两相交交点个数有1或3个． 故答案为：1或3个 【知识点2】对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 1.（2025春•广安区校级月考）如图，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可． 【解答】解：根据对顶角的定义可知，只有选项C中的∠1与∠2是对顶角，其它都不是． 故选：C． 2.（2025春•元氏县校级期中）如图，直线a与b相交，∠1=36°，则∠3=______，∠2=______． 【答案】36°；144° 【分析】根据对顶角相等可得∠3=36°，根据邻补角互补可得∠2=144°． 【解答】解：∵∠1=36°， ∴∠3=∠1=36°，∠2=180°-36°=144°． 故答案为：36°；144°． 【知识点3】垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 1.（2025春•新乡期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若OA平分∠COE，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得出∠COE=90°，根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再根据邻补角互补即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE=90°， ∵OA平分∠COE， ∴∠AOE==45°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-45°=135°， 故选：B． 2.（2025春•万年县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE⊥CD于点O，若∠AOD=26°，则∠BOE的度数为（　　） A．116° B．126° C．144° D．154° 【答案】A 【分析】由垂直的定义得到∠COE=90°，由对顶角相等得到∠BOC=∠AOD=26°，即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：∵OE⊥CD于点O， ∴∠COE=90°， ∵∠BOC=∠AOD=26°， ∴∠BOE=∠COE+∠BOC=116°． 故选：A． 3.（2025春•静安区校级期末）如图，已知BO⊥DE，垂足为O，若∠BOC=50°，则直线AC与DE的夹角为______°． 【答案】40． 【分析】由垂直的定义可求得∠COE，再利用对顶角可求得答案． 【解答】解：由条件可知∠BOE=90°， ∴∠COE=90°-50°=40°， 即直线AC与DE的夹角为40°， 故答案为：40． 【知识点4】垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 1.（2025春•紫阳县校级期末）如图，某村庄要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据垂线段的性质解答即可． 【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短． 故选：B． 2.（2024秋•晋安区期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（　　） A． 平板弹墨线 B． 建筑工人砌墙 C． 弯河道改直 D． 测量跳远成绩 【答案】D 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：A、平板弹墨线，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； B、建筑工人砌墙，用基本事实“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯河道改直，用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、测量跳远成绩，用基本事实“垂线段最短”来解释，符合题意； 故选：D． 3.（2024秋•丹阳市期末）如图，已知AB=10m,AF=9m,AC=11m,AE=6m,若G在线段BC上运动，则AG的最大值与最小值相差______m. 【答案】5． 【分析】根据垂线段最短求出AG的最小值，再根据题意得到AG的最大值，即可求出答案． 【解答】解：根据垂线段最短可知此时AG取最小值，AG=AE=6m, 当G运动到点C时，AG取最大值，AG=AC=11m, ∴AG的最大值与最小值相差11-6=5m, 故答案为：5． 【知识点5】点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 1.（2025春•罗湖区期末）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l,若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义即可求解． 【解答】解：由条件可知点M到直线l的距离是2cm, 故选：A． 2.（2025春•晋安区期末）数学来源于生活又应用于生活．下列现象中能用“点到直线的距离”来解释的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【解答】解：A、能用“两点之间线段最短”来解释，不能用“点到直线的距离”来解释，故A不符合题意； B、可以用“点到直线的距离”来解释，故B符合题意； C、D中的现象可以用“两点确定一条直线”来解释，不能用“点到直线的距离“来解释． 故选：B． 3.（2025春•虹口区期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，则线段 ______的长度可以表示点B到直线CD的距离． 【答案】BD． 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：∵CD⊥AB，垂足为点D， ∴线段BD的长度可以表示点B到直线CD的距离． 故答案为：BD． 4.（2025春•松江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是线段 ______的长度． 【答案】CD． 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴点C到直线AB的距离是线段CD的长． 故答案为：CD． 【知识点6】同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 1.（2025春•三河市校级月考）已知∠1的对顶角为∠2，∠2和∠3互为同位角，若∠1=80°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．100° C．80°或100° D．不确定 【答案】D 【分析】利用对顶角和同位角的定义即可得出答案． 【解答】解：∵∠1的对顶角为∠2，∠1=80°， ∴∠2=80°， ∵∠2和∠3互为同位角， ∴∠3的度数不确定． 故选：D． 2.（2025春•平江县期末）科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．如图，将一架飞机抽象成几何图形，其中与∠1构成同位角的是 ______． 【答案】∠2． 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【解答】解：由同位角的定义可得，与∠1构成同位角的是∠2， 故答案为：∠2． 3.（2025春•渝北区校级月考）如图，如果∠1=50°，∠2=100°，∠3的内错角等于______°． 【答案】80． 【分析】根据邻补角的和等于180°和内错角计算即可得解． 【解答】解：如图，∵∠2=100°， ∴∠4=80°， ∴∠3的内错角∠4=80°，  故答案为：80． 学科网（北京）股份有限公司 $