山东省青岛第二中学2027届高三上学期期初调研测试数学试题

绝密★启用前 2027届青岛二中高三期初调研测试 数学 2026.08 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.Q+0 1-i A.-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i 2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 A.4 B.2√2 C.2 D.4W2 3.在等比数列{an}中，a=8,4=-1,则4= A.1 8 4 D.月 4.已知f(x)=e+ax为奇函数，则a= A.1 B.0 C.-1 D.2 sin(a+B) 5.已知 =3,则 and sin(a-B) tanB A.3 B.2 6.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为1、和V3,则 A.V<V<V3 B.V3<v<V C.<<g D.<< 数学试题第1页（共4页） 7,一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间 T=klog2N(单位：h),其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从10个 单位增加到1.024×10个单位时，训练时间增加20h:当训练数据量N从1.024×10个 单位增加到4.096×10个单位时，训练时间增加 A.2h B.4h C.20h D.40h 8.已知集合A={x∈N1≤x≤2026.设集合B=b,b,b,…,bn}满足B三A,且对任意 的b,b,b∈B(i,j,k∈红，2,3，，m),存在m∈N,使得b+b+b=39m,则n 的最大值为 A.50 B.51 C.52 D.53 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知一组数据1，x2,,xm的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记2x-1, 2x2-1,,2x-1的平均值为a,方差为b,极差为c,中位数为d,则 A.a=9 B.b=4 C.c=13 D.d=11 10.已知0<a<月<号则 A.sin a-sin B>a-B B.a-B<tana-tanB C.asin B>B cosa D.tan B>aB 11.己知递增数列{a}的各项均为正整数，且满足a。,=31,则 A.4,=3 B.a >n C.a=6 D.a25=81425 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（x+y)(x-y)的展开式中x4y2项的系数是 1B.已知O为坐标原点、点F为椭圆C于+号-ab0的右焦点，点4，B在C 上，AB的中点为F,OAL OB,则C的离心率为 14.设e,e为单位向量，满足12%-马s2,a=g+g,b=3e1+e2,设a,五的夹角 为日，则cos20的最小值为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的 日均运动时间.在被调查的学生中，女生占40%，女生中有65%的人日均运动时间大于1 小时，男生中有90%的人日均运动时间大于1小时 (1)在被调查的学生中任选1人，若此人日均运动时间大于1小时，求此人为男生 的概率： (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取4人，求日均运动时间大于1 小时的人数的期望和方差 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,过点 B的平面BEFG分别与棱AD,PD,PC相交于E,F,G点，其中E,G分别为棱AD, PC的中点. (1)求P 的值： (2)求平面CEF与平面BEFG夹角的余弦值. G A 17.(15分) 己知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交 点为e,且№网=Pg (1)求抛物线C的方程： (2)过F的直线1与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线'与C相交于M, N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线I的方程 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=aex+lnx-1,g(x)为f(x)的导数. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(L,fI)处的切线方程； (2)讨论g()零点的个数： (3)设为f()的零点，证明：当0<x<1时，f(x)<g(). 19.(17分) “割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设 n∈N,圆T的外切和内接正边形的周长分别为x,和ym,其中1=6×2”. (1)若T的半径为1，求厂的外切正l边形的面积： (2)证明：2=1+1 十 Xn+1 Xn yn (3)设，-6-5，，证明：55<胥 Zn Xn+ 数学试题第4页（共4页） 绝密★启用前 2027年青岛二中高三期初调研测试 数学试题答案解析 1.A2.A 3.C 4.B 5.D6.C 7.B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解， 【详解】设当N取10个单位、1.024x10个单位、4.096x10个单位时所需时间分别为T,T,T, 由题意，T=klog210°=6klog210, ☑=klog21.024x10）=klog2(2×10)=k(10+61og210), I3=k1og2(4.096×10)）=k1og(22×10)k12+6bg10), 因为☑-G=k(10+61og210)-6k1og210=10k=20,所以k=2, 所以T-T3=k(12+61og210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×10个单位增加到4.096x10个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B 8.C 【分析】根据题意分析可知集合B的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大 值 【详解】因为39=1x39=3×13,由选项可知n的最大值大于3， 若对任意的b,b,b.∈B,存在meN,使得b+b,+b=39m, 则集合B的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即B={39,78…,39m}或B={13,52,…,39n-26}或B={26,65,…,39n-13}, 若B={39,78,117,,39n},则39n≤2026， 解行1S=(5L52,此时u的最大信为51： 若B=13,52,…,39n-26},则391-26≤2026， 解得僧(25).此时知的装大值为52， 若B={26,65,…,39n-13},则39n-13≤2026， 解得09g2=(528,量时n的最大值为52： 综上所述：n的最大值为52. 9.AD 【分析】根据平均值、方差、极差、中位数的定义及性质可得 【详解】由题意可得，a=2×5-1=9,b=22×2=8,c=2×7=14,d=2×6-1=11. 故选：AD 10.ACD 【详解】对于A,令f(x)=sinx-x,x∈0 ,则f(x)=cos-1<0, 2 所以e在0习上单测适减，即a。 所以sin-a>sinB-B→sin&-sinB>a&-B,故A正确； (。1 于B,令ge)=tanr-x,x∈O,5元，则g(x)=c0x1少 2 所以g(x)在0，。π上单调递增，即tanB-B>tan a-a&→a-B>tan a-tanB,故B错误； 2 对于c,因为0ca<6<登令a-骨B 2时. asin B-sin -sinπ- 12 24 Aaa沿} 因为2(N6+V2)>25,所以asinB>Bcosa,故C正确： 对于D,令m(y=tamx-2,xe0,)元，则(e)=、-2l+am2x-2x, 2 1 由三角函数线可得当x∈0，π时，tanx>x>0,所以tanx>x2, 2 所以m(x)=1+tan2x-2x>X-2x+1=(x-1)≥0， 所以m(④)在02上单调递增，m(>m(O)=0,x∈0，；， 1 2 即tanB>B2>oB,故D正确. 故选：D 11.ABD 【分析】对A直接代入n=1计算即可；对B,利用反证法即可证明，对C,通过不断代入得到4=6， 再结合其单调性即可判断C,对D,通过代入归纳总结得到3*≤≤23*时，g,=+3,再代入合理k值 即可判断。 【详解】对A,在原式中令n=1,则a=3,故A正确： 对B,若a.≤n,:{an}单调递增，则a≤a,则a.≥3n,即3n≤a≤n矛盾，舍去，故a>n,故B 正确： 对C,由a,>n得a,>a,则n<a<3n,则1<a<3, 4∈N,.4=2,原式中令n=1→a2=3, 令n=2→4=6，因为递增数列{a},.4>6,.C错： 对D,由4=2,4=3,4=6，令n=3→4=9，由{a}单调递增， .a4=7,4=8,令n=6→4=18，令n=9,则48=27， 则9≤n≤18时，4.=n+9,a=12,=15且a27=54,44=81, 则27≤n≤54时，a.=n+27,,3*≤n≤2.3*时，an=n+3, 当k=6时，36≤n≤2.36时，4=n+729∴.4196=2025， 在原式中令n=1296→a25=1296×3, 同理由46=25→45=3×16∴.4025=8145，D正确， 故选：ABD, 12.5 【分析】根据题意，先求得(x-y)展开式的通项，结合多项式的运算法则，求得(x+y)(x-y)的展开 式中x4y项，进而得到答案， 【详解】由二项式(x-y)展开式的通项为T+=C;x(-y)'=(←1).C;xy, 则(x+y)(x-y)的展开式中x4y2项为x(-1)2.Cx3y2+y(-1)Cxy=5x4y2 所以(x+y)(x-y)的展开式中x4y项的系数为5. 故答案为：5， 13.5-1 2 【分析】先结合图形求得A(C,c),代入椭圆方程构造齐次式，然后可解 【详解】由椭圆的对称性可知，AB垂直于x轴， 又O11OB,所以∠A0- 所以△AOF为等腰直角三角形，故A(C,C), 所号+后-1，ac+be=a, 所以a㎡c2+(ad2-c2)c2=d2(c2-c2),整理得e-3e+1=0, 解得e=3-5或e-3+5 (舍去)， 2 3-5 5-1=5- 2 2 故答案为： V5-1 2 B 14. 28 29 【分析利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得6~色≥，再根据向量夹角公式求c0s6函数关 系式，根据函数单调性求最值 【详解】·12e-e,k√2， .4-4ee2+1≤2， :824 3 c0s20=a2 。4+4e° 41+e·e) a2.6(2+2g-e)10+6ge)5+3ge, 224a-2 28 5+3e:e2 3 3=29 5+3× 4 故答案为： 28 29 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综 合分析求解能力，属中档题， 15.(1)2: a 【详解】(1)方法一：取BC中点Q,连接PQ交BG于点S,连接QD,SF. D C ,四边形ABCD为正方形，E为AD中点，∴.DE∥BQ,DE=BQ, 故四边形BQDE为平行四边形，∴.QDIl BE; 又：QD￠平面BEFG,BEC平面BEFG,∴QD∥平面BEFG, yODc平面POD,平面PODn平面BErG=SP,S邓M9D,0, 又，G为棱PC的中点，PQ∩BG=S,∴点S为△BCP的重心： =2,放明2 FD 方法二：以A为坐标原点，分别以A丽，AD,AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示空间直角坐标系： G D 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),G1,1,1),E(0,1,0), 所以BG=(←-11,1)，BE=(-21,0),BP=(-2,0,2),PD=(0,2,-2), 设PF=2PD,(0≤1≤1)，平面BEFG的一个法向量为m=(x,y,) BG.m=0m「-x+y+z=0 丽.m=0即 y=2x 所以， -2x+y=0,解得2x 令x=1,解得y=2,z=-1,故m=(1,2,-1): 又BF=BP+PF=BP+PD=（2,2,2-2), BFc平面BEFG,所以BF.i=-2+2x2-(2-22)=0, 解得天子所以贸2. (2)以A为坐标原点，分别以A5,AD,AP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示空间直角坐标系： P B 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),G(11,1),E(0,1,0),C(2,2,0), 所以BG=（-1,1,1),BE=(-2,1,0),BP=(-2,0,2),PD=(0,2,-2),CE=(-2,-1,0),CP=(-2,-2,2): 设平面BEFG的一个法向量为m=（x,y,), BG=0 -x+y+z=0 y=2x 所以 BEm=0'即 2x+y=0，解得 z=-x 令x=1,则i=(1,2,-1): 另设平面CEF的一个法向量为i=(:,,与)， 由1)知丽-师=0)， 丽-丽-丽-丽而-(2引 CE.=0 [-2x1-4=0 所以了 即 CF.n-0' 2+=0解得 =-2x 22 1= 令x=1,则i=(1,-2,1) 设平面CEF与平面BEFG夹角为O, 所以cos0=kos(m= m.元1x1+2x(←2)+1)x12 V6×√6 即T面CBF与平面B班G夹角的余法值为号 1600 ②期￥为片方茶为号 25 【分析】(1)记事件A:抽取的1人为男生，记事件B:抽取的1人日均运动时间大于1小时，利用全概率 公式可求出P(B)的值，再利用条件概率公式可求得P(AB)的值： (2)分析可知，专B4 4 利用二项分布的期望和方差公式即可得解 【详解】(1)记事件A:抽取的1人为男生，记事件B:抽取的1人日均运动时间大于1小时， 则P(A)=0.6,P(BA)=0.9,P(④=0.4，P(BA)=0.65, 由全概率公式可得P(B)=P()P(4+PAAA=0.6×0.9+0.4×0.65=0.8, 由条件概率公式可得P(48)P八1B)_06x0.9_22 P(B)0.840 因此，在被调查的学生中任选1人，若此人日均运动时间大于1小时，则此人为男生的概率为 40 (2)从该地区的高中生中随机抽取1人，该生日均运动时间大于1小时的概率为等， 由题在可知5~4) *号5.D16)44x1-16 所以，(5)=4x4=16 5525 17.(1)y2=4x;(2)x-y-1=0或x+y-1=0. 【详解】试思分析：(1)由已知条件，先求0点的坐标，再由Q-P四及抛物线的焦半径公式列方 程可求得P的值，从而可得抛物线C的方程；(2)由己知条件可知直线1与坐标轴不垂直，故可设直线1 的点参式方程：x=y+1(m≠0)，代入y2=4x消元得y2-4y-4=0.设A(:,),B(5,乃)，由韦达 定理及弦长公式表示AB的中点D的坐标及AB长，同理可得N的中点E的坐标及MN的长.由于MW 垂直平分线AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于A到=B到=N,由此列方程可求得m的值， 进而可得直线1的方程. 试国探所：设e,代入y产-2，得4-会m8Q号5=号 :,由题设得 号+8子×8，解得D2(合去或D=2,&C的方为少：2)由题设知与丝标抽不重 故可设1的方程为x=y+1(m≠0)，代入y2=4x得y2-4y-4=0.设A(5,),B(x2,为)，则 片+y3=4m, y=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m）,AB=m2+1y1-y2上4m2+1）.又I的斜率为-m,1'的方 程为=品+2+.将上式代入=4，菲整理得户+高-4-列-=0，设 M(5⅓)2(6以则g+=青=-462-).夜A0y的中点为 由于MN垂直平分线AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于A到=B到=N,从而 +时-ar-2加2-侵+-2 ,化简得m-1=0, 解得m=1或m=-1.所求直线I的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 考点：1.抛物线的几何性质；2.抛物线方程的求法；3.直线与抛物线的位置关系. 18.(1)y=0 (2) 当a<e时，g(x)没有零点：当a=e时，g(x)有一个零点；当a>e时，g(y)有两个零点。 (3) (i)若a≤e,由(2)可知，h(x)在区间(0,1)没有零点，且f'(x)>0, 故f(x)在区间(0,1)单调递增，f(x)<f(①)=a-1≤0，且此时x≥1. 因为f5)=ae+ln-1=0,故g(6)=f(6)-ae+1=+1-1. 设()=x+1,则k()-二，当0<<1时，k()<0,k(y)单调递减。 当x>1时，K'(x)>0,k(x)单调递增，故g()=k()≥k(1)=0. 故当a≤e时，f(x)<0≤g(). (ii)若a>e,由(2)可知，g(x)在区间(0,1)存在一个零点：1， 即f()在(0,1)存在唯一极大值点，故当0<x<1时，f(x)≤f(): 由(2)可知，名>1，且f3)=ae+x-1=lx,+上-1=k飞)>k)=0, X2 故当x≥x时，都有∫(x)>0. 又因为f(e）=aee“-a-l<0,且f(y)在区间(0，x)单调递增， 故∫()存在唯一零点，且满足ea<<x<1. o(x)=f(x)+g(x)=Ix+1-1-k(x). 则p()=f()+g()=g()=k(),p(5)=f()+g()=f()=k(). 由上可知，k(x)在区间(0,1)单调递减，且0<<x<1, 故k(s)=f()<k()=g(),此时也有f(x)≤f(:)<g(). 综上，由(i),(i)可知，当0<x<1时，f(x)<g(). 【分析】(1)利用导数的几何意义求得切线斜率即可求得切线方程： (2)由题意得g)=c二，等价于h(y)=e-m在(0，+四)零点的个数，分a<0,a>0两种情况判 xe 断单调性，进而可得零点个数： 3)()若ase,结合2)的单调性，可得21，可得8户n+1,构造函数)=mr+-1, 求导可得结论：(ii)若a>e,由(2)可知，g(x)在区间(0,1)存在一个零点，，可得f(x)≤∫(：)，可 得f(s,)=1x+上-1，进而构造函数p()=f(9)+g(,进而有()=k飞），p(s)=k(s),可得 结论 【详解】(1)当a=e时，f(x)=e-+血x-1,则f(x)=-e+ 故f(1)=0,f'(1)=0,曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=0. (2)因为g(=-e“+e-匹，且e>0,故g(付零点的个数等价于函数n()=e-m在(0，+） 零点的个数 当a≤0时，h(x)>0,h(x)没有零点. 当a>0时，h(x)=e-a,令i(x)=0,则x=ma, 且当x<lna时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>na时，l(x)>0,h(x)单调递增. 又h(x)≥h(lha)=a(1-lna,当0<a<e时，h(x)>0,此时没有零点： 当a=e时，h(x)2h(I)=0,此时有一个零点. 若a>e,则h(ha<0,又h(0)=1>0,h(l)=e-a<0,h(a)=ea->0, 结合h(x)的单调性可知，h(x)在区间(0，l)和(lna,a)各恰有一个零点， 即g(x)='(x)在区间(0,1)存在一个零点x1,在区间(a,a)存在一个零点6. 综上，当a<e时，g(x)没有零点；当a=e时，g(x)有一个零点；当a>e时，g(x)有两个零点. (3)略 19.(1)24-125 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据两角差的正切结合定义得出面积： (2)应用二倍角余弦公式结合新定义化简即可证明： (3)应用二倍角正弦公式，再运用导数得出函数单调性得出不等关系，最后结合新定义化简即可证明： 【详解】(1)根据题设可知=12，故外切多边形每一条边所对的圆心角为二 6 当T的半径R=1时，有点=Rtan=Rtan亿 24 “12 (46 R tan-tan 4 6 =2-V5 1+tan tan 4 6 所以圆T的外切正（边形的面积为12××R×点=24-125. 2 12 (2)方法1：设T的半径为R,T的内接正l,n边形每一条边所对的圆心角为6，则由几何关系可知8=28+1， 22 2R Rhtl 故co号-=60s01=20s441=21, 2 Xn 2 Xn+ 且sim号==sin04=2sin9,cos 2 Rl+ 2 一，得=x 2 Rl 所以点=2-1=25业-1=2业-1，即，2=1+ XnXn yn 方法2：设T的半径为R,则x,=2×6×2”Rtan 3×2,,=2x6x2”Rsin，元 3X2H, 所以1 1 50 2 2cos2π 3X2+2 3×2+H 3X2*2c0sπ x2×6×2”Rsin,兀2x6×2"+R2sin,π 3×2+2 2×6×2 Rtan，π +1即 2=1+1 3×2+2 Xn+xn Vn (3)方法1：在(2的条件下由几何关系可知受=受R+委 212,V 2V- 又2mR= 2y>y,故1- 2V好- 是<π 64 1,1器 6x2n+ 故- 1+五 22x +2 由(2)可知-起=，==起， 乙nXXV+2XH1yn+2+1 ynt =1 1 1 又4 ππ cos 2x1+2x5 65石，故2，= （43 2222 1 2x1 因为+Vx,+,且由 2-1+1得2x-过= 2 V22x Xnt Xn yn Xn+ynyn Xn+ynyn+ 1 1综上，<3 V22x 1 方法2：由(2)可知型=2= 2×6×2+2Rsin、元 3x2"+8C0s π 3×2+9 名XH2x6x2am、π 1 3×2n+2 coS 3×2n+2 .1 二 cog、r π） 265, 3×22 cosπ 2222 3×2+2 故32 1 x23xc0 π 3x 23XxC0 π COS- 3×2me 22t×simn、元 3X2+2 3x22×c0g、 21xcos、 3x29XXc0 π 3x2 mexsin 3×2"e 2+1×sin 兀 3x2+2 =2m+2×sin sin 3x2n+2 6 设f(x)=sinx-x,则f'(x)=cosx-1≤0，f(x)单调递减， 故当x>0时，f(x)<f(0)=0,此时simr<x. 所以2=2sn32s<2X元-元 3x2+2-3 【点睛】方法点睛：应用二倍角正弦公式，再运用导数得出函数单调性得出不等关系，最后结合新定义 化简即可证明：