1.1.1 认识勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，通过消防救灾情境导入，将实际问题转化为已知直角边求斜边的数学问题，再经多个探究活动用割补法验证三边关系，最终总结定理并解决导入问题，构建完整学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，用割补法发展数学思维中的推理能力，结合数学文化和分类讨论典例强化数学语言表达。课堂小结提炼方法与思想，助力学生形成探究习惯，为教师提供流程清晰、案例丰富的教学资源。

1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 第1课时 认识勾股定理 情景引入 某大楼不幸发生了火灾，消防队员在消防车上，向受灾的楼层搭建救灾梯，楼层、消防车顶所在水平面和救灾梯组成了一个直角三角形，已知楼与消防车的高度差和楼与消防车的水平距离，如果你们是消防队员，需准备多长的梯子呢？ 通过测量楼与消防车的高度差为6m，楼与消防车的水平距离为8m，此时可以转化为纯数学问题：在一个直角三角形中，已知两条直角边的长，求斜边。 其实在一个直角三角形中，任意两边确定了就可以求出第三边，这是因为直角三角形三边边长的平方满足一个关系，这一关系就是我们今天要学的勾股定理，接下来我们一起进入今天的学习，求出消防梯长。 6m 8m ？ 新知探究 探究1：如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足怎样的数量关系？你是如何计算的？与同伴进行交流. a b 左图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 9 9 18 9+9=18 a2+b2=c2 你能找出右图中的数量关系吗？ c 新知探究 探究2：如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流. 右图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 4 4 8 4+4=8 a2+b2=c2 a b c 新知探究 探究3：对于下图中的直角三角形，是否还满足上述猜想的关系？你又是如何计算的呢？ 方法一：割 将正方形 C 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 该怎样求C的面积呢？ 新知探究 探究3：对于下图中的直角三角形，是否还满足上述猜想的关系？你又是如何计算的呢？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 该怎样求C的面积呢？ 方法二：补 将正方形 C 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 新知探究 探究4：如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由. 股 勾 弦 1 0 2 1 1.6 2.4 成立. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 因此，我国称上面的结论为勾股定理. 总结归纳 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 勾股定理 定理变式 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则a2 =c2 -b2，b2=c2-a2. 数学文化 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 数学文化 古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为“百牛定理”. 新知应用 某大楼不幸发生了火灾，消防队员在消防车上，向受灾的楼层搭建救灾梯，楼层、消防车顶所在水平面和救灾梯组成了一个直角三角形，已知楼与消防车的高度差和楼与消防车的水平距离，如果你们是消防队员，需准备多长的梯子呢？ 6m 8m ？ 解：由勾股定理得 62+82=100=102 答：需要 10 m 的梯子. 典例分析 例1、已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求 CD 的长. A D B C 3 4 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， 得 AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . 典例分析 例2、如图，长 13m 的梯子 AC 靠在墙上，梯子的底部 C 离墙角 B 的距离 BC 为 5 m (AB⊥BC)，求梯子的顶端A离地面BC的距离AB．​ A B C 5m 13m 解：在Rt△ABC 中，由勾股定理得，AB2 + BC2 = AC2， 所以 AB2 + 52 = 132， 解得 AB = 12． 答：梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离AB 为 12 m. 典例分析 例3、在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16 . 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 典例分析 例3、在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 典例分析 例4、如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AC+AD=32，BD = 5，CD = 16，求 AB 的长. 解：因为 AD⊥BC， 所以∠ADC =∠ADB ＝ 90°. 由 AC + AD = 32，设 AD = x，则 AC = 32-x. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2， 即 x2+162=(32-x)2，解得 x=12，所以 AD = 12. 在 Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2+BD2=AB2， 即 122 + 52 = 169 = AB2，所以 AB = 13. A B D C 课堂小结 1.如图，已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c，∠C＝90°. (1)若a＝8，b＝6，则c＝ ； (2)若c＝13，b＝5，则a＝ . 10　 12　 应用新知 2.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm. (1)求BC的长；(2)求AD的长。 解：(1)在Rt△BDC中， BC2＝BD2＋CD2＝32＋42＝25， ∴BC＝5cm. 解：(2)设AD＝xcm， 则AB＝AC＝(x＋3)cm. ∵CD⊥AB， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得x2＋42＝(x＋3)2， 解得x＝ ， 即AD的长为 cm. ∴∠CDA＝90°. 应用新知 $