5.7 三角函数的应用 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦三角函数的应用，核心是简谐运动概念（振幅、周期等）与y=A sin(ωx+φ)的对应关系，及从实际问题中建立三角函数模型。通过播放潮汐、摩天轮等周期性现象视频导入，联系已学三角函数图象性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色是以弹簧振子、交变电流等真实情境为载体，引导学生作散点图、分步确定参数（A、ω、φ），培养“用数学眼光观察”“用数学思维推理”“用数学语言建模”的核心素养。如弹簧振子问题完整呈现建模过程，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学流程与难点突破策略。

5.7 三角函数的应用 教学设计-2026-2027学年 高一 人教A版 数学 必修第一册 一、教学目标 教学目标 目标描述 语言素养 （1）能准确陈述简谐运动、振幅、周期、频率、相位、初相等概念，并能说明它们与解析式y=A sin(ωx+φ)中常数A、ω、φ的对应关系。 能力素养 （2）能从弹簧振子、交变电流等实际问题中提取周期性特征，经历作散点图、选择模型、确定参数的完整建模过程，将实际现象抽象为三角函数模型。 综合应用 （3）能由实测数据表或图象，求出y=A sin(ωx+φ)型函数解析式，并利用解析式计算指定时刻的物理量值，解决实际问题。 二、教学重难点 教学重难点 内容描述 教学重点 用三角函数模型刻画具有周期性的实际现象，由数据或图象确定y=A sin(ωx+φ)中的参数A、ω、φ。 教学难点 把实际问题抽象为三角函数模型的建模过程；振幅、周期、频率、相位、初相等概念与解析式中常数的对应关系；初相φ的确定。 突破策略 借助散点图直观感知周期性，引导学生将物理量与函数参数逐一对号，利用初始条件列方程确定φ。 三、教学准备 教师准备多媒体课件，包含弹簧振子振动视频、交变电流波形图、散点图动态生成动画。准备直尺、计算器供学生作图与计算使用。学生课前复习y=A sin(ωx+φ)的图象与性质，回顾周期公式T=。 四、教学流程设计 （一）创设情境，引入新课 教师播放潮汐涨落、摩天轮匀速转动、弹簧振子振动的短视频，提问：这些现象有什么共同特征？预设学生回答：它们都在周而复始地循环变化。教师指出：现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。本节我们就来学习三角函数模型在实际问题中的应用。 （二）探究发现，建立模型 1. 弹簧振子问题 教师呈现弹簧振子位移y（单位：mm）随时间t（单位：s）变化的实测数据表，引导学生以时间t为横轴、位移y为纵轴作散点图。教师提问：散点图呈现出什么规律？能否用学过的函数模型来刻画？预设学生回答：散点图呈上下振荡的波形，可以用y=A sin(ωt+φ)来描述。教师追问：如何由数据确定参数A、ω、φ？学生分三步讨论。 第一步，定振幅A。教师提问：振子振动时位移的最大值是多少？预设学生回答：最大值为20 mm。教师追问：A的值是多少？预设学生回答：A=20。教师强调：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。 第二步，定ω。教师提问：振子振动的周期是多少？预设学生回答：由数据可知周期为0.6 s。教师追问：周期T与ω的关系是什么？预设学生回答：T=。教师追问：如何求ω？预设学生回答：由=0.6，解得ω=。教师补充：频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数。 第三步，定φ。教师提问：初始状态（t=0）振子的位移是多少？预设学生回答：y=−20。教师追问：将t=0、y=−20代入y=20sin(ωt+φ)能得到什么？预设学生回答：20sin φ=−20，即sin φ=−1，可取φ=−。教师指出：ωt+φ称为相位，t=0时的相位φ称为初相。综合以上，振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin( t−)，t∈[0，+∞)。 2. 简谐运动的概念 教师总结：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为简谐运动。可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=A sin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0。教师引导学生梳理对应关系：A是振幅；周期T=；频率f==；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相。 （三）变式思考，解决问题 例题：交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象如图所示，该图象为半个周期从峰值到峰值的波形。已知电流的最大值为10 A，周期为0.02 s，t=0时i=0且随t增大而增大。求电流i随时间t变化的函数解析式，并求t= s时的电流值。 解：设i=A sin(ωt+φ)。由电流最大值为10 A，得A=10。由周期T=0.02 s，得=0.02，解得ω=100π。由t=0时i=0且随t增大而增大，得10sin φ=0，即sin φ=0，可取φ=0。所以电流i随时间t变化的函数解析式为i=10sin(100πt)，t∈[0，+∞)。当t= s时，i=10sin(100π×)=10sin()=10×(−)=−5。答：电流i随时间t变化的函数解析式为i=10sin(100πt)，t∈[0，+∞)；t= s时的电流值为−5 A。 教师追问：若将t=0时i=0且随t增大而增大改为t=0时i=0且随t增大而减小，φ应取何值？预设学生回答：sin φ=0仍成立，但需保证cos φ<0，故取φ=π。教师归纳三角函数模型应用的一般思路：观察实际问题的周期性→收集数据、作散点图→选择y=A sin(ωx+φ)类模型→由数据或图象确定参数A、ω、φ→用解析式解决问题。 （四）课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些内容？预设学生回答：学习了用三角函数模型描述弹簧振子、交变电流等周期性现象，掌握了简谐运动中振幅、周期、频率、相位、初相与解析式参数的对应关系，学会了由数据或图象确定参数A、ω、φ的方法。教师追问：确定初相φ的关键是什么？预设学生回答：利用初始时刻的已知条件代入解析式，结合函数增减趋势锁定φ的值。 （五）课后作业 1. 一个弹簧振子的位移y（单位：cm）随时间t（单位：s）的函数为y=8sin(2πt−π)，t∈[0，+∞)。求该振子的振幅、周期和频率，并求t= s时的位移。 参考答案：振幅A=8 cm；周期T===1 s；频率f==1 Hz；t= s时，y=8sin(2π×−π)=8sin(−π)=8sin(−)=−8 cm。 2. 某交流电的电压u（单位：V）随时间t（单位：s）变化的函数为u=220sin(100πt+)，t∈[0，+∞)。求电压的初相，并求t= s时的电压值。 参考答案：初相φ=；t= s时，u=220sin(100π×+)=220sin(+)=220sin()=220 V。 学科网（北京）股份有限公司 $