1.1认识勾股定理课件 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

该初中数学课件聚焦“勾股定理”第一课时，核心内容为探索直角三角形三边数量关系并掌握勾股定理。课堂以商高与主公对话引入“勾三股四弦五”，通过测量不同直角三角形边长、用分割法和补全法计算面积等问题链，搭建从具体实例到抽象公式的学习支架。 其亮点在于融入历史文化元素，通过问题驱动探究，如用分割法计算图形面积验证边长平方关系，细分格子解决非格点三角形验证难题。培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识），帮助学生理解定理本质，教师可借助丰富素材高效开展教学。

1.1 探究勾股定理 第1课时 认识勾股定理 1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 第一章 勾股定理 八年级上│BS 1. 探索直角三角形三边之间的数量关系，掌握勾股定理的内容. 2. 能运用勾股定理进行简单的计算. 重点 难点 学习目标 商高先生，您精通数理.我有一事困扰，自远古伏羲划定天地以来，这天无台阶可攀，地无尺码可量，那先贤究竟是如何知晓这天高地广的数据呢? 主公，测量天地的法则，就藏在最基础的“圆”与“方”的图形之中。而方的规矩，始于这最基础的直角三角形。 取一个直角三角形，若短边为(勾)三，长边(股)为四，则其斜边(弦)为五. 3 4 5 新课引入 图1 a b c 问题1 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？ 图2 a b c a b c 图1 边长 3 4 5 边长的平方 图2 边长 5 12 13 边长的平方 9 16 25 25 144 169 将三角形三边分别用a、b、c 表示，则可表示：a2 ＋ b2 ＝ c2. 新知学习 问题2 如图，直角三角形三条边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是怎样计算的？ A B C A B C 方法一：分割法 左图：SC＝6×6－4×( ×3×3)＝18 右图：SC＝4×( ×2×2)＝8 方法二：补全法 左图：SC＝4×( ×3×3)＝18 右图：SC＝4×4－4×( ×2×2)＝8 新知学习 问题2 如图，直角三角形三条边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是怎样计算的？ A B C A B C 左图 右图 A的 面积 A的 面积 B的 面积 B的 面积 C的 面积 C的 面积 面积 关系 面积 关系 边的 关系 边的 关系 9 9 18 9＋9＝18 a2＋b2＝c2 4 4 8 4＋4＝8 a2＋b2＝c2 a b c a b c 新知学习 问题3 下图中的直角三角形是否也具有这样的关系？你又是如何计算的呢？ A B C A B C 方法一：分割法 左图：SC＝4×( ×4×3)＋1×1 ＝25 右图：SC＝4×( ×1×3)＋2×2＝10 方法二：补全法 左图：SC＝7×7－4×( ×4×3)＝25 右图：SC＝4×4－4×( ×1×3)＝10 新知学习 问题3 下图中的直角三角形是否也具有这样的关系？你又是如何计算的呢？ 左图 右图 A的 面积 A的 面积 B的 面积 B的 面积 C的 面积 C的 面积 面积 关系 面积 关系 边的 关系 边的 关系 16 9 25 16＋9＝25 a2＋b2＝c2 1 9 10 1＋9＝10 a2＋b2＝c2 A B C A B C 新知学习 问题4 如果直角三角形的两直角边的长度分别是 1.6 和 2.4 ，那么上面猜想的数量关系还成立吗？请说明理由. 顶点不在格点上，该怎么验证呢？ 新知学习 将格子再次细分，使三角形顶点落在格点上 B C A 2.4 2.88 1.6 新知学习 通过上面的活动，你一定已经发现：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，人们把上面的结论称为勾股定理. 勾 股 弦 新知学习 勾股定理:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边的长度，那么 a2 ＋ b2 ＝ c2. 注意：使用勾股定理的前提是在直角三角形中 符号语言： ∵在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°， ∴ a2 ＋ b2 ＝ c2. a b c B C A 归纳总结 新知学习 1. 若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为( ) A.25 B.14 C.7 D.7或25 D 2. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为(　　) A.24 B.36 C.40 D.44 D 随堂练习 3. 如图，所有四边形都是正方形. (1) S③ ＝ __________ . (2) 请在图中找出若干图形，使得它们的面积之和恰好等于最大的正方形面积①. S① － S④ ① ② ③ ⑦ ④ ⑤ ⑥ ⑧ ⑨ ⑩ 解：方法一 S③ ＋ S④ ＝ S① 方法二 S③ ＋ S⑧ ＋ S⑩ ＝ S① 方法三 S⑦ ＋ S⑨＋ S④ ＝ S① 方法四 S⑦ ＋ S⑨ ＋ S⑧ ＋ S⑩ ＝ S① 随堂练习 4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC，垂足为 D. 求: (1)BC的长；(2)AD 的长. 解: (1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， 所以 ，所以BC＝5. 故BC的长为5. (2)因为AD⊥BC于点D， 所以 所以 所以 故AD的长为 随堂练习 5.如图，已知 AD 是△ABC 的中线．求证：AB2＋AC2 ＝ 2(AD2＋CD2)． 证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. 在 Rt△ACE、Rt△ABE 和 Rt△ADE 中， AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2， BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED. 所以 AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2) ＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)． 又因为 AD 是△ABC 的中线，所以DB＝DC. 所以 AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)． E 一般涉及线段之间的平方关系问题时，通常构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来． 归纳总结 随堂练习 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 ＋ b2 ＝ c2. 定理 利用勾股定 理进行计算 认识勾股定理 a b c 课堂小结 $