第十七章 因式分解 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“因式分解”单元复习，全面覆盖因式分解定义、方法及应用，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，渗透抽象能力、几何直观与模型意识，适配单元学情检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解定义（第1题）、公因式（第2题）、公式法（第3题）、图形验证公式（第4题）|结合几何图形（如第4题割补验证平方差公式），体现数学眼光中的几何直观| |填空题|6/18|完全平方公式参数（第12题）、含因式求参数（第15题）、多项式值与参数关系（第16题）|设置开放性参数问题（如第12题求m值），培养推理意识| |解答题|8/72|分组分解法（第21题）、“完美数”探究（第22题）、配方法与最值（第23题）、十字相乘法与换元（第24题）|设计跨情境应用（如第22题完美数规律证明与面积计算），强化数学语言表达与应用意识|

第十七章 因式分解（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2、多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 3、 下列多项式中①；②；③；④；⑤； ⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 5、把多项式因式分解，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6、将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 7、已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 8、如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 9、小王是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 10、已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式的公因式为 ． 12、若是一个完全平方式，则的值为_______________． 13、计算：______． 14、把多项式进行因式分解的结果为，其中m，n均为整数，则的值为______． 15、若多项式含有因式，则的值是________． 16、已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 因式分解： （1）； （2）． 18、已知，，求值． 19、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 20、仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 21、阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 22、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 23、 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变， 即 ． 像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 24、材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：A、是单项式，不符合题意因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意． 2、多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式的公因式是． 3、 下列多项式中①；②；③；④；⑤； ⑥．能用公式法分解因式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①不能用公式法因式分解； ②，可以用完全平方公式分解因式； ③不能用公式法因式分解； ④，能用平方差公式分解因式； ⑤，能用完全平方公式分解因式； ⑥不能用公式法因式分解； 综上分析可知，能用公式法分解因式的有3个． 4、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解∶左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 5、把多项式因式分解，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解： =-3a(-x+) =， 6、将多项式进行因式分解，结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 7、已知，，则的值为（   ） A．10 B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 8、如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：， 大正方形的边长为， 9、小王是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：东、爱、我、山、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 山东美丽 C. 我爱山东 D. 美我山东 【答案】C 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“东”，对应“山”． 四个因式组合为“爱、我、东、山”， 只有C“我爱山东”符合， 10、已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式的公因式为 ． 【答案】 【详解】解：多项式中， 系数的最大公约数是4， 相同字母的最低指数次幂是， 因此公因式是． 故答案为：． 12、若是一个完全平方式，则的值为_______________． 【答案】 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：． 故答案为：． 13、计算：______． 【答案】 【详解】解： ； 故答案为：2035. 14、把多项式进行因式分解的结果为，其中m，n均为整数，则的值为______． 【答案】 【详解】解： ， 由题意得：， ， ， 故答案为： 15、若多项式含有因式，则的值是________． 【答案】2 【详解】解：∵多项式含有因式， ∴设另一个因式是， 则， ∵ ， ∴，， 解得：，， 故答案为：2． 16、已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 【答案】2025 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2025． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18、已知，，求值． 【答案】54 【详解】 把，代入， 原式． 19、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ∴原来的二次三项式为：； （2）解：． 20、仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为20 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为20． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为20． 21、阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 22、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 【答案】（1） （2）见详解 （3）420 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 证明：设两个连续的偶数为、，n为正整数，则完美数为， ∴ ， ∵n为正整数， ∴为奇数， ∴能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； 小问3详解】 解：根据题意，得 ． 23、 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变， 即 ． 像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）4 （3）时，有最小值，最小值是 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 24、材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $