安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三数学开学试卷，120分钟150分，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过科技情境（如锂电池测试）、创新概念（如完全数列）考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，解答题分层设计，适配高三开学诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、统计、函数、立体几何、解析几何|单选第4题以锂电池续航测试为科技情境，考查统计分析；多选第9题结合异面直线与面面关系，深化空间观念| |填空题|3题15分|数列、三角函数、函数模型|第14题对比等差与等比增长，体现数学建模解决实际问题| |解答题|5题77分|解三角形（三选一）、椭圆、立体几何、导数、创新数列|第19题定义“完全数列”，通过子列和唯一性考查逻辑推理与创新意识，呼应高考创新题型趋势|

高三数学 (120分钟 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合P={x|-3≤2x+1≤3}，M={a，-a}，若P∪M=P，则实数a的取值范围是 A.[-1，1]　　　　B.[-2，2]　　C.[-1，0)∪(0，1]　　　D.[-2，0)∪(0，2] 2.已知复数z=(a∈R)，则“|z|=2”是“a=－2”的 A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件 3.已知向量a，b是夹角为60°的两个单位向量，则向量2a-3b在向量b上的投影向量为 A.b 　　B.－b 　　C.－b 　　D.－2b 4.某科技公司对一批新型锂电池的续航时间(单位：小时)进行测试，随机抽取100个电池，其续航时间的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的45%分位数约为 A.8.2　　　B.8.3　　　C.8.5　　　　D.8.6 5.函数f(x)=ln－2x+1的图象的对称中心为 A.(-1，2)　　　　B.(-1，3)　　　C.(-1，1)　　　D.(-1，0) 6.已知半径为的球O内切于圆台(即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2=3r1，则圆台的体积为 A.　　　　B.　　C.12π　　　D. 7.已知双曲线C：－=1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，圆O：x2+y2=a2+b2与双曲线C的渐近线在第二象限内的交点为P，若△FPO的周长为2a+2c，则双曲线C的离心率为 A.2 　　　B.　　　C.3 　　　　D. 8.若函数f(x)=ax+(a+1)x(a>0，且a≠1)在(-∞，0)上单调递减，则实数a的取值范围是 A.0，　　B.，1　　　C.，1　　　D.0， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，则 A.当m⊥n时，α与β可能平行 B.存在平面γ，使得β∩γ=m C.当m∥β，且n∥α时，α∥β D.当α与β不平行时，m与β可能平行，或n与α可能平行 10.一个书架上摆放着4本科普读物、3本历史传记、2本经典文学书籍.现每次从书架上不放回地随机取出一本书，记事件Ck表示“第k次取出的书籍是历史传记”，k=1，2，3，则 A.P(C1C2)=　　　　B.P(C1+C2)= C.P(C2|C1)=　　　　D.P(C3|)= 11.已知曲线C：x－2+y2=0，则 A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C上至少有4个整点(即横、纵坐标均是整数的点) C.曲线C上存在一点P，使得点P与点(1，0)间的距离大于1 D.曲线C所围成的区域的面积小于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=5(a2+3)，a2n+1=2(an+1－1)，则a2=　　　　.  13.若对任意实数x，3sin2x+=Acos(2x+φ)恒成立，则满足条件的一组A，φ的值分别为A=　　　　，φ=　　　　.  14.甲、乙两人开启跑步健身计划.甲每次健身跑步的里程数比上一次多1公里，乙每次健身跑步的里程数比上一次增加5%.设甲、乙两人第n次健身跑步的里程数分别为Q1(n)，Q2(n)(单位：公里).已知Q1(1)=11，Q2(1)=10.5，则当Q1(n)-Q2(n)最大时，n的值为　　　　.(参考数据：lg 1.05≈0.021 2，lg 2≈0.301 0)  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知条件：①sin－Bsin＋B+sin2B=cos A；②2bsin Bcos C+csin 2B=2bcos A；③＋=1.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：　　　　.  (1)求A； (2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求边长b的取值范围. (注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.) 16.(15分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点与右焦点间的距离为2，且椭圆C经过点－，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于点A，B的动点，直线AP，BP分别交直线x=4于M，N两点，求·(O为坐标原点)的值. 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，△PAB是等边三角形，E是CD的中点，AB=2，AD=2，tan∠PBD=-3. (1)证明：AB⊥PE. (2)求二面角P-AB-E的大小. (3)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值. 18.(17分)已知a>0，函数f(x)=alnx－x，x[f(x)－g(x)]=1－a. (1)若f(x)的最大值为－1，求a的值； (2)讨论g(x)的单调性； (3)当a=1时，若不等式<-1(m∈N*)对任意x∈(0，1]恒成立，求m的最大值. 19.(17分)已知有限数列{an}，从数列{an}中选取第i1项、第i2项、…、第im项(i1<i2<…<im)，顺次排列构成数列{bk}，其中bk=，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an}的长度为m的子列.规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列，若数列{an}的每一个子列的所有项的和都不相同，则称数列{an}为完全数列.设数列{an}满足an=n，1≤n≤25，n∈N*. (1)判断下面数列{an}的两个子列是否为完全数列，并说明理由. 数列①：4，6，8，10，12；数列②：3，6，12，24. (2)数列{an}的子列{bk}的长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6. (3)数列{an}的子列{bk}的长度m=5，且{bk}为完全数列，求++++的最大值. 参考答案 1.C 【解题分析】∵集合P={x|-2≤x≤1}，P∪M=P，∴M⊆P，∴解得-1≤a<0且0<a≤1，∴实数a的取值范围是[-1，0)∪(0，1]. 2.B 【解题分析】因为z=，所以|z|===2，解得a=±2，故“|z|=2”是“a=-2”的必要不充分条件. 3.D 【解题分析】向量2a-3b在向量b上的投影向量为=b=-2b. 4.C 【解题分析】由频率分布直方图可知(0.05+0.10+0.15+x+0.40)×1=1，解得x=0.30，因为0.05+0.10+0.15=0.30，所以这组样本数据的45%分位数在区间[8，9)内，设其为t，则(t-8)×0.30+0.30=0.45，解得t=8.5. 5.B 【解题分析】要使得f(x)=ln-2x+1有意义，则>0，解得x>0或x<-2，则f(x)的定义域关于直线x=-1对称，又f(x)+f(-2-x)=ln-2x+1+ln-2(-2-x)+1=6，所以f(x)的图象的对称中心为(-1，3). 6.B 【解题分析】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆， 设圆O与梯形的腰AD相切于点E，与上、下底面分别相切于点O1，O2，注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA=90°，从而△AO2O∽△OO1D，故=，r1r2=3.因为r2=3r1，所以r2=3，r1=1，易知圆台的高为2，故圆台的体积为×(12+32+)×2=. 7.C 【解题分析】根据题意可得|OF|=|OP|=c，tan∠POF=-，所以sin∠POF=，cos∠POF=-，设P(x0，y0)，则x0=|OP|cos∠POF=-a，y0=|OP|sin∠POF=b，|PF|==.因为△FPO的周长为2a+2c， 所以=2a，c2+ac-12a2=0，解得c=3a或c=-4a(舍去)， 所以C的离心率e==3. 8.A 【解题分析】因为f(x)在(-∞，0)上单调递减，所以f'(x)=axln a+(a+1)xln(a+1)≤0在(-∞，0)上恒成立.设g(x)=axln a+(a+1)xln(a+1)，x∈(-∞，0)，则g'(x)=ax(ln a)2+(a+1)x[ln(a+1)]2>0，故g(x)为增函数，所以只需f'(0)=ln a+ln(a+1)≤0即可，即a(a+1)≤1，解得-≤a≤. 因为a>0，且a≠1，所以0<a≤，所以a的取值范围是0，. 9.ACD 【解题分析】对于A，当α∥β时，m⊥n可以成立，A项正确；若β∩γ=m，则m，n⊂β，这与m，n是异面直线矛盾，B项错误；当m∥β，且n∥α时，由面面平行的判定定理得α∥β，C项正确；当α与β不平行时，m与β可能平行，或n与α可能平行，D项正确. 10.ABD 【解题分析】P(C1)=，P(C1C2)=×=，A项正确； P(C2)==，P(C1+C2)=P(C1)+P(C2)-P(C1C2)=+-=，B项正确； P(C2|C1)===，C项错误； 因为P()=，P(C3)=P(C2C3)+P( C3)=××+××=， 所以P(C3|)===，D项正确. 11.ABC 【解题分析】对于曲线C上任意一点(x，y)，其关于x轴对称的点为(x，-y)， 则x-2+(-y)2=x-2+y2=0，故曲线C关于x轴对称，A项正确； 由曲线C：x-2+y2=0，得曲线C：(-1)2+y2=1，且x≥0，易知曲线C为封闭曲线， 所以y2=1-(-1)2≤1⇒-1≤y≤1，易得0≤≤2，故0≤x≤4， 当x=0时，y=0，当x=1时，y=±1，当x=4时，y=0，故曲线C过点(0，0)，(1，±1)，(4，0)，B项正确； 曲线C上的点(4，0)与点(1，0)间的距离大于1，C项正确； 曲线C的大致图形如图所示， 故曲线C所围成的区域的面积大于SOADB=×2×4=4，D项错误. 12.5 【解题分析】由S5=5a3=5(a2+3)，可得a3=a2+3，因为a2n+1=2(an+1-1)，所以令n=1，可得a3=2(a2-1)，又a3=a2+3，所以解得a2=5. 13.3　-(答案不唯一) 【解题分析】若对任意实数x，3sin2x+=3cos2x+-=3cos2x-=Acos(2x+φ)恒成立，则满足条件的一组A，φ的值分别为A=3，φ=-. 14.15 【解题分析】依题意，Q1(n)=11+n-1=10+n，Q2(n)=10.5×(1+5%)n-1=10×1.05n， 则Q1(n)-Q2(n)=10(1+0.1n-1.05n)，令wn=1+0.1n-1.05n，则wn+1-wn=0.1-1.05n×0.05=0.05(2-1.05n)， 当wn+1-wn>0时，2>1.05n⇔nlg 1.05<lg 2⇔n<≈≈14.2， 因此当n≤14时，wn+1>wn，当n≥15时，wn+1<wn，即w15最大， 所以当Q1(n)-Q2(n)最大时，n=15. 15.【解题分析】(1)选择条件①，sin-Bsin+B+sin2B=cos A，则cos A=sin-Bsin+B+sin2B=cos B-sin Bcos B+sin B+sin2B=cos2B-sin2B+sin2B=cos2B+sin2B=， 又A∈(0，π)，所以A=. 5分 选择条件②，2bsin Bcos C+csin 2B=2bcos A， 于是bsin Bcos C+csin Bcos B=bcos A， 在△ABC中，由正弦定理得sin2Bcos C+sin Csin Bcos B=sin Bcos A. 因为sin B≠0，所以sin Bcos C+sin Ccos B=cos A，即sin(B+C)=cos A. 因为A+B+C=π，所以sin A=cos A，即tan A=. 又A∈(0，π)，所以A=. 5分 选择条件③，+=1，则=1，化简得b2+c2-a2=bc，cos A===，又A∈(0，π)，所以A=. 5分 (2)因为△ABC为锐角三角形，且A=，所以B+C=， 所以解得<C<，又c=2，所以结合正弦定理=， 得b=====1+.因为<C<，所以tan C>，所以0<<，所以1<1+<4，即边长b的取值范围为(1，4). 13分 16.【解题分析】(1)依题意可得解得 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. 5分 (2)由(1)知A(-2，0)，B(2，0)，设P(x0，y0)，因为点P在椭圆+y2=1上， 所以+=1，=.直线AP的斜率kAP=， 则直线AP的方程为y=(x+2)，令x=4，得yM=，所以M4，. 直线BP的斜率kBP=，则直线BP的方程为y=(x-2)，令x=4， 得yN=，所以N4，.因为=4，，=4，， 所以·=4×4+·=16+ =16+=16-3=13. 15分 17.【解题分析】(1)取AB的中点F，连接EF，PF. 因为E是CD的中点，所以AB⊥EF. 因为△PAB是等边三角形，所以AB⊥PF， 又EF∩PF=F，所以AB⊥平面PEF. 因为PE⊂平面PEF，所以AB⊥PE. 5分 (2)由(1)知∠PFE为二面角P-AB-E的平面角. 记BD∩EF=G，在△PBG中，BP=2，BG=BD=2，tan∠PBG=-3，所以cos∠PBG=-， 由余弦定理知PG2=PB2+BG2-2PB·BG·cos∠PBG=22+22-2×2×2×-=9，故PG=3. 又因为GF=PF=，所以∠PFE=. 10分 (3)因为AB⊥平面PEF，AB⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PEF.在平面PEF内作Fz⊥EF，则Fz⊥平面ABCD，Fz，FE，FB两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz， 则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C(2，1，0)， 因为PF=，∠PFE=，所以P-，0，， 则=-，1，，=-，-1，，=(2，0，0). 设m=(x，y，z)为平面PBC的法向量，由m·=0，m·=0， 可得则x=0，令z=2，得y=3，故m=(0，3，2). 设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sin θ=|cos<m，>|===， 故直线AP与平面PBC所成角的正弦值为. 15分 18.【解题分析】(1)f'(x)=-1，令f'(x)=0，得x=a，故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(a)=aln a-a=-1，易知函数F(x)=xln x-x在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且F(1)=-1，所以a=1. 3分 (2)由题意得g(x)=aln x+-x，g'(x)=--1=-. 当a-1≤0，即0<a≤1时，令g'(x)>0，得0<x<1， 令g'(x)<0，得x>1，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减. 当0<a-1<1，即1<a<2时，令g'(x)>0，得a-1<x<1， 令g'(x)<0，得x>1或0<x<a-1，所以g(x)在区间(0，a-1)上单调递减，在区间(a-1，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减. 当a-1=1，即a=2时，g(x)=2ln x+-x，g'(x)=-≤0， 故g(x)在(0，+∞)上单调递减. 当a-1>1，即a>2时，同理可得g(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，a-1)上单调递增，在区间(a-1，+∞)上单调递减. 10分 (3)当a=1时，g(x)=f(x)=ln x-x，因为<-1(m∈N*)，所以m<-ln x+x-(x-2)ex，设h(x)=-ln x+x-(x-2)ex，x∈(0，1]， 则h'(x)=-(x-1)ex-，当0<x≤1时，x-1≤0，设u(x)=ex-， 则u'(x)=ex+>0，所以u(x)在(0，1]上单调递增. 又因为u=-2<0，u(1)=e-1>0，所以∃x0∈，1，使得u(x0)=0， 即=，ln x0=-x0.当x∈(0，x0)时，u(x)<0，h'(x)<0， 当x∈(x0，1)时，u(x)>0，h'(x)>0， 所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1)上单调递增， 故h(x)min=h(x0)=-(x0-2)-ln x0+x0=-1++2x0. 因为y=-1++2x在x∈，1上单调递减， 所以h(x0)∈(3，4).因为m<h(x)对任意的x∈(0，1]恒成立，且m∈N*， 所以m的最大值是3. 17分 19.【解题分析】(1)数列①：4，6，8，10，12不是{an}的完全数列；数列②：3，6，12，24是{an}的完全数列.理由如下： 数列①：4，6，8，10，12中，因为4+10=6+8=14，所以数列①不是完全数列； 数列②：3，6，12，24中，所有项的和都不相等，数列②是完全数列. 4分 (2)假设数列{bk}的长度m≥7，不妨设m=7，各项满足b1<b2<…<b7. 考虑数列{bk}的长度为2，3，…，7的所有子列，一共有27-1-7=120个. 记数列{bk}的长度为2，3，…，7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A， 所以a=b1+b2，A=b1+b2+25+24+23+22+21=b1+b2+115， 所以其中必有两个子列的所有项之和相同，所以假设不成立. 再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意. 所以子列{bk}的最大长度为6. 9分 (3)数列{an}的子列{bk}的长度m=5，且{bk}为完全数列，且各项满足b1<b2<b3<b4<b5，由题意得这5项中任意i(1≤i≤5)项之和不小于2i-1，即对任意的1≤i≤5，有b1+b2+…+bi≥1+2+…+2i-1， 对任意的1≤i≤5，(b1-1)+(b2-2)+…+(bi-2i-1)≥0. 设ci=bi-2i-1(i=1，2，3，4，5)，则数列{cn}的前j项和Dj≥0(j=1，2，3，4，5). 下面证明：++++≤1++++.因为1++++-++++=1-+-+-+-+-=++++=++++=D1-+D2-+D3-+D4-+≥0， 所以++++≤1++++=，当且仅当bi=2i-1(i=1，2，3，4，5)时，等号成立， 所以++++的最大值为. 17分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $