25.2.1配方法（第2课时）（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.1配方法（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程。 2.在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解。 学习重点： 会用配方法解一元二次方程。 学习难点： 运用完全平方公式进行配方。 二、学习过程 （一）复习引入 1.你学过哪些解一元二次方程的方法？ 答：直接开平方法. 2.回顾解方程(x+3)2=5的过程，你认为解一元二次方程的关键是什么？ 答：利用开平方实现降次，将解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 3.对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ （二）合作探究 问题 解方程：x2+6x+4=0. 分析 要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 依据：a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2. 配方：x2 + 6x + 32 = ( x + 3 )2 . 关键：常数项是一次项系数一半的平方. 解：移项，得 x2+6x=−4， 配方，得 x2+6x+9=−4+9， (x+3)2=5， 由此可得 x+3=±， x1=−3+，x2=−3−. 配方法的定义： 像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. （三）典例分析x2−x−56=0 例2 解下列方程： (1) x2−8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3)3x2−6x+4=0. 分析 (1)方程的二次项系数为 1 ，可直接运用配方法. 解：移项，得 x2−8x=−1， 配方，得 x2−8x+42=−1+42， (x−4)2=15， 由此可得 x−4=±， x1=4+，x2=4−. 分析 （2）方程的二次项系数为 2 ，为了便于配方，可把二次项系数化为 1 .为此，方程的两边都除以2. 解：移项，得 2x2−3x=−1， 二次项系数化为1，得 x2− x=− ， 配方，得 x2− x+()2=− +()2， (x− )2=. 由此可得 x− =±， x1=1，x2=. 分析 (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解：移项，得 3x2−6x=−4， 二次项系数化为1，得 x2−2x=− ， 配方，得 x2−2x+12=− +12， (x−1)2=− . 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x−1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 归纳总结1 配方法的基本步骤： 1.将方程二次项系数化成 1 ； 2.移项（二次项和一次项在等号左边，常数在等号右边）； 3.配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）； 4.化为 (x+n)2=p (n，p 是常数，p≥0) 的形式； 5.用直接开平方法求得方程的解. 归纳总结2 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式. (1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根x1=−n+，x2=−n−； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=−n； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)²≥0，所以方程无实数根. （四）巩固练习 1. 填空： (1) x2+10x+ 25 =(x+ 5 )2； (2) x2−12x+ 36 =(x− 6 )2； (3) x2+5x+ =(x+ )2； (4) x2−x+ =(x− )2. 2. 用配方法解方程 x2+10x+9=0，变形后的结果正确的是（  A   ） A．(x+5)2=16 B．(x+5)2=25 C．(x+5)2=−9 D．(x+5)2=−16 3. 阅读下列关于解方程：x2−2x−9=0的解题过程，解决下列问题． 解： x2−2x=9 ① x2−2x+1=9② (x−1)2=9 ③ x−1=3或x−1=−3④ ∴x1=4，x2=−2⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤__② （填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 解： x2−2x=9， 配方得 x2−2x+1=9+1， 即 (x−1)2=10， 开方得 x−1=或x−1=−， x1=1+，x2=1−． 3. 解下列方程： （1）x2+10x+9=0； （2）x2−x− =0； （3）3x2+6x−4=0； （4）4x2−6x−3=0； （5）x2+4x−9=2x−11； （6）x(x+4)=8x+4. 快速核对答案 （五）当堂检测 1. 我们知道配方法是解一元二次方程的一种基本方法，例如，将一元二次方程x2+6x+5=0化为(x+3)2=4的形式，然后两边同时开平方求解，这个过程体现的数学思想是（  C  ） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 2. 用配方法解方程x2−6x+2=0，将方程变为(x−m)2=n的形式，则m，n的值分别为（   D  ） A．9，4 B．9，5 C．3，5 D．3，7 3. 已知直角△ABC两条边长分别是方程x2−14x+48=0的两根，则△ABC的周长为 2+14或24 ． 分析 解方程x2−14x+48=0，整理可得x2−14x+49=1， 即(x−7)2=1，解得x1=8，x2=6， 当两个根是两条直角边时，斜边长为10， ∴此时△ABC的周长为8+6+10=24； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为2， ∴此时△ABC的周长为8+6+2=2+14． 4. 用配方法解方程： (1) x2−6x−1=0； (2) x(x+4)=21； (3) x2+2x−8=0； (4) x2+6x+1=0． 解：(1) x2−6x=1， x2−6x+9=10， (x−3)2=10， x−3=±， x1=3+，x2=3−； (2) x2+4x=21， x2+4x+4=21+4， (x+2)2=25， x+2=±5， x1=−7，x2=3； (3) x2+2x=8， x2+2x+1=8+1， (x+1)2=9， x+1=±3， x1=2，x2=−4； (4) x2+6x=−1， x2+6x+9=8， (x+3)2=8， x+3=±2， x1=−3+2，x2=−3−2． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第2，3题. B组题：习题25.2：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2.1配方法（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程。 2.在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解。 学习重点： 会用配方法解一元二次方程。 学习难点： 运用完全平方公式进行配方。 二、学习过程 （一）复习引入 1.你学过哪些解一元二次方程的方法？ 2.回顾解方程(x+3)2=5的过程，你认为解一元二次方程的关键是什么？ 3.对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ （二）合作探究 问题 解方程：x2+6x+4=0. 分析 要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3)2=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 依据：a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2. 配方：x2 + 6x + = . 关键：常数项是 . 解： 配方法的定义： 像这样，通过配成 来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方是为了利用开方实现 ，把一个一元二次方程转化成 来解. （三）典例分析x2−x−56=0 例2 解下列方程： (1) x2−8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3)3x2−6x+4=0. 分析 (1)方程的二次项系数为 ，可直接运用配方法. 解： 分析 （2）方程的二次项系数为 ，为了便于配方，可把二次项系数化为 .为此，方程的两边都 . 解： 分析 (3)与(2)类似，方程的两边都 后再配方. 解： 归纳总结1 配方法的基本步骤： 1.将方程二次项系数化成 ； 2.移项（ 在等号左边， 在等号右边）； 3.配方（等式两边同时加上 ）； 4.化为 的形式； 5.用 求得方程的解. 归纳总结2 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2=p的形式. (1)当p>0时，方程有 的实数根： ； (2)当p=0时，方程有 的实数根： ； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有 ，所以方程无实数根. （四）巩固练习 1. 填空： (1) x2+10x+ =(x+ )2； (2) x2−12x+ =(x− )2； (3) x2+5x+ =(x+ )2； (4) x2−x+ =(x− )2. 2. 用配方法解方程 x2+10x+9=0，变形后的结果正确的是（      ） A．(x+5)2=16 B．(x+5)2=25 C．(x+5)2=−9 D．(x+5)2=−16 3. 阅读下列关于解方程：x2−2x−9=0的解题过程，解决下列问题． 解： x2−2x=9 ① x2−2x+1=9② (x−1)2=9 ③ x−1=3或x−1=−3④ ∴x1=4，x2=−2⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 （填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 解： 3. 解下列方程： （1）x2+10x+9=0； （2）x2−x− =0； （3）3x2+6x−4=0； （4）4x2−6x−3=0； （5）x2+4x−9=2x−11； （6）x(x+4)=8x+4. （五）当堂检测 1. 我们知道配方法是解一元二次方程的一种基本方法，例如，将一元二次方程x2+6x+5=0化为(x+3)2=4的形式，然后两边同时开平方求解，这个过程体现的数学思想是（     ） A．数形结合思想 B．函数思想 C．转化思想 D．公理化思想 2. 用配方法解方程x2−6x+2=0，将方程变为(x−m)2=n的形式，则m，n的值分别为（      ） A．9，4 B．9，5 C．3，5 D．3，7 3. 已知直角△ABC两条边长分别是方程x2−14x+48=0的两根，则△ABC的周长为 ． 学习笔记 4. 用配方法解方程： (1) x2−6x−1=0； (2) x(x+4)=21； (3) x2+2x−8=0； (4) x2+6x+1=0． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.2：第2，3题. B组题：习题25.2：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $