精品解析：四川省双流中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

2025-2026四川省双流中学高2024级高二上期末考试数学试卷 命题人：李昭 审题人：赵小麟 注意事项： 1.开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的对应位置. 2.考试结束后，试卷请自行保管，如果有遗失，请自行打印电子版.电子版在班级群里会提供. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意有：向量在向量上的投影向量是： ， 故选：A. 2. 已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出n，再利用向量夹角公式求出夹角. 【详解】，解得，则， ，， 设向量与的夹角为，则， ，，即与的夹角为． 故选：A． 3. 如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ） A. B. C. 或 D. 3或 【答案】A 【解析】 【分析】取AC的中点E，可得，然后利用模长公式即得. 【详解】取AC的中点E，连接ME、EN，又，分别为和的中点， ∴ME∥BC，且，∥AD，且， ∵向量与向量的夹角为， ∴向量与向量的夹角为， 又， ∴， ∴，即线段长为. 故选：A. 4. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 5. 若不同的四点，，，共圆，则a的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】设圆的方程为，解方程组即得解. 【详解】解：设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得， 解得， 所以A，B，C三点确定的圆的方程为． 因为也在此圆上，所以， 所以， 解得a＝7或（舍去）． 故选：D． 6. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知在直线下方是面积为的直角三角形，求出直线与的交点，即可求出方程 【详解】直线将这五个正方形分成面积相等的两部分， 在直线下方是面积为的直角三角形，所以直线过， 所以直线方程为. 故选:C. 【点睛】本题考查直线方程，属于基础题. 7. 已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率. 【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A. 【点睛】 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题. 8. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动 点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为 A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆和，为上动点，为上动点， 可设，， 则， 当时，取得最大值， 则在上，在上，且中的元素有无穷对，故选D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱锥外接球的表面积是 B. 正四棱锥内切球的体积是 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 【答案】BD 【解析】 【分析】取中点，连接，过作底面于点，易得为侧面与底面所成的角，由此求出正四棱锥的高与斜高的长，借助于，求出其外接球的半径计算判断A；再由等体积求出其内接球的半径计算判断B；再利用棱锥的体积公式判断C,D即可. 【详解】如图，取中点，连接，过作底面于点， 则为底面的中心，连接，在正四棱锥中，易得， 则为侧面与底面所成的角，故，在中，， 所以，斜高， 对于A，设外接球的球心为，半径为，则，， 在中，有，解得， 则正四棱锥外接球的表面积为，故A错误； 对于C，正四棱锥的体积为，故C错误； 对于B，设正四棱锥内切球的半径为， 由，解得， 则正四棱锥内切球的体积，故B正确； 对于D，由选项AB可知，，故D正确． 10. 下列命题错误的是（ ） A. 若方程表示圆，则的取值范围是 B. 若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是 C. 已知点在圆，的最大值为 D. 已知圆和，圆和圆的公共弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件可构造不等式求得A错误；设圆心，利用直线与圆相切可构造方程求得圆心坐标，由此可得B错误；将可看作点与坐标原点连线的斜率，根据切线方程的求法可求得的最大值，知C错误；两圆作差可得公共弦所在直线方程，由圆的一般方程确定圆心和半径，由垂径定理得公共弦长，知D正确. 【详解】对于A，若该方程表示圆，则，解得：或， 即的取值范围为，A错误； 对于B，圆的半径为且与轴相切，设圆心， 圆心到直线的距离，解得：或（舍）， 圆心，半径为，圆的标准方程为，B错误； 对于C，可看作点与坐标原点连线的斜率， 由圆的方程可知：圆心，半径， 当过原点的直线与圆相切时，可设其方程为：， 圆心到直线的距离，解得：， 的最大值为，C错误； 对于D，由得：， 即两圆公共弦所在直线方程为：； 由圆方程知：圆心，半径， 圆心到直线的距离， 两圆的公共弦长为，D正确. 故选：ABC. 11. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线和椭圆共焦点，得到的关系，判断A，根据切线长性质和双曲线的定义得到，再由，进行判断B，根据双曲线和椭圆的定义得到和的关系式，再利用和离心率公式进行求解，判断C，利用勾股定理得，进而求出椭圆方程，判断D. 【详解】A.由双曲线，，所以，故A错误； B. 设的内切圆的圆心为，且圆心与边相切于， 可得，，， 又因为， 所以， 又，解得：，， 可得的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确； C.在椭圆中，，， 则， 由，得，得， 则的离心率，故C正确； D.因为，， 则，， 若，则， 又，，解得，， 则椭圆方程为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】依题意可得存在实数，使得，从得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为向量，，共面，所以存在实数，使得， 即，所以，解得． 故答案为： 13. 若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 14. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性求出倾斜角，由点斜式可得方程. 【详解】由对称性可知，直线与轴的夹角相等， 又，所以直线的倾斜角为，故斜率为， 由点斜式得方程为，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）说明与垂直后，由线面垂直的判定定理得证线面垂直． （2）先证明AE⊥平面PAB．从而得证面面垂直． 【详解】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD． 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC． 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC． （2）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE． 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE． 又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB． 因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE． 【点睛】易错点睛：本题考查证明线面垂直与面面垂直，解题关键是掌握线面垂直与面面垂直的判定定理．解题时要注意定理的条件要一一列举出来，不能简略，否则解题过程不完整，出现错误． 16. 在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设,,则满足，所以. 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况. （2）证明：BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为. 由（1）可得，所以AB的中垂线方程为. 联立又，可得 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径 故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【解析】 【分析】（1）设，由AC⊥BC得；由根与系数的关系得，矛盾，所以不存在； （2）求出过A，B，C三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长. 【详解】（1）略 （2）略 【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略： （1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：； (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设点，求出平面的一个法向量、，利用线面角的向量求法、点到平面的距离的向量求法可得答案. 【小问1详解】 在正方形中，有， 又底面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，设点，， 设平面的法向量，，， 令，可得，又， 所以直线与平面所成角的正弦值， 化简可得，即， 所以或（舍）， 即点，由可得，，， 所以点到平面的距离． 18. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的定义求得动点的轨迹的方程. （2）设出直线的方程并与轨迹的方程联立，化简写出根与系数关系，结合列方程，化简后判断出直线过定点. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 依题意得， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 其中，，， 所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 则由得， 由根与系数的关系得①， 由题意，两点不在轴上，所以，，， 又点，， 所以，，由得， 从而由已知得，即②， 又，③， 将③代入②得， 将①代入上式并整理得： ． ， 整理得， ，直线的方程为， 故直线恒过定点. 【点睛】求解动点轨迹方程有关的题目，可根据圆锥曲线的定义来进行求解，还可以利用题目所给等量关系，列方程来进行求解.求解直线定点有关问题，可先设出含有参数的直线方程，根据已知条件求得与参数有关的式子，从而判断出定点. 19. 为坐标原点，为坐标平面上与不重合的点，表示点到轴的距离，表示点到点的距离，若满足（均为常数），则称点的轨迹为曲线.已知曲线是曲线，直线与曲线交于A，B两点（不与曲线的顶点重合）. （1）求曲线的方程； （2）若点在曲线上，直线QA斜率为，直线QB斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若直线经过点，点与点关于轴对称，直线AD与轴交于点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲线的定义求方程； （2）设，联立方程组，利用韦达定理求直线方程即可得证； （3）设直线的方程为，联立方程组，可得点为定点，从而求面积最值. 【小问1详解】 根据曲线的定义， 设，由，得. 曲线为曲线，即满足，，得， 即为，化简得曲线的方程为， 故曲线的轨迹为对称中心在坐标原点、焦点在轴、长轴长为4、短轴长为2的椭圆． 【小问2详解】 由题意，当直线的斜率不存在， 则轴，A，B关于轴对称，又， 则，不符合题意， 当直线的斜率存在，设， 联立，得 ，即， ， 由， ， ，故或， 当时，，此时过定点； 当时，，此时过顶点，不符合题意，舍去； 综上，直线AC过定点，得证. 【小问3详解】 设直线的方程为， 联立，即， 则， ，则或， 点与点关于轴对称，则，设点， 三点共线，则，即， 即，即， 得， 点为定点， ， 令， 当且仅当时取等号，的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026四川省双流中学高2024级高二上期末考试数学试卷 命题人：李昭 审题人：赵小麟 注意事项： 1.开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡的对应位置. 2.考试结束后，试卷请自行保管，如果有遗失，请自行打印电子版.电子版在班级群里会提供. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（  ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四面体中，，分别为和的中点，，，且向量与向量的夹角为，则线段长为（ ） A. B. C. 或 D. 3或 4. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 5. 若不同的四点，，，共圆，则a的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7 6. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为 A. B. C. D. 7. 已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动 点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为 A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱锥外接球的表面积是 B. 正四棱锥内切球的体积是 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 10. 下列命题错误的是（ ） A. 若方程表示圆，则的取值范围是 B. 若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是 C. 已知点在圆，的最大值为 D. 已知圆和，圆和圆的公共弦长为 11. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 13. 若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 14. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE． 16. 在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 18. 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程. （2）动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点． 19. 为坐标原点，为坐标平面上与不重合的点，表示点到轴的距离，表示点到点的距离，若满足（均为常数），则称点的轨迹为曲线.已知曲线是曲线，直线与曲线交于A，B两点（不与曲线的顶点重合）. （1）求曲线的方程； （2）若点在曲线上，直线QA斜率为，直线QB斜率为，且，求证：直线过定点； （3）若直线经过点，点与点关于轴对称，直线AD与轴交于点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $