精品解析：四川省成都市石室天府中学2025-2026学年上学期高二期末定时练习数学试题

2025-2026学年度上期高二期末定时练习 数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 数据的平均数为5，则的平均数为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 9 2. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 3. 在数列中，，则数列前24项和的值为（ ） A. 144 B. 312 C. 288 D. 156 4. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 5. 已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（    ） A. B. C. D. 5 6. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 10. 以下命题正确的有（ ） A. 若等差数列满足，，则 B. 若数列满足，，则 C. 已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D. 若数列为等比数列，为其前项和，，，则49 11. 双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，若P是右支上一点（与B不重合）如图，过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（    ） A. P到两条渐近线的距离之积为 B. 当直线l运动时，始终有 C. 在中， D. 内切圆半径取值范围为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，则__________. 13. 已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为______． 14. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为_____________． 四、解答题 15. 为纪念石室天府中学建校周年，我校举办了校史知识竞赛，满分为分，所有参赛学生的成绩都不低于分．现从中随机抽取了名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）估计这名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）现采用分层抽样的方式从成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中，随机抽取人，请写出样本空间，并求这人来自相同组的概率． 16. 如图，三棱柱中，，，O为BC的中点. （1）证明：底面ABC； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． （1）求圆心M的轨迹方程E （2）设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 18. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． （1）求t的值； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； （3）求的面积． 19. 已知椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期高二期末定时练习 数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 数据的平均数为5，则的平均数为（ ） A. 15 B. 13 C. 11 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数的定义，先求得的和，即可求解. 【详解】因为数据的平均数为5， 所以的和为， 所以的平均数为， 故选：D 2. 双曲线的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即． 故选：C. 3. 在数列中，，则数列前24项和的值为（ ） A. 144 B. 312 C. 288 D. 156 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用并项求和，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 4. 已知，，，若，，，四点共面，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，，共面，设，根据空间向量坐标运算得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，，四点共面， 所以，，共面，设， 因为，，， 所以， 则，解得． 故选：C. 5. 已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（    ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线性质可得切线方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，利用弦长公式求，利用焦半径公式求，，即可得结果. 【详解】因为，所以点在上， 又因为，所以过点作⊙O 的切线斜率为， 所以切线方程为，即， 设，， 联立，消去整理得， 则， 所以； 由椭圆，可得，所以，所以， 所以右焦点， 则， 同理得， 所以， 所以. 6. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出的值，从而可得结果. 【详解】平行六面体中， 底面是边长为1的正方形，， ， ， 线段的长为，故选A. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 7. 如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意画出直观图，则四个金属原子的球心的连线所围成的图形为正四面体，设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心，求出外接球的半径，即可得到，从而得解. 【详解】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体， 设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心， 则必有平面且，，三点共线， 在正三角形中，易求得， 在中，由，可得， 在中，由，得， 解得， 由题意得，所以， 所以． 故选：D． 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上的一点，且点P在x轴上方，的内切圆圆心为I，若则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由内切圆性质可得，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】连接并延长，交x轴于点Q， 则，则， 所以， 所以， 由得，所以. 故选:C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；根据互斥事件的概念及加法概率公式判断B；根据对立事件的概念判断C；根据独立事件的概念判断D. 【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中， 设 “至少有一次正面向上”， “两次都是正面”， 显然，但与不是对立事件，故A错误； 选项B：因为，是互斥事件，所以，，故B正确； 选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； 选项D：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立， 因为，，，满足， 因此事件，相互独立，故D正确. 故选： BD 10. 以下命题正确的有（ ） A. 若等差数列满足，，则 B. 若数列满足，，则 C. 已知等差数列的前项和为，若，，则使得取得最大值的正整数的值为8 D. 若数列为等比数列，为其前项和，，，则49 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，先由等差数列首项与第四项求公差得通项，判断各项正负后计算绝对值的和，进而判断对错；选项B，根据递推公式求出前几项确定数列周期，利用周期计算的值；选项C，利用等差数列前项和公式结合、，判断出、，确定最大时的值；选项D，利用等比数列前项和的性质，列方程求解. 【详解】对于A：因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则，故A错误； 对于B，因为，， 则，，，， 所以数列是周期为的周期数列，即， 所以，故B正确； 对于C，因为，，所以，即， ，即，故， 所以是的最大项，即使得取得最大值的正整数的值为8，故C正确. D选项，成等比数列， 所以，解得，D正确； 故选：BCD 11. 双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，若P是右支上一点（与B不重合）如图，过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（    ） A. P到两条渐近线的距离之积为 B. 当直线l运动时，始终有 C. 在中， D. 内切圆半径取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据点到直线的距离直接计算可得； 对于B，根据线段与线段的中点是否重合可得； 对于C，根据直线的倾斜角与三角形内角的关系，再结合三角恒等变换可得； 对于D，根据三角形内切圆半径与三角形的面积的关系，将半径表示成关于P点的横坐标的一个函数关系，从而求得半径的范围. 【详解】对于A，由双曲线，可化为，则，， 双曲线的渐近线方程为，即. 设，因P点在双曲线上，所以， 所以P到两条渐近线和的距离分别为： ，，所以，故A正确； 对于B，由直线l与双曲线C的左右支都相交，所以直线l的斜率存在， 设l的方程为，，，，. 联立，消去y得， 若，即，方程有且仅有一个解，与题意不符. 所以，且是方程的两个根，由韦达定理得， 所以的中点的横坐标为. 再联立，解得，再由，解得. 所以的中点的横坐标为，与的中点的横坐标相同，且P，Q，S，T都在直线l上. 所以与的中点重合，根据中点的性质可得.故B正确； 对于C，在中，，，设，，则. 因直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，且. 所以，， . 所以，故C正确； 对于D，设内切圆半径为r，设，，则.， 所以. 同理. 所以 由，， 所以， 因，所以，得，， 所以.所以内切圆半径取值范围为，故D不正确. 故选：ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到数列是公比为的等比数列，再由等比数列的性质，求得，结合，即可求得的值，得到答案. 【详解】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列， 根据等比数列的性质，可得， 因为，可得，所以. 故答案为：. 13. 已知圆：，圆：．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】 将转化为，由圆与圆：有公共点可解得结果. 【详解】因为，所以， 所以，， 所以圆与圆：有公共点， 所以， 所以，得，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：转化为圆与圆：有公共点求解是解题关键. 14. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设是的中点，即可证明，过作，交于，过作，交于，连接，即可说明，从而得到，再求出的最小值，即可得解. 【详解】设是的中点，， 所以，则. 对任一点，的最小值是到直线的距离， 过作，交于， 过作，交于，连接， 由于，所以平面，平面， 所以， 由于，平面，所以平面， 又平面，所以， 则，易得. ，， ， 所以， 当三点共线，且是的中点，是与的交点， 此时取得最小值为，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是将转化为，从而求出的最小值，利用两点之间线段最短求出最小值. 四、解答题 15. 为纪念石室天府中学建校周年，我校举办了校史知识竞赛，满分为分，所有参赛学生的成绩都不低于分．现从中随机抽取了名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）估计这名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）现采用分层抽样的方式从成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中，随机抽取人，请写出样本空间，并求这人来自相同组的概率． 【答案】（1） （2）样本空间为：，，； 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1求未知组频率，再用组中值加权求和得平均数； （2）按比例分层抽样确定各层人数，列举所有等可能基本事件，计数符合条件事件数求概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得， 所以. 【小问2详解】 不低于分的学生中，，，中人数占比为， 因为采用分层抽样的方式，所以，，中抽取的人数分别. 记中人为，中人为，中人为； 从这人中，随机抽取人，样本空间为： ， ， ，共种； 这人来自相同组的有：，共种， 所以这人来自相同组的概率为. 16. 如图，三棱柱中，，，O为BC的中点. （1）证明：底面ABC； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）在三棱柱中，，， 所以， 又因为为的中点，所以，， 因为，，O为BC的中点， 所以，， 因为，，， 所以，所以， 因为，，AO，平面ABC，， 所以底面ABC； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知、、两两垂直，以点为原点，，，为，，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为， 所以，则， 设平面的法向量为， 则有，取，可得，， 则为平面的一个法向量， ，， 设平面的一个法向量， 则，故，取，解得，， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以所求角的余弦值为. 17. 设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． （1）求圆心M的轨迹方程E （2）设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②过定点，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【小问1详解】 因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. 【小问2详解】 ①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 18. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设． （1）求t的值； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）1； （2），； （3）16. 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上，坐标代入求参数值； （2）根据已知得、，联立抛物线得，根据等差数列的定义有，最后应用裂项相消法及数列的单调性求范围； （3）由（2）及已知得为，应用点线距离公式、两点距离公式以及三角形面积公式求的面积. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，则，解得； 【小问2详解】 由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去得，解得或， 因为，故，即， 故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以， 又，所以， 所以，所以， 又是关于的递增函数，故，的取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 19. 已知椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解； （2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理化简求解即可； ②计算可得，设，可得，结合化简得到，设直线，进而得到直线过定点，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为， 且，，即， 联立，得， 则，即， 且， 则 ， 即点横坐标为. 由①知，，， 则，即， 设，与①同理可得， 则 ， 则， 设直线， 则， 则， 又，则， 则直线， 所以直线过定点， 则为中点时，则， ，则， 因此，存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $