25.3实际问题与一元二次方程（第2课时）（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.能正确列出关于传染病问题、增长率问题的一元二次方程。 2.体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习重点： 利用一元二次方程解决传染病问题和增长率问题。 学习难点： 将实际问题转化为数学问题。 二、学习过程 （一）复习引入 利用一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 分析 设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 第一轮后共有 个人被传染； 第二轮后共有 个人被传染. 解： 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染?由此体会阻断病毒传播的必要性. 答： 追问 通过探究本题，谈谈你对类似的传播问题中数量关系的认识. 分析 设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 第一轮后共有 个人被传染； 第二轮后共有 个人被传染. 第三轮后共有 个人被传染. ... 第n轮后共有 个人被传染. 结论 . 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元.哪种食品成本的年平均下降率较大? 分析 甲种食品成本的年平均下降额为 ，乙种食品成本的年平均下降额为 .显然， 的年平均下降额较大.但年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 解： 追问 为什么选择22.5%作为答案? 答： 追问 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 解： 思考 经过计算，你能得出什么结论?成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况? 答： （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练（2026山西）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1 200台，5月份的产量为1 600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A．1200(1+x)=1600 B．1200(1+2x)=1600 C．1200(1+x)2=1600 D．1600(1−x)2=1200 中考演练（2025四川泸州(节选））某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．求乙种商品每件进价的年平均下降率. 中考模拟（2026云南）换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x人，则可列方程为（     ）． A．1+x+x2=81 B．1+x+x(x−1)=81 C．1+x+(x+1)2=81 D．1+x+x(x+1)=81 （四）巩固练习 1.某厂家2026年1−5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（      ） A．368x(1+x)=450 B．450(1+x)2=368 C．450(1+x)=368 D．368(1+x)2=450 第1题图 第2题图 第3题图 2.某种细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞. （1）经过三轮分裂后细胞的个数是 . （2）n轮分裂后，细胞的个数是 . 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支? 4. 青山村所种水稻2020年平均每公顷产15 000 kg，2022年平均每公顷产18 000 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率(结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位). （五）当堂检测 1.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7 000 台？ 2.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.3：第4题. B组题：习题25.3：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.能正确列出关于传染病问题、增长率问题的一元二次方程。 2.体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习重点： 利用一元二次方程解决传染病问题和增长率问题。 学习难点： 将实际问题转化为数学问题。 二、学习过程 （一）复习引入 利用一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （二）合作探究 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 分析 设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 第一轮后共有 1+x 个人被传染； 第二轮后共有 1+x+x(x+1) 个人被传染. 解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人，根据题意列方程，得 1+x+x(1+x)=121. 解方程，得 x1=10，x2=−12(不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染?由此体会阻断病毒传播的必要性. 答： 因为 121+121×10 = 1 331（人） 所以 第三轮后共有1 331个人被传染. 追问 通过探究本题，谈谈你对类似的传播问题中数量关系的认识. 分析 设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 第一轮后共有 1+x 个人被传染； 第二轮后共有 (1+x)2 个人被传染. 第三轮后共有 (1+x)3 个人被传染. ... 第n轮后共有 (1+x)n 个人被传染. 结论 被传染人数呈指数增长，传染轮次越多，感染人数会急剧扩张.及时阻断传播链条，能快速压低感染规模，避免疫情大规模扩散，凸显科学防疫的必要性. 探究2 两年前生产1 t甲种食品的成本是10 000元，生产1 t乙种食品的成本是12 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6 000元，生产1 t乙种食品的成本是7 200元.哪种食品成本的年平均下降率较大? 分析 甲种食品成本的年平均下降额为 (10 000−6000)÷2=2000(元) ，乙种食品成本的年平均下降额为 (12000−7200)÷2=2400(元) .显然， 乙种食品成本 的年平均下降额较大.但年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 解：设甲种食品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种食品成本为10 000(1−x)元，两年后甲种食品成本为10 000(1−x)2元，于是有 10 000(1−x)2=6 000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 追问 为什么选择22.5%作为答案? 答：根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%． 追问 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 解：设乙种食品成本的年平均下降率为y，则一年后乙种食品成本为12000(1−y)元，两年后乙种食品成本为12 000(1−y)2元，于是有 12 000(1−y)2=7 200. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 思考 经过计算，你能得出什么结论?成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况? 答：两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况． （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练（2026山西）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1 200台，5月份的产量为1 600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（  C   ） A．1200(1+x)=1600 B．1200(1+2x)=1600 C．1200(1+x)2=1600 D．1600(1−x)2=1200 中考演练（2025四川泸州(节选））某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．求乙种商品每件进价的年平均下降率. 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，125(1−x)2=80， 解得x=0.2=20%或x=1.8（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 中考模拟（2026云南）换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x人，则可列方程为（  D   ）． A．1+x+x2=81 B．1+x+x(x−1)=81 C．1+x+(x+1)2=81 D．1+x+x(x+1)=81 （四）巩固练习 1.某厂家2026年1−5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（  D   ） A．368x(1+x)=450 B．450(1+x)2=368 C．450(1+x)=368 D．368(1+x)2=450 第1题图 第2题图 第3题图 2.某种细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞. （1）经过三轮分裂后细胞的个数是 8 . （2）n轮分裂后，细胞的个数是 2n . 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支? 解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程，得 1+x+x2=91， 解得 x1=9，x2=－10(不符合题意，舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 4. 青山村所种水稻2020年平均每公顷产15 000 kg，2022年平均每公顷产18 000 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率(结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位). 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x， 根据题意列方程，得 15 000(1+x)2=18 000. 解方程，得 x1≈0.0954，x2≈－2.0954. 根据问题的实际意义，水稻每公顷产量的年平均增长率约为9.54%. （五）当堂检测 1.某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7 000 台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)． 4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 2.某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x，根据题意列方程，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950， 化简，得 4x2+12x－7=0， 解得 x1=－3.5（舍去），x2=0.5. 答：这个增长率为50%. （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.3：第4题. B组题：习题25.3：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $