精品解析：安徽省十教育2027届高三第一次教学质量测评数学试卷

省十教育2027届高三第一次教学质量测评 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，3，6，4，7的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列为2，3，4，6，7， 该组数据的样本容量为5（奇数）， 所以中位数为排序后第个数据，即为4． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，所以； 又， 所以. 3. 已知向量，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再根据平面向量夹角的余弦公式即可求解． 【详解】由题可知，， 与夹角的余弦值为． 4. 已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲圆锥的高为，乙圆台的高为，利用勾股定理求出，，再由圆锥和圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆锥甲的高为，圆台乙的高为， 则，， 所以圆锥甲的体积， 圆台乙的体积， 所以甲、乙的体积之比为. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 则， 所以， 所以污染物减少50%需要花的时间约为. 6. 已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内. 点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以，即，即，故， 所以的渐近线方程为. 7. 在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 得， 由余弦定理，， 化简得，， 所以， 所以或. 因为是斜三角形，所以，所以， 所以，即A正确，B不正确. ，， 所以， 所以，所以C不正确. ， 当且仅当，即时，. 此时，，为直角三角形，不合题意， 所以D不正确. 8. 甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求第次连续红球且前面不能提前终止，为前 5 次无连续红球，利用对立事件求概率，再套期望公式计算. 【详解】由题，，摸球顺序：1 甲，2 乙，3 甲，4 乙，5 甲，6 乙. 停止条件：都红→，此时； 否则看都红→，此时1白2红3红，； 否则看都红→，此时为2白3红4红，； 否则看都红→，此时为3白4红5红，且未发生，即前两次不能是1红2红， ，则； 否则看都红，此时均未发生， 则； 期望. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，复数满足，则（ ） A. B. C. 复数的虚部为1 D. 复数在复平面内的对应点在第一或第三象限 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题可得，A错误； 因为，所以，B正确； 复数，故复数的虚部为1，C正确； 设，则， 所以或， 所以复数或，其在复平面内的对应点坐标为或， 所以复数在复平面内的对应点在第一或第三象限，D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调递增区间为， C. 曲线关于直线对称，其中 D. 函数有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A.先求出的周期是，所以只需考虑的一个周期内求值域；B.举反例，对，取，则，但没有在上单调递增，与选项矛盾；C.验证到 ，对任意成立，则曲线关于直线对称，其中；D. 的值域为，则分四段讨论：，，，，得到对应的零点个数，从而得到只有1个零点. 【详解】选项 A，，的周期为， ， ，故的周期是，所以只需考虑函数的一个周期内求值域， 当，，， 当，，， ，，， ，，， 所以，函数的值域为，又的周期是，所以的值域为，A正确； 选项 B，举反例，对，取，则，，，此时函数在上单调递增，在上单调递减，所以没有在上单调递增，B错误； 选项 C，，， ，对任意成立，所以是的对称轴，C 正确； 选项 D，令， 的值域， 时，，, 则 无零点； 时，， 则无零点； 时，此时 故,又,所以,则无零点； 时， 先讨论，，则， ，因为，所以且等号仅在端点处成立，所以在单调递减， ，，由零点存在定理得，在内有且仅有1个零点，又因为时， 无零点，所以这个唯一零点必然落在上， 综上，有且仅有1个零点,D错误. 11. 已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由圆的弦长公式求解；B.先求出点A，B的坐标，利用切线的性质，在直角三角形中，再分别利用三角形的等面积法求出的一半的大小，从而得到的大小；C.利用二倍角的正切公式求解；D.假设存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，从而利用点到直线的距离公式求解方程. 【详解】选项 A,, , 两式相减得公共弦直线方程,即， ，半径，圆心到直线距离是, 所以，A 正确； 选项 B，联立与，解得；, 不妨设， 设与交于点， 因为，，，所以， 所以，故, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， 设与交于点，同理可知, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， , B错误； 选项 C, , 则 ，， ,, 在：，, , 所以, 因为，所以 ，C 正确； 选项 D，三个圆的半径都是1，若存在一条直线截三个圆所得的弦长相等， 由弦长公式，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等， 设存在直线，满足， 等价于 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②：， 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②： ， 联立与，得舍去， 联立与，令，则， 代入，直线的方程为：， 所以存在直线截三个圆所得的弦长相等，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________． 【答案】2 【解析】 【详解】因为是奇函数，当时，， 所以. 13. 若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用导数与切线方程的关系求解第1个空；利用导数与函数的最值求解第2个空. 【详解】第1个空：对函数求导可得，， 由曲线在点处的切线方程为可得 ， 即,, ，代入解得，； 第2个空：由第1个空可知 ，那么， ， 令， 得或， 令， 得， 故函数单调性如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以,, 故在区间上的最大值与最小值之和为： . 14. 已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意及直线垂直关系设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及对称关系求出的范围；根据弦长公式及二次函数性质求解即可. 【详解】由题意知，，则. 设直线：，，，中点. 联立，整理得. ， 因为，所以①. 所以，，所以. 因为中点在上， 则，即，所以. 又在上，则， 所以，整理得②. 将②代入①中，得，整理得，解得. . 因为在内，所以当时，取得最大值， 此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 （1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ （2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 良好 一般 合计 服用 85 15 100 服用 80 20 100 合计 165 35 200 不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联 （2），， 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的相关知识解决； （2）利用古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 良好 一般 合计 服用 85 15 100 服用 80 20 100 合计 165 35 200 零假设为：治疗效果良好与服用，药物无关联， 根据上表可知，， 所以根据小概率值的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用，药物有关联． 【小问2详解】 因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以， 在200人中服用药物的人数为100，所以， 因为在200人中有85人服用药物且治疗效果良好， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为在平面中，，，所以， 又，所以四边形是以与为底边的梯形，所以与相交， 因为，，，平面，所以平面． （2）证明：取的中点，连接，， 因为是的中点，所以且， 因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （3） 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为平面，，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，所以，， ，，设平面的一个法向量， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则． 17. 已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，求出，再利用累加法，即可求解； （2）根据条件，利用分组求和、错位相减法和等差数列的前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，当时，， 当时，，满足上式， 所以， 因为，，成等比数列， 所以，整理得到，解得， 所以， 因为数列满足，，所以， 当时，， 所以， 所以时， ， 适合上式，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 令， ， 则， 所以 ， 所以，又， 所以． 18. 已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，． （1）求的离心率； （2）若， （i）求证：直线平分线段； （ii）已知四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（i）证明：设，，的中点为， 由与联立，整理得， 所以，所以，， 所以直线的斜率， 因为，所以， 又直线过原点，所以与直线是同一条直线，所以直线平分线段． （ii）或． 【解析】 【分析】（1） 写出椭圆的标准方程，得到， ，从而求解离心率. （2）（i）联立椭圆和直线的方程，可求得的中点的坐标，结合条件，从而可求解. （ii）联立椭圆和直线的方程，计算得到的长度，联立椭圆和直线的方程，可求得，两点的坐标，再结合点到直线的距离和四边形的面积即可求解. 【小问1详解】 由，即， 则，，， 所以，， 所以的离心率． 【小问2详解】 （i）略 （ii）解：由（i）知，， 所以， 所以． 的方程为，由，得的方程为， 由与联立， 解得，两点坐标分别为，． 设点，到直线的距离为，，记，， 则，的坐标为，，， 令，则， 所以， 所以四边形的面积， 解得，又，所以， 直线的方程为或． 19. 已知函数的导函数为． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若是在区间上的一个零点，设，函数，求证：； （3）设，是函数的两个极值点，且． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）由， 得，， 令函数， 记，则，所以在上单调递增， 则， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此，当时，， 可得，即． 令函数， 则． 因为在上单调递增， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减． 因此，当时，， 可得，即，所以． （3）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，将问题转化成在上恒成立，再求出的最小值，即可求解； （2）构造函数，，利用导数与函数单调性的关系，分别求出的最小值，进而可得，，即可求解； （3）（i）根据条件，利用极值的定义，即可求解；（ii）根据条件可得，构造函数，再求出的取值范围，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以，即，即的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）因为，所以， 因为，是函数的两个极值点， 所以，是的两个根，即，是方程的两个正数根， 所以，，故， 所以的取值范围是. （ii），，， ， 令，则， 又， 由，得，所以， 又，解得， 因为，， 所以， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省十教育2027届高三第一次教学质量测评 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，3，6，4，7的中位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 6. 已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，且，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲袋中有2个红球，4个白球，乙袋中有3个红球，3个白球，这些球形状大小完全相同．先从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，接着再从甲袋中摸一球记下颜色放回，再从乙袋中摸一球记下颜色放回，这样依次摸球，连续摸出2个红球停止摸球，最多摸球6次．记停止摸球时摸球次数为，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，复数满足，则（ ） A. B. C. 复数的虚部为1 D. 复数在复平面内的对应点在第一或第三象限 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的单调递增区间为， C. 曲线关于直线对称，其中 D. 函数有两个零点 11. 已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_________． 13. 若函数，且曲线在点处的切线方程为，其中，，则_________；在区间上的最大值与最小值之和为_________． 14. 已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 （1）完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ （2）在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知数列的前项和，且，，成等比数列，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 18. 已知椭圆，直线与交于，两点，斜率为的直线过原点，与的交点为，． （1）求的离心率； （2）若， （i）求证：直线平分线段； （ii）已知四边形的面积为，求直线的方程． 19. 已知函数的导函数为． （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若是在区间上的一个零点，设，函数，求证：； （3）设，是函数的两个极值点，且． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $