2.3 整式 讲义 2026--2027学年华东师大版七年级数学上册

本讲义聚焦整式核心知识点，系统梳理单项式（定义、系数、次数）、多项式（定义、项、次数、命名）及整式概念，通过定义解析、要点说明、例题示范与即时练习构建学习支架，形成从单项式到多项式再到整式的完整知识脉络。 资料特色在于通过概念辨析（如单项式不含除法运算、π为常数）培养抽象能力，例题辨析题（如判断系数次数）发展推理意识，规律探究题（如观察单项式排列规律）激发创新意识。一题一练即时巩固，题型覆盖基础与综合，课中辅助教师分层教学，课后助力学生自查自纠，有效查漏补缺。

2.3 整式讲义 【预习目标】 1. 了解单项式、多项式、整式的有关概念,知道它们之间的联系和区别. 2. 掌握单项式的系数、次数和多项式的次数及项的概念. 3. 会将一个多项式按某个字母的降幂或升幂排列. 4. 培养观察、分析、归纳、概括的能力. 【知识点梳理】 知识点一 单项式及其相关概念 1. 单项式的概念 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式.单独一个数或字母也是单项式. 说明 （1）单项式中数与字母或字母与字母之间都是乘积关系. 例如,即,可以看成是与的乘积,所以是单项式,而不是单项式,它是2与的商. （2）单项式中不含加法运算. 例如,式子,它不是单项式. （3）是单项式,表示一个具体的数,而不是字母. 例1. 判断下列代数式是不是单项式: （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. 解:（1）表示与的和,不是单项式; （2）表示与的商,不是单项式; （3）是单独的一个数,是单项式; （4）表示的乘积,是单项式; （5）表示与的和（或和的）,不是单项式. 一题一练 1. 下列各式不是单项式的为 【 】 （A）3 （B） （C） （D） 2. 单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式系数. 如单项式的系数为3,的系数为. 说明 （1）单项式的系数是1或时,“1”通常省略不写. 例如,单项式与的系数分别为1和. （2）单项式的系数是带分数时,要化为假分数. 例如,单项式不要写成. （3）如果单项式中出现了,那么是系数的组成部分,表示字母. 例如,单项式的系数是,不是2. 3. 单项式的次数 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 例如,单项式的次数为,单项式的次数为. 例2. 找出下列各式中的单项式,并分别指出单项式的系数和次数. （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）. 分析 对于,表示1与的商,不是单项式;对于式子,含有加法运算,不是单项式. 解: 单项式有（1）（2）（5）（6）. 单项式的系数为,次数为1; 单项式的系数为,次数为2; 单项式的系数为8,次数为3; 单项式的系数为,次数为2. 一题一练 2. 指出下列单项式的系数和次数: （1）; （2）; （3）; （4）. 知识点二 多项式及其相关概念 1. 多项式的概念 几个单项式的和叫做多项式. 例如,都是多项式. 2. 多项式的项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项.不含字母的项,叫做常数项. 例如,多项式,与是它的项,其中是常数项. 说明 多项式中的每一项都是单项式,每一项都包括它前面的符号,特别注意项的符号是负号时,一定不要漏掉负号. 3. 多项式的次数 多项式中,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数. 例如,多项式的项分别为,它们的次数分别为3,4,2,所以这个多项式的次数是4. 4. 多项式的命名 一个多项式是几次,有几项,就叫做几次几项式. 例如,多项式是四次三项式. 例3. 多项式的项分别是什么?最高次项是什么?一次项系数是什么?它是几次几项式? 解: 多项式的项分别是,最高次项是,一次项系数是,它是六次四项式. 一题一练 3. 填表: 多项式 项 常数项 次数 几次几项式 知识点三 整式 1. 整式的概念 单项式与多项式统称为整式. 例如,都是整式,而都不是整式. 2. 代数式、单项式、多项式与整式的关系 如图所示. 例4. 下列代数式中哪些是单项式?哪些是多项式?哪些是整式? . 分析 不是单项式或多项式的代数式,一定不是整式. 解: 单项式有:. 多项式有:. 整式有: ,. 规律总结 判断一个代数式是不是整式的方法 判断一个代数式是不是整式,可以看这个代数式的分母中是否含有字母,分母不含字母的代数式是整式,含有字母的代数式不是整式. 一题一练 4. 下列代数式中哪些是单项式?哪些是多项式?哪些是整式? . 知识点四 升幂排列和降幂排列 为了简洁美观和便于运算,可以运用加法交换律把一个多项式各项的位置按照某一个字母指数的大小顺序重新排列. （1） 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列,叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列; （2） 把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列,叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列. 说明 常数项的次数为0,所以将多项式按某个字母的降幂排列时,把常数项放在最后,升幂排列时,把常数项放在最前面. 降幂排列或升幂排列,各项的位置发生了改变,但各项的符号不能改变. 例5. 将多项式按要求排列: （1）按字母的降幂排列; （2）按字母的升幂排列. 解:（1）按字母的降幂排列为: ; （2）按字母的升幂排列为: . 一题一练 5. 将多项式按要求排列: （1）按字母的升幂排列; （2）按字母的降幂排列. 【题型梳理】 题型一 关于单项式 例6. 下列说法正确的是 【 】 （A）的系数是3,次数是2 （B）的系数是3,次数是3 （C）的系数是0,次数是1 （D）的系数是,次数是3 解析 （A）的系数是,次数是3,故（A）选项错误; （B）的系数是,次数是3,故（B）选项错误; （C）的系数是1,次数是1,故（C）选项错误; （D）的系数是,次数是3,故（D）选项正确,符合题意. 答案【 D 】. 一题一练 6. 下列判断正确的是 【 】 （A）的系数为0 （B）的系数为 （C）的次数是2 （D）的次数是8 例7. 已知单项式的次数是5,则_________. 解析 因为单项式的次数是5 所以 解得: 故答案为: 3 一题一练 7. 若是关于的五次单项式,且系数为1,则_________. 题型二 关于多项式 例8. 已知多项式,下列说法错误的是 【 】 （A）它是四次五项式 （B）三次项是 （C）常数项是 （D）二次项系数是2 解析 对于（D）,二次项是,其系数为,故（D）选项错误. 答案【 D 】. 一题一练 8. 下列说法正确的是 【 】 （A）的系数是 （B）单项式的系数为1,次数为0 （C）是二次三项式 （D）的次数是6 例9. 已知多项式是六次四项式,单项式的次数与这个多项式的次数相同,求的值. 解: 因为多项式是六次四项式 所以 解之得: 因为单项式的次数与这个多项式的次数相同 所以 解之得: 所以. 一题一练 9. 已知多项式是五次四项式,单项式的次数与这个多项式的次数相同,求的值. 题型三 规律探究题 例10. 观察下列单项式: （1）写出第100个、第2027个单项式; （2）写出第个、第个单项式（为正整数）. 解:（1）第100个单项式为,第2027个单项式为; （2）因为为偶数,为奇数（为正整数） 所以第个单项式为,第个单项式为. 一题一练 10. 一组按照规律排列的式子:其中第8个式子是______,第个式子是_________（为正整数）. 题型四 多项式中不含某项的问题 多项式中包含某项,则该项系数等于0.注意系数包括它前面的符号. 例11. 已知关于的多项式不含项和项,求的值. 解: 由题意可得: 解之得: 所以. 一题一练 11. 已知多项式不含项和项,求的值. 【一题一练答案】 1. C 2. 解:（1）的系数为,次数为4; （2）的系数为,次数为3; （3）的系数为,次数为4; （4）的系数为1,次数为1. 3. 解:如表所示: 多项式 项 常数项 13 次数 1 2 3 几次几项式 一次二项式 二次三项式 三次四项式 4. 解: 单项式有; 多项式有; 整式有,. 5. 解:（1）按字母的升幂排列为; （2）按字母的降幂排列为. 6. B 7. 6 8. C 9. 解: 因为多项式是五次四项式 所以 解之得: 因为单项式的次数与这个多项式的次数相同 所以 解之得: 所以. 10. . 11. 解: 由题意可得: 解之得: 所以. 第7页 学科网（北京）股份有限公司 $