25.2.1配方法（第2课时 配方法）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“配方法解一元二次方程”，涵盖二次项系数为1和不为1的方程求解及根的情况判断。课堂导入通过回顾完全平方公式、配方凑形和直接开平方法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 导学案以“自主学习-合作探究”为主线，引导学生经历“观察-变形-配方-开方”流程归纳通用步骤，提升代数变形与逻辑推理能力，培养推理意识和运算能力。习题分层设计并融入校考题，增强应用意识，助力学生自主探究和数学思维发展。

25.2.1配方法（第2课时 配方法） （导学案） (1)熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次方程化为的标准形式，并根据的取值判断方程根的情况. （2）经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升代数变形、归纳总结和逻辑推理能力. （3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自主探究意识和数学学习自信心. 重点：掌握用配方法解一元二次方程的通用步骤，能熟练求解二次项系数为1和不为1的一元二次方程. 难点：二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1的变形操作； 配方时准确确定“一次项系数一半的平方”，保证方程变形的恒等性；根据配方后常数项的正负，判断一元二次方程根的三种情况. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1.回顾完全平方公式：. 2.配方凑形： 3. 提问：如何用直接开平方法解方程. 【学法指导】 新知自研：自研课本第7-8页的内容 【学法指导】自研课本P7-8页内容 (一)探究二次项系数为1的方程配方解法 活动1：用配方法解方程 . 追问1：能否将方程转化为，转化的关键是什么？ 学生交流讨论：可以转化，关键是将方程左边转化为一个完全平方式. 追问2：怎样将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为0的形式？你能说出理由吗？ 学生交流讨论：1. 移项：将常数项移到方程右侧，得； 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得. 3.凑完全平方：； 4.开方求解：解得， 师生小结：二次项系数为1的方程，配方核心是移项后，两边加一次项系数一半的平方. （二） 探究二次项系数不为1的方程配方解法 活动2：用配方法解方程. 追问1：此方程与例上面讲的方程有何不同？ 二次项系数不为1 追问2：如何转化为熟悉的方程形式？并解方程. 学生自主解题： 1. 化系数为1：方程两边同时除以2，得； 2. 移项：； 3. 配方：两边加，得； 4. 开方求解：解得，. （三）归纳配方法通用解题步骤 活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程的步骤. 学生交流讨论： 1. 化：二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）； 2. 移：常数项移到方程右边； 3. 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4. 整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项； 5. 开：根据平方根的意义开平方； 6. 解：解两个一元一次方程，得出方程的根. （四）探究方程根的情况 活动4：配方后方程为，的取值对根有什么影响？ 学生交流讨论，师生共同总结： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根，； 2. 当时，方程有两个相等的实数根； 3. 当时，方程无实数根. 【自研自探】 自研课本P7-8页内容 典型例题 例１.解下列方程: (1); (2) ; (3). 【分析】(1)方程二次项系数为1,直接运用配方法. (2)方程二次项系数为2,移项、两边同除以2,再用配方法. （3）类似（2）运用配方法. 【详解】解:（1）移项，得. 配方，得. 由此可得， 即. （2）移项，得. 二次项系数化为1，得 配方，得. 由此可得， 即. （3）移项，得. 二次项系数化为1，得 配方，得. 原方程无实数解. 第二环节 合作探究 1.讨论二次项系数为1的方程配方解法 2.讨论探究二次项系数不为1的方程配方解法 3.讨论归纳配方法通用解题步骤 拓展提升： 1.阅读下面的材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，用配方法解得，． 当时，，，； 当时，，，． 综上所述，原方程的解为，，，． (1)根据材料解方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 用配方法解得，． 当时，，无实数根； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为，． （2）解：令，则原方程可化为，， 解得，即． ∴． ∴的值为7． 课本课堂练习（P8）第1题、第2题（1、2、3）. 1．（2025.包头·校考期中）解方程： 【详解】： 解得． 2．（2025.阿克苏校考）解方程：； 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 或， 解得，. 3．（2025·青浦·八年级校考期中）配方法解方程： 【详解】解：     ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4.（2025宁国校考）用配方法解方程，判断方程根的情况. 【详解】解：解题过程：移项得，配方得(， ∵ 平方数非负，，∴ 方程无实数根. 1.知识与技能：（1）配方法适用所有一元二次方程，分为二次项系数为1和不为1两种题型；（2）通用六步解题法：化系数→移项→配方→整理→开方→求解；（3）可通过配方后为，正负判断一元二次方程根的三种情况. 2. 思想方法：本节课核心运用转化思想，将陌生的一般一元二次方程，转化为熟悉的可直接开平方法求解的完全平方方程，实现“降次求解”，这是解方程的核心思想. 3. 易错提醒：（1）二次项系数不为1时，必须先整体除以二次项系数，再配方，不可直接配方；（2）配方时，必须方程两边同时加常数，只加左边会破坏方程恒等性；（3）加的常数是化简后一次项系数一半的平方，注意区分原系数和化简后的系数；（4）移项务必变号，开平方时不要遗漏正负号；（5）配方后右边为负数时，直接判定无实数根，无需继续求解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1配方法（第2课时 配方法） （导学案） (1)熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次方程化为的标准形式，并根据的取值判断方程根的情况. （2）经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升代数变形、归纳总结和逻辑推理能力. （3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自主探究意识和数学学习自信心. 重点：掌握用配方法解一元二次方程的通用步骤，能熟练求解二次项系数为1和不为1的一元二次方程. 难点：二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1的变形操作； 配方时准确确定“一次项系数一半的平方”，保证方程变形的恒等性；根据配方后常数项的正负，判断一元二次方程根的三种情况. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1.回顾完全平方公式：. 2.配方凑形： 3. 提问：如何用直接开平方法解方程. 【学法指导】 新知自研：自研课本第7-8页的内容 【学法指导】自研课本P7-8页内容 (一)探究二次项系数为1的方程配方解法 活动1：用配方法解方程 . 追问1：能否将方程转化为，转化的关键是什么？ 追问2：怎样将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为0的形式？你能说出理由吗？ 师生小结：二次项系数为1的方程，配方核心是移项后，两边加一次项系数一半的平方. （二） 探究二次项系数不为1的方程配方解法 活动2：用配方法解方程. 追问1：此方程与例上面讲的方程有何不同？ 追问2：如何转化为熟悉的方程形式？并解方程. （三）归纳配方法通用解题步骤 活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程的步骤. （四）探究方程根的情况 活动4：配方后方程为，的取值对根有什么影响？ 【自研自探】 自研课本P7-8页内容 典型例题 例１.解下列方程: (1); (2) ; (3). 第二环节 合作探究 1.讨论二次项系数为1的方程配方解法 2.讨论探究二次项系数不为1的方程配方解法 3.讨论归纳配方法通用解题步骤 拓展提升： 1.阅读下面的材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，用配方法解得，． 当时，，，； 当时，，，． 综上所述，原方程的解为，，，． (1)根据材料解方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 课本课堂练习（P8）第1题、第2题（1、2、3）. 1．（2025.包头·校考期中）解方程： 2．（2025.阿克苏校考）解方程：； 3．（2025·青浦·八年级校考期中）配方法解方程： 4.（2025宁国校考）用配方法解方程，判断方程根的情况. 1.知识与技能：（1）配方法适用所有一元二次方程，分为 两种题型；（2）通用六步解题法： → → → → → ；（3）可通过配方后为 ，正负判断一元二次方程根的 情况. 2. 思想方法：本节课核心运用转化思想，将陌生的一般一元二次方程，转化为 的完全平方方程，实现“ ”，这是解方程的核心思想. 3. 易错提醒：（1）二次项系数不为1时，必须先整体除以 ，再 ，不可 ；（2）配方时，必须方程 ，只加左边会破坏方程恒等性；（3）加的常数是 ，注意区分 ；（4）移项务必 ，开平方时不要遗漏 ；（5）配方后右边为负数时，直接 根，无需 解. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $