山东德州市齐河县第一中学2026-2027学年高三上学期8月开学数学试题

**基本信息** 高三开学数学检测卷，覆盖统计分位数、数列、立体几何等核心知识，通过投篮比赛数据（概率统计）、导数极值点论证等设计，考查数学眼光（几何直观）、思维（逻辑推理）与语言（数据意识），适配高考复习起点评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|统计分位数、复数运算、向量关系、双曲线离心率|基础题（如分位数计算）与能力题（如含参函数单调性）梯度分布| |填空题|3/15|二项式系数、解三角形、不等式最值|结合正余弦定理（13题）考查几何直观，不等式最值（14题）体现数学思维| |解答题|5/77|数列求和、立体几何体积与二面角、概率统计分布列、导数极值点、圆锥曲线定点|概率统计题（17题）用比赛数据考查数据意识，导数题（18题）论证极值点关系体现逻辑推理，圆锥曲线题（19题）面积比与定点结合适配高考命题趋势|

新教育智能题卡 数学答题卡 2024级高三数学开学模拟测试题 [o][1][2][3][4][5][6][7][8][9] 姓名 除▣ 班级： [o][1][2][3][4][5][6][7][8][9] 学 [o][1][2][3][4][5][6][7][8][9] [o][1][2][3][4][5][6][7][8][9] 学号： [o][1][2][3][4][5][6][7][8][9] 选择题(58分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 三、填空题(15分) 12-14.(15分) 051015 12. 13 14. 四、解答题(77分) 15.(13分) 012345678910111213 第1页共4顷 乎并单2 ST VI ET ZI IT OT 68 L9St 8 Z I 0 (SI)LI ST tI EI ZT TT OT 6 8 L9St 8 Z I 0 (SI)9I 18.(17分) 01234567891011121314151617 第3页共4页 19.(17分) 01234567891011121314151617 第4页共4页 ■ 山东德州市齐河县一中2026-2027学年高三上学期8月开学数学学科试题（正式卷） 时间120分钟、分值150分 2026.08 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（    ） A．5 B．13.5 C．21 D．22 2.若集合，则（   ） A． B． C． D． 3．设为虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（ ） A．-1 B． C．-2 D． 4．设向量，，则“∥”是“”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 5．设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 6．底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8.已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的图象关于对称 10．设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 11．已知连续函数满足，则（    ） A． B．最小值为1 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分．共15分． 12．的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 13．在中，角的对边分别为，在BC边上取一点D，使得，则线段DC的长度为__________. 14. 已知正实数满足，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． (1)求和； (2)若，求数列的前项和． 16．如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为.    (1)求三棱柱的高； (2)若平面平面为锐角，求二面角的余弦值. 17.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 18．已知． (1)若，求的图象在处的切线方程． (2)若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 19.已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和△BPQ的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围. 4 1 学科网（北京）股份有限公司 《2024级高三数学开学模拟测试题》参考答案 2026.08 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A B D A C D AB ACD ACD 1． C【详解】从小到大排序：5，9，11，13，15，20，22，25，,,所以这组 数据的75%分位数为. 2．B【详解】因为集合， 所以可得，因此． 3．A【详解】复数满足，则化简可得， 由复数除法运算化简可得，所以复数的虚部为， 4． B【详解】试题分析：要说明是“充分”还是“必要”条件，实际上是研究两个命题， 首先“”时，，有“∥”成立，故是必要的，又若“∥”，则，不一定能得到，故不是充分的，因此选B． 5．D【详解】因为是等差数列的前项和，所以，得， 因为，，成等比数列，所以，设等差数列的首项为，公差为， 则，因为，解得，，，所以. 6．A【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以，所以， 所以原圆台的侧面积为， 7. C【详解】在区间上单调，，或， 即或恒成立，设，， 函数在区间上单调递减，函数的值域是，所以或. 8．D【详解】设点，则直线方程为， 而，又，则，于是， 由，，成等比数列，得， 而，则，令双曲线半焦距为， 由，得， 因此，解得，所以双曲线C的离心率为. 9．AB【详解】, ∴，故A正确； 最小正周期，故B正确； 时，，∵在单调递减，∴在上单调递减，故C错； ，不是函数的对称轴，故D错； 10．ACD【详解】对于A：由有， 令有，所以，所以直线过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小， 则， 由余弦定理有，故C正确； 对于D：，故D正确. 11．ACD 【详解】A选项，中，令得 ，解得， 令得，又，故，解得，A正确； B选项，中，令得 ，又，故， 不妨设，又，，，故， 解得，故， 经检验，满足且为连续函数， 则，故的最小值为，B错误； C选项，中，令得， 故， 则，……，， ，，……，，， 以上式子累加得， 故，C正确； D选项，中，令，， 则，则， 其中，令，则， 故，即，D正确 12．80【详解】解：的展开式的通项公式为， 令，求得，故展开式中的系数为. 13． 【详解】由，得，    在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，而，解得，所以线段的长为. 14./ 【详解】，可得， 则. 又因为，即，所以， 故， 即（当且仅当，即时取等）， 所以， 15.【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得，化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得，所以，. （2）因为， 设数列的前项和为， 则         所以数列的前项和为. 16．（1）解：设三棱柱的高为， 因为，所以， 又因为三棱锥的体积为，可得，解得， 即三棱柱的高为. （2）解：过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 由（1）知，又因为为锐角，所以， 在中，，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为平面，可得平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为.   17.（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3，8，10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 18.【详解】（1）当时，，，故切点为． ，故． 切线斜率为2，得切线方程：， 所以的图象在处的切线方程为． （2）（i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点， 即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故．     当时，恒成立，故时； 当时，即为的一个极小值点．     又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值． 有三个极值点，即有两个变号零点，，即，解得．     （ii）由（i）知，，且，即. 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证．设， 则．     则单调递增，而，则，即，， 即，即证毕． 19.（1）将点和点代入（）得， 解得，，所以的方程为． （2）由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． （3）设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $