1.1 集合的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“集合的概念”核心知识点，涵盖元素与集合关系、特性及表示方法。课堂导入从初中方程与不等式解集切入，延伸至生活归类实例，通过问题驱动搭建新旧知识支架，引导学生抽象“整体”概念。 此资料以问题链推进概念形成，通过方程根、班级同学等实例与“接近0的数”反例对比，培养抽象能力（数学眼光）。列举法与描述法辨析发展推理意识（数学思维），例3结合互异性训练数学语言表达。助力学生实现从直观到形式化的思维过渡，为教师提供清晰教学逻辑与实践案例。

教学设计-2026-2027学年 1.1 集合的概念 高一 人教A版 数学 必修第一册 教材分析 本节是人教A版必修第一册第一章第一节，是高中数学的起始课。集合语言是现代数学的基本语言，贯穿后续函数、方程、不等式、概率等全部主线内容。教材从生活实例出发，抽象出元素与集合的概念，继而给出确定性、互异性与相等关系，再逐一介绍常用数集记法、属于与不属于符号，最后落实列举法与描述法两种表示手段。本节的学习不仅为学生提供精确表达数学对象的工具，也承载着从初中直观描述到高中形式化推理的思维过渡功能。 教学重难点 重点：集合与元素的概念、集合中元素的确定性与互异性、∈与∉符号、常用数集记法、列举法与描述法。 难点：描述法中共同特征P(x)的理解与书写，集合表示方法的合理选择。 教学过程 本课时按课堂时间顺序展开，依次为引言、研究探讨、概念形成、概念深化、应用举例、归纳总结与课后作业七个环节。教师以问题驱动学生观察、抽象、表达，学生在具体情境中经历从生活语言到数学符号的概括过程。 一、引言 教师提问：在初中我们已经学过哪些数的集合？请举例说明。预设学生回答：方程的解集，如 x²−1=0 的解集为 x=1 或 x=−1；不等式的解集，如 2x−1>0 的解集为 x>。 教师追问：除了数的集合，生活中还有哪些把对象归类的例子？预设学生回答：班级全体同学、图书馆的全部藏书、自然数全体等。 教师指出：这些例子都有一个共同特征——把若干研究对象作为一个整体来看待。今天我们将把这种"整体"用严格的数学语言加以刻画，这就是集合。 二、研究探讨 教师给出三个实例：①方程 x²−3x+2=0 的所有实数根；②到点O距离等于1的所有点；③高一(1)班全体同学。 教师提问：这三个实例有什么共同特征？请分别指出每个实例的研究对象和组成的整体。预设学生回答：实例①的研究对象是方程的根 1 和 2，整体是这两个根构成的全体；实例②的研究对象是平面上的点，整体是满足到O距离为1的全部点；实例③的研究对象是学生，整体是全班同学。 教师追问：实例①中方程的根是确定的吗？实例③中"高一(1)班全体同学"是否明确？预设学生回答：都是确定的，1 和 2 是仅有的两个根，某学生是否属于高一(1)班是明确的。教师追问：能否举一个"不确定"的反例？预设学生回答："接近0的数"不确定，因为没有明确界限。教师追问：实例①的根 1 和 2 是否重复出现？预设学生回答：不重复，1 和 2 是两个不同的根。 设计意图：通过正例与反例的对比，让学生在具体情境中感受确定性与互异性，为概念形成做铺垫。 三、概念形成 教师在学生讨论基础上给出定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 教师讲解集合与元素的表示：集合通常用大写拉丁字母 A，B，C…表示，元素通常用小写拉丁字母 a，b，c…表示。 教师讲解属于与不属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a∉A。教师提问：设 A 表示方程 x²−3x+2=0 的实数根组成的集合，1∈A 是否成立？−1∉A 是否成立？预设学生回答：1∈A 成立，因为 1 是方程的根；−1∉A 成立，因为 (−1)²−3×(−1)+2=6≠0，−1 不是根。 教师讲解集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的；一个给定集合中的元素是互不相同（不重复出现）的。教师补充：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 教师介绍常用数集及记法：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 N* 或 N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作 R。 教师提问：0∈N 是否成立？0∈N* 是否成立？∈Q 是否成立？∈R 是否成立？预设学生回答：0∈N 成立；0∉N*（0 不是正整数）；∈Q 成立；∈R 成立。 四、概念深化 教师讲解列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 教师提问：用列举法表示"大于1且小于6的整数"组成的集合。预设学生回答：{2，3，4，5}。教师追问：{2，3，4，5} 与 {5，4，3，2} 是否相等？预设学生回答：相等，因为元素完全相同，列举顺序不影响集合。 教师讲解描述法：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 所组成的集合表示为 {x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法。例如，不等式 x−3<0 的解集可表示为 {x∈R|x<3}。 教师说明描述法的省略约定：若从上下文看 x∈R、x∈Z 是明确的，可省略只写元素，如 D={x|x<10}。教师提问：集合 {x∈N|0<x<5} 用列举法如何表示？预设学生回答：{1，2，3，4}。教师追问：集合 {x∈Z|x²=4} 用列举法如何表示？预设学生回答：{−2，2}。 教师提问：表示方法如何选择？预设学生回答：元素较少的有限集用列举法，直观方便；无限集或元素很多的集合用描述法，如 {x∈R|x<10} 不宜用列举法。 五、应用举例 例1：用列举法表示下列集合。①方程 x²−5x+6=0 的所有实数根；②大于−2且小于4的整数；③小于10的正奇数。 解析：①解方程 x²−5x+6=0，因式分解得 (x−2)(x−3)=0，所以 x=2 或 x=3，集合为 {2，3}。②大于−2且小于4的整数为 −1，0，1，2，3，集合为 {−1，0，1，2，3}。③小于10的正奇数为 1，3，5，7，9，集合为 {1，3，5，7，9}。 答案：①{2，3}；②{−1，0，1，2，3}；③{1，3，5，7，9}。 例2：用描述法表示下列集合。①所有被3除余1的整数；②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合。 解析：①设被3除余1的整数为 x，则 x=3k+1（k∈Z），所以集合为 {x|x=3k+1，k∈Z}。②第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，所以集合为 {(x，y)|x<0且y>0}。 答案：①{x|x=3k+1，k∈Z}；②{(x，y)|x<0且y>0}。 例3：已知集合 A={a，a²}，若 2∈A 且 3∉A，求实数 a 的值。 解析：因为 2∈A，所以 a=2 或 a²=2。当 a=2 时，a²=4，A={2，4}，此时 3∉A 满足条件。当 a²=2 时，a= 或 a=−，A={，2} 或 A={−，2}，此时 3∉A 也满足条件。再由 3∉A 验证：若 a=3，则 a²=9，A={3，9}，此时 3∈A 与 3∉A 矛盾，故 a≠3；若 a²=3，则 a= 或 a=−，A={，3}，此时 3∈A 矛盾，故 a²≠3。综上，a=2 或 a= 或 a=−。 答案：a=2 或 a= 或 a=−。 课堂练习：判断下列命题的真假。①{1，2，3} 与 {3，2，1} 是相等的集合；②0∈N*；③∈Z。 解析：①两个集合元素完全相同，仅列举顺序不同，故相等，命题为真。②N* 表示正整数集，0 不是正整数，0∉N*，命题为假。③ 不是整数，∉Z，命题为假。 答案：①真；②假；③假。 六、归纳总结 教师与学生共同回顾本节要点：①元素与集合的概念——研究对象统称元素，元素组成的总体叫集合。②集合元素的特性——确定性与互异性；元素相同则集合相等。③符号——a∈A 表示属于，a∉A 表示不属于。④常用数集——N，N*（N+），Z，Q，R。⑤两种表示方法——列举法适合元素较少的有限集，描述法适合无限集或元素较多的集合。 教师追问：描述法 {x∈A|P(x)} 中，A、x、P(x) 各代表什么含义？预设学生回答：A 代表元素所属的范围（如 R、Z），x 代表集合中的代表元素，P(x) 代表元素必须满足的共同特征。 七、课后作业 1. 用列举法表示下列集合：①方程 x²−4=0 的实数根组成的集合；②大于−3且小于3的偶数组成的集合。 解析：①x²−4=0 得 x=2 或 x=−2，集合为 {−2，2}。②大于−3且小于3的偶数为 −2，0，2，集合为 {−2，0，2}。 答案：①{−2，2}；②{−2，0，2}。 2. 用描述法表示下列集合：①所有大于5的实数组成的集合；②所有能被2整除的正整数组成的集合。 解析：①大于5的实数，范围为 R，特征为 x>5，集合为 {x∈R|x>5}。②能被2整除的正整数可写为 x=2k（k∈N*），集合为 {x|x=2k，k∈N*}。 答案：①{x∈R|x>5}；②{x|x=2k，k∈N*}。 3. 已知集合 A={1，a，a²}，若 2∈A，求实数 a 的值。 解析：因为 2∈A，所以 a=2 或 a²=2。当 a=2 时，a²=4，A={1，2，4}，满足互异性。当 a²=2 时，a= 或 a=−，A={1，，2} 或 A={1，−，2}，均满足互异性。又需排除互异性矛盾：若 a=1 则 A={1，1，1} 违反互异性，故 a≠1。综上，a=2 或 a= 或 a=−。 答案：a=2 或 a= 或 a=−。 学科网（北京）股份有限公司 $