25.3实际问题与一元二次方程（1）导学案 2026-2027学年 人教版九年级上册数学

25.3实际问题与一元二次方程（1）导学案 课题 实际问题与一元二次方程（1） 学科 数学 年级 九年级上册 学习目标 1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程. 2. 根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 重点难点 重点： 列一元二次方程解决传播问题、增长率问题. 难点：利用传播问题、增长率模型解决相关类似的问题. 学习过程 知识链接 1、 列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？ 合作探究 探究1、传染型问题 有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 思考：（1）本题中有哪些数量关系？ （2）如何理解“两轮传染”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有____________人患了流感； 在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了________人，那么第二轮传染了____________人，第二轮传染后，共有____________人患流感. （4）根据等量关系列方程并求解: (5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？ 交流讨论:解决这类传播问题有什么经验和方法？ 探究2、增长率问题 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？ （2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________ 元；两年后，甲种药品下降了_____ 元，此时成本为 ____ 元。 （3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？ （4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。 （5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 例题讲解、惠州市开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率为多? 小结：对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2） 自主尝试 探究1巩固练习： 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 想一想：本题与探究1中的数量关系有何区别？ 2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 篮球单循环赛问题：甲和乙比赛与乙和甲比赛在同一次进行，所以总数要除以2. （类似的有握手、喝酒、跳舞等） 3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 篮球联赛问题：甲与乙比赛与乙与甲比赛各自积分故总数不要除以2.（类似的有互赠贺卡等） 4.某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请解释：每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，被感染的电脑会不会超过700台？ 当堂检测 1、据调查，2023年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2025年同期将达到8 200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为( ) A．7 600(1＋x%)2＝8 200 B．7 600(1－x%)2＝8 200 C．7 600(1＋x)2＝8 200 D．7 600(1－x)2＝8 200 2、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( ) A．50(1＋x)2＝196 B．50＋50(1＋x)2＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 3、党的“十六大”提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2025年比2005年翻两番，到21世纪的头20年(2006～2025年)，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为 _________________ ． 4、青山村种的水稻2023年平均每公顷产7200kg，2025年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率． 5、菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． 小结反思 通过本节课学习，你学会了什么？你掌握了以下问题吗？ 1. 列一元二次方程解应用题的步骤： 2. 用“传播问题”建立数学模型、篮球赛问题。 3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2） 25.3实际问题与一元二次方程（1）导学案 课题 实际问题与一元二次方程（1） 学科 数学 年级 九年级上册 教学目标 3. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程. 4. 根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 5. 经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 重点难点 重点： 列一元二次方程解决传播问题、增长率问题. 难点：利用传播问题、增长率模型解决相关类似的问题. 教学过程 知识链接 1、 列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？ ①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答 为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题，这节课我们一起来学习一元二次方程实际问题中的两个重要模型(板书课题) 合作探究 探究1、传染型问题 有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 思考：（1）本题中有哪些数量关系？ （2）如何理解“两轮传染”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有____________人患了流感； 在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了________人，那么第二轮传染了____________人，第二轮传染后，共有____________人患流感. （4）根据等量关系列方程并求解: 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程： 1+x+x(1+x)=121 解方程得　x1=10，　 x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人． (5)为什么要舍去一解？（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？ (使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．) 交流讨论:解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 探究2、增长率问题 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？ （2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________ 元；两年后，甲种药品下降了________ 元，此时成本为 元。 （3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？ 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元． 依题意，得5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） （4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。 设乙种药品成本的平均下降率为y． 则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大 （5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格. 例题讲解、惠州市开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率为多? 分析：本题中的相等关系为第一年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人数=95万。 解：设增长率为x,列出方程： 解得：x1=0.5, x2= (舍) ∴每年接受科技培训的人次的平均增长率为50% 注意：增长率可以超过1但是不能为负！ 小结：对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2） 自主尝试 探究1巩固练习： 1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 解:设每个支干长出x个小分支, 1+x+x●x=91解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 想一想：本题与探究1中的数量关系有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀请x个球队参加比赛. 解得：x1=6,x2=－5（舍去） 答：设应邀请6个球队参加比赛. 篮球单循环赛问题：甲和乙比赛与乙和甲比赛在同一次进行，所以总数要除以2. （类似的有握手、喝酒、跳舞等） 3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀请x个球队参加比赛. 解得：x1=10,x2=－9（舍去） 答：设应邀请10个球队参加比赛. 篮球联赛问题：甲与乙比赛与乙与甲比赛各自积分故总数不要除以2.（类似的有互赠贺卡等） 4.某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请解释：每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：设轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑 1+x+x(1+x)=81 解得x1=-10(舍去),x2=8 第三轮感染中：81+81×8=729＞700 ∴会超过700台 当堂检测 1、据调查，2023年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2025年同期将达到8 200元/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为( )C A．7 600(1＋x%)2＝8 200 B．7 600(1－x%)2＝8 200 C．7 600(1＋x)2＝8 200 D．7 600(1－x)2＝8 200 2、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )C A．50(1＋x)2＝196 B．50＋50(1＋x)2＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 3、党的“十六大”提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2025年比2005年翻两番，到21世纪的头20年(2006～2025年)，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为 _________________ ． 答案：(x＋1)2＝4 4、青山村种的水稻2023年平均每公顷产7200kg，2025年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率． 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x. 7 200 ( 1 + x )2 = 8 450. x1 ≈ 0.08 x2 ≈－2.08 ( 不符合实际，舍去 ). 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8％． 5、菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． 解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2，x2＝1.8，因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，下调百分率为x1＝0.2＝20%. 答：平均每次下调的百分率是20% (2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×5 000×0.9＝14 400(元)．方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元).14 400＜15 000.∴小华选择方案一购买更优惠 小结反思 通过本节课学习，你学会了什么？你掌握了以下问题吗？ 2. 列一元二次方程解应用题的步骤： 2. 用“传播问题”建立数学模型、篮球赛问题。 3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2） www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $