25.1 一元二次方程的概念（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念（导学案） 一、学习目标 1.理解一元二次方程的概念。 2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。 学习重点： 理解一元二次方程的概念。 学习难点： 灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，我们学习过哪些方程呢？ 答：一元一次方程，二元一次方程(组)，分式方程. 2.我们学习了这些方程的哪些知识呢？ 答：概念及相关概念，解法，应用. （二）合作探究 引言问题 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 分析：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC:BC=BC:5，即BC2=5AC . 设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据上述等量关系， 就可以列出方程 x2=5(5−x) ， 整理得： x2+5x−25=0 . ① 问题1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 分析：设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm， 则盒底的长为 (100−2x) cm，宽为 (50−2x) cm. 根据方盒的底面积为3600 cm2， 可列得方程 (100−2x)(50−2x)=3 600 . 整理并化简，得 x2−75x+350=0 . ② 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛,组织者应该邀请多少支球队参赛？ 分析：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x−1)支球队 各赛1场，则此次邀请赛共需进行 x(x−1) 场， 所以可列得方程 x(x−1)=28 ， 整理并化简，得 x2−x−56=0 . ③ 思考 方程①②③有什么共同点? 答：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；含有未知数的式子都是整式. 一元二次方程的定义： 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）. 追问 为什么规定a≠0？ 答：如果a=0，方程就没有二次项，就不能称为一元二次方程了. 填表： 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 思考 下列哪些数是一元二次方程x2+x−12=0的根?为什么? −4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4. 答：−4，3. （三）典例分析x2−x−56=0 例 将方程3x(x−1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2−3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2−8x−10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为−8，常数项为−10. 中考演练 (2026河南）已知x=2是关于x的方程x2−mx=6的一个根，则m的值为（ D ） A．5 B．−5 C．1 D．−1 分析：∵x=2是方程x2−mx=6的一个根， ∴将x=2代入原方程，得22−2m=6， 整理得4−2m=6， 移项得−2m=2， 两边同除以−2，得m=−1． （四）巩固练习 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   C  ） A．2x+3=4 B．ax2+bx+c=0 C．x2−mx−1=0 D．x+y=2024 2. 若方程△+2x=1是关于x的一元二次方程，则“△”可以是（ B   ） A．−2x B．2x2 C．32 D．y2 3. 已知关于x的方程(k−3)x|k|−1+x+2k+1=0是一元二次方程，则k的值应为__−3__． 分析：∵关于x的方程(k−3)x|k|−1+x+2k+1=0是一元二次方程， ∴|k|−1=2且k−3≠0． 解得k=−3． 4. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(1) 化成一元二次方程的一般形式得： 5x2−4x−1=0. 它的二次项系数为5，一次项系数为−4，常数项为−1. (2) 化成一元二次方程的一般形式得： 4x2−81=0. 它的二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为−81. (3) 化成一元二次方程的一般形式得： 4x2+8x−25=0. 它的二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为−25. (4) 化成一元二次方程的一般形式得： 3x2−4x=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为−4，常数项为0. 5. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； （3）把长为1 m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：(1) 设正方形的边长为x，可列方程: 4x2=25， 一般形式: 4x2−25=0. (2) 设矩形的长为x，可列方程:x(x−2)=100， 一般形式:x2−2x−100=0. (3)设较短一段的长为x m，可列方程: x=(1−x)2， 一般形式: x2−3x+1=0. （5） 当堂检测 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ A  ）个． ①x2−2x−1=0； ②ax2+bx+c=0； ③+3x−5=0； ④−x2=0； ⑤(x−1)2+y2=2； ⑥(x−1)(x−3)=x2． A．2 B．3 C．4 D．5 2. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) 3x2=5x−1； (2) (x−3)2=x+3； (3) (2x−1)(x+5)=6x． 解：(1) 整理，得3x2−5x+1=0， 故二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为1． （2）整理，得x2−7x+6=0， 故二次项系数为1，一次项系数为−7，常数项为6． （3）整理，得2x2+3x−5=0， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为−5． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.1：第1，2，4题. B组题：习题25.1：第5题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念（导学案） 一、学习目标 1.理解一元二次方程的概念。 2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。 学习重点： 理解一元二次方程的概念。 学习难点： 灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达，我们学习过哪些方程呢？ 2.我们学习了这些方程的哪些知识呢？ （二）合作探究 引言问题 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 分析：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： . 设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据上述等量关系， 就可以列出方程 ， 整理得： . ① 问题1 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 分析：设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm， 则盒底的长为 cm，宽为 cm. 根据方盒的底面积为3600 cm2， 可列得方程 . 整理并化简，得 ② 问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛,组织者应该邀请多少支球队参赛？ 分析：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x−1)支球队 各赛1场，则此次邀请赛共需进行 场， 所以可列得方程 ， 整理并化简，得 . ③ 思考 方程①②③有什么共同点? 一元二次方程的定义： 一般地，如果方程中只含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，未知数的最高次数是 ，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： . 追问 为什么规定a≠0？ 填表： 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个 ，一元二次方程的解也叫作 . 思考 下列哪些数是一元二次方程x2+x−12=0的根?为什么? −4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4. （三）典例分析x2−x−56=0 例 将方程3x(x−1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 中考演练 (2026河南）已知x=2是关于x的方程x2−mx=6的一个根，则m的值为（ ） A．5 B．−5 C．1 D．−1 学习笔记 （四）巩固练习 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A．2x+3=4 B．ax2+bx+c=0 C．x2−mx−1=0 D．x+y=2024 2. 若方程△+2x=1是关于x的一元二次方程，则“△”可以是（    ） A．−2x B．2x2 C．32 D．y2 3. 已知关于x的方程(k−3)x|k|−1+x+2k+1=0是一元二次方程，则k的值应为 ． 学习笔记 4. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 5. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； （3）把长为1 m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. （5） 当堂检测 1. 下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①x2−2x−1=0； ②ax2+bx+c=0； ③+3x−5=0； ④−x2=0； ⑤(x−1)2+y2=2； ⑥(x−1)(x−3)=x2． A．2 B．3 C．4 D．5 2. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1) 3x2=5x−1； (2) (x−3)2=x+3； (3) (2x−1)(x+5)=6x． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.1：第1，2，4题. B组题：习题25.1：第5题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $