1.1 集合的概念 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的概念、元素特性及表示方法，通过三组实例（正奇数、定点距离点、方程根）引导学生从具体对象抽象出“共性总体”，衔接初中数与式基础，为后续集合关系与运算搭建学习支架。 以问题情境驱动探究式学习，通过“高个子同学能否组成集合”等正反实例培养数学抽象，借助符号即学即练与表示方法对比发展逻辑推理，实例典型且评价贯穿课堂，助力学生理解概念本质，也为教师提供清晰教学路径。

教学设计-2026-2027学年 数学 1.1 集合的概念 必修第一册 人教A版 高一 一、章节名称 章节名称 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课型 新授课 教材版本 人教A版 必修第一册 年级 高一 课时安排 第1课时 授课时长 40分钟 教材位置 第一章开篇 知识地位 高中数学入门概念 前置基础 初中数与式基础 后续延伸 集合间关系与运算 核心素养 数学抽象、逻辑推理 学业水平 水平一 教学方法 问题情境驱动法 学习方式 探究式学习 教学媒体 多媒体课件、黑板 学具准备 课本、练习本 课标要求 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合 考核要求 识记与简单应用 二、课标要求 通过具体实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合，理解集合中元素的确定性与互异性。 设计意图：本条课标要求指向数学抽象素养，要求学生从具体生活实例中提炼"集合"这一数学概念，并掌握其形式化表示方法，为后续集合间关系与运算的学习奠定基础。 三、重点 1. 集合与元素的概念，集合中元素的确定性与互异性。 2. 符号∈与∉的含义及正确使用，常用数集N、N*、Z、Q、R的记法。 3. 列举法与描述法两种集合表示方法。 设计意图：以上三条重点覆盖了本课时全部核心知识点，是学生后续学习集合关系与函数定义的必备基础，需在课堂中逐一落实。 四、难点 1. 描述法中共同特征P(x)的理解与正确书写，尤其集合A的选取与省略约定。 2. 面对不同类型的集合，合理选择列举法或描述法进行表示。 设计意图：描述法要求学生用数学语言刻画元素共性，涉及变量与条件的符号化表达，对初学者而言抽象度较高，需要通过对比辨析和变式练习加以突破。 五、学习目标 1. 能从具体实例中概括出集合与元素的概念，说出集合元素的确定性与互异性，会用符号∈和∉判断元素与集合的关系；能默写N、N*、Z、Q、R五个常用数集的记法；能用列举法或描述法正确表示给定集合，并根据集合特征合理选择表示方法。 设计意图：本目标将"了解概念—掌握符号—运用方法"三个层次串联，确保学生从认知到应用逐步递进，达成课标要求。 六、评价设计 1. 课堂观察：在概念引入环节，通过学生回答"高一一班所有高个子同学能否组成集合"等问题，评价学生对确定性概念的理解程度。预设回答：不能组成集合，因为"高个子"没有明确标准，无法判断某个同学是否属于。 2. 练习反馈：在巩固练习环节，设置判断题与表示方法改写题，通过学生作答的正确率评价目标达成度。 3. 课后作业：布置分层作业，检验学生对描述法省略约定和表示方法选择的掌握情况。 设计意图：评价贯穿课堂始终，从概念理解到方法运用逐层检验，确保教学目标的可测、可评。 七、教学过程 （一）新课导入（约5分钟） 教师活动：教师在黑板上列出三组对象——第一组：1，3，5，7；第二组：到点O距离等于定长r的所有点；第三组：方程x²−3x+2=0的所有实数根。提问：这三组对象分别有什么共同特征？ 预设学生回答：第一组都是正奇数；第二组都到点O距离等于r；第三组都是方程x²−3x+2=0的根。 教师追问：能否用一个数学概念来统一描述"具有某种共同特征的对象的全体"？由此引出本节课题——集合的概念。 设计意图：通过三组特征鲜明的实例，引导学生感知"对象—共性—总体"这一认知路径，为抽象出集合概念做情境铺垫。 （二）概念建构（约12分钟） 1. 元素与集合的定义 教师活动：在导入实例基础上，教师给出教材口径表述：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 教师追问：导入中的三组对象，各自的元素分别是什么？ 预设学生回答：第一组的元素是1、3、5、7；第二组的元素是每一个满足条件的点；第三组的元素是方程x²−3x+2=0的实数根，即1和2。 2. 集合元素的特性 教师活动：教师提出两个问题——问题1："高一一班身高超过175cm的同学"能否组成集合？问题2："高一一班所有高个子同学"能否组成集合？ 预设学生回答：问题1能组成集合，因为"超过175cm"标准明确，每个同学要么超过要么不超过；问题2不能组成集合，因为"高个子"没有明确标准，无法确定某个同学算不算高个子。 教师总结：给定的集合，它的元素必须是确定的，这就是集合元素的确定性。 教师追问：由元素1、1、2、3组成的集合，其元素是哪些？ 预设学生回答：元素是1、2、3，因为重复的1只算一个。 教师总结：一个给定集合中的元素是互不相同（不重复出现）的，这就是集合元素的互异性。同时，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，与列举顺序无关。 3. 属于关系与常用数集 教师活动：教师板书符号规定——如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。随后介绍五个常用数集：全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。 教师追问：0∈N是否正确？0∈N*是否正确？∈Q是否正确？ 预设学生回答：0∈N正确，因为0是非负整数；0∈N*不正确，因为N*是正整数集，不含0，应记作0∉N*；∈Q不正确，是无理数，应记作∉Q。 设计意图：通过正反对比实例，让学生在辨析中理解确定性与互异性；通过符号即学即练，巩固属于关系与常用数集的记法。 （三）表示方法（约13分钟） 1. 列举法 教师活动：教师以"大于1且小于10的偶数"为例，请学生写出所有满足条件的偶数。 预设学生回答：2，4，6，8。 教师总结：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 2. 描述法 教师活动：教师提出问题——"大于1且小于10的所有实数"组成的集合，还能用列举法表示吗？ 预设学生回答：不能，因为实数有无数个，无法一一列举。 教师总结：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法。上述集合可表示为{x∈R|1<x<10}。其中竖线左侧x代表元素，右侧1<x<10是元素满足的条件。 教师补充省略约定：若从上下文看x∈R是明确的，可省略只写元素，如D={x|x<10}。 3. 例题与配图 例题：用适当方法表示下列集合。（1）方程x²−5x+6=0的所有实数根；（2）大于0且小于5的所有实数。 解析：（1）解方程x²−5x+6=0，因式分解得(x−2)(x−3)=0，解得x=2或x=3。元素个数为有限且可列举，用列举法表示为{2，3}。（2）大于0且小于5的实数有无限个，无法列举，用描述法表示为{x∈R|0<x<5}。 答案：（1）{2，3}；（2）{x∈R|0<x<5}。 八、板书设计 教学过程 新课导入 提出三组实例→引出集合概念 设计意图： 从具体到抽象，让学生在实例中感知"对象—共性—总体"的认知路径，为概念建构做铺垫。 作业：课本5 习题1.1 第1、2、3题 教学过程 概念建构 元素与集合定义→确定性互异性→∈∉符号→常用数集 设计意图： 通过正反对比实例辨析特性，即学即练巩固符号，形成概念体系。 补充作业： 用描述法表示 {x∈Z|x<8}的 所有元素 教学过程 表示方法与练习 列举法→描述法→例题→巩固练习→课堂小结 设计意图： 通过例题示范和分层练习，让学生掌握两种方法并合理选择，落实学习目标。 拓展作业： 用列举法表示 {x∈N|x²<10} 的所有元素 学科网（北京）股份有限公司 $