山东青岛五十八中高新学校2027届高三上学期期初调研数学试题

2027届青岛五十八中高新校区高三期初调研 数学试题 2026.08 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.复数：=sinl+icosl,则= A.1 B.2 C.3 D.4 2.设A={0,12,3},B={x|(x-1)(x-2)>0},则A∩B= A.{0,1} B.{0,3分 C.1,2} D.{2,3 3.下列双曲线离心率最大的是 D.2 781 4.某产品的质量指标服从正态分布N176,σ2)，6>0，质量指标介于171至181之 间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要提高生产工艺，使 得o不超过（若X~N（4,o2),则P(X-4<3o)≈0.9973） A.1 B c. D.2 5.则(a+b)a-b)=0”是“a=-b或a=b的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题第1页（共4页） 6.已知棱台的上、下底面均是有一个内角为60°的菱形，上、下底面的边长分别为2， 3,该棱台的高为√5，则其体积为 C.19 D号 7.北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9 块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，且每层内部各环也依次增加9块每层环数相同，且下层石板总数比中层多729 块则每层的环数是 ■■■ A.6 B.7 C.8 D.9 8.一组学生站成一排若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都 至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是 A.5 B.6 C.7 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组数据：x1,x2,.,x10是公差为-2的等差数列，去掉首末两项x1,x10后得到 一组新数据，则 A.两组数据的极差相同 B.两组数据的中位数相同 C.两组数据的平均数相同 D.两组数据的标准差相同 型椭圆C。+X的上顶点为A,左、右熊点分别为A,乃，△4驱 3 角形，过乃的直线1与C交于M,N两点，则 A. 椭圆C的离，心率为) B.M·风的最大值为3 C.M.M的取值范围是[2,3] D.当1倾斜角为亚时，△4MN的周长为8 数学试题第2页（共4页） 11.已知函数f(x)=x2-cosx-c2,则 A.f(x)在(-1,1上有最小值和最大值 B.当c=1,x∈(-1,2]时，f(x)有最大值 C.当c=0时，f(x)=1有2个解 D.当c>0时，f(x)与y=c有4个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2+x)0-x)展开式中x4的系数为 13.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率 分别为 14.在直角三角形ABC中，AC=2,BC=1,D为斜边AB上一点，若△ACD与△BCD的 内切圆面积相等，则BD= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设{a}是等差数列，且4=h2,4+4=5h2. (1)求{a}的通项公式： (2)求e+e+.+e. 16.(15分) 已知函数f(x)=sin(ax+p)(o>0,0<p<π) (1)当w=2,f =0,求函数f(x)在x=0处的切线方程； (2)若函数f:)的最小正周期为3π，且f)-5在x0,2026m)上恰好有1351 个解，求P的取值范围. 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 青岛胶州国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几 何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面 体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多 面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如： 正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为 2π-3×写=云，故其总曲率为4红 (1)求四棱锥的总曲率； (2)若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数 18.（17分) 已知抛物线E:y2=2px(卫>0)的焦点为F,直线1与E恰有1个公共点A(1,1),1与 x轴、y轴分别交于点B、D. (1)求E的方程； (2)求△ABF的外接圆的标准方程； (3)若点C在E上运动，点G在线段CD上，过G的直线'分别交线段AC、BC于 点P、Q,且 PA,2圆-1，求点G的轨迹方程 CPco 19.（17分) 某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等 品.已知每个产品为一等品的概率都为p(0<p<),且各产品是否为一等品相互独立.现 从这批产品中有放回地抽取件（≥2）作检验，记其中一等品的个数为X.定义该批产 品的综合质量指数为f(p)=EX+1） n X+1 (1)求f(p); (2)设m≥3，记p=以()，证明：H(p) (3)设n≥3，且正实数a,b满足a+b=1,定义函数F(a,b)=a对m(a)+时nb), 证明：对任意满足条件的(a,b),F(a,b)>+1 2n+1 数学试题第4页（共4页） 2027届青岛五十八中高新校区高三期初调研 数学试题答案解析 2026.08 1.A 【详解】依题意，=VSin1+cos21=1. 2.B 【分析】先求出集合B中元素范围，然后再求A⌒B即可. 【详解】由已知B={x(x-1)(x-2)》0={x|x<1或x>2, :A={0,1,2,3}, .A∩B=0,3}. 故选：B. 3.A 【分析】根据离心率公式即可求解. b2 【详解】对于A,离心率为日=1+ 对于B,离心率为e=1+ a 对于C,离心率为e= 6 ,.b2 对于D,离心率为e4++ 8105 7 7 因为e>e>e3>e4, 所以离心率最大的是A. 4.C 【详解】由题意可知正态分布N(176,ō2)对称轴为4=176， 176+3o≤181 质量指标介于171至181之间的产品为良品，则 176-3c≥171’ 解得。s3 防以0不超过号 答案第1页（共15页） 5.B 【分析】根据向量数量积分析可知（ā+b)(a-b)=0等价于园=，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为（ā+）(a-)=a-2=0,可得a=62,即=5， 可知（ā+b)(a-6)=0等价于园=， 若a=i或a=万，可得=，即（ā+b)(a-b)=0,可知必要性成立： 若（ā+b)(a-6)=0,即l园=，无法得出a=b或a=-五， 例如a=(1,0),石=(0,1)，满足同=，但a≠i且a≠-五，可知充分性不成立： 综上所述，“(a+b)(a-b)=0"是“a=-b或a=五"的必要不充分条件. 故选：B. 6.D 【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为2××2×2×sm60°25， 下底面面积为2××3x3×sim60°-9 2 7.D 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有n(neN)环，各环石板数构成等差数列{a}(k∈N), 其中首项为4=9，公差d=9, 所以每环石板数为：a=9+(k-1)×9=9k, 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：S,S2m-S,Sm-S2n, 又下层石板总数比中层多729块，所以(Sn-S2n)-（(S2m-Sn)=729, 3n(9+27m)）2n(9+18n) 即 2m9+18n)n9+9n）-729, 2 2 化简得：9n2=729,解得：n=9. 8.B 【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人 答案第2页（共15页） 数为6的情况，由此得解 【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：ABCDEFG, 每相邻的3人取成一组，则有ABC,BCD,CDE,DEF,EFG5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至少有10名男生： 每相邻的5人取成一组，则有ABCDE,BCDEF,CDEFG3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即ABBCCCDDDEEEFFG这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用1表示男生，0表示女生，则可以101101 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解 9.BC 【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C,由中位数的概念可判断B,由方差及等差数列的 通项公式计算即可判断D,根据极差及等差数列的通项公式可判断A. 【详解】对于C原数据的平均数为*5+中。)一。红+)*)。 10 去掉，后的平均数为下-+++)令4，+)：+)=，则c正确： 8 8 对于B,原数据的中位数为(：+)， 去掉x,5和后的中位数仍为二(x+x),即中位数没变，则B正确： 对于A,原数据的极差为5-o=-9d=18, 去掉x,后的极差为水-飞，=-7d=14,即极差变小，则A错误： 对于D,设公差为d,则原数据的方差为 r-+i*-iw 前方希为-s+闲飞*刘+5+列 0+(n+(动+20++(+(+(31=21 即方差变小.标准差也变小，则D错误， 答案第3页（共15页） 故选：BC 10.ACD 【分析】根据题意，a=2,可求其离心率判断A,并可得椭圆C:父+ -=1；根据椭圆定义和基本不等 43 式判断B:设M(x小，利用向量数量积的坐标运算得派瓜-+2，再根据椭园上点x的范国可判 断C:当1倾斜角为匹时，直线I垂直平分A,结合椭圆定义求△AMN的周长，判断D. 6 【详解】对于A,根据题意，a=2c,所以椭圆C的离心率e=C-, a21 又b2=a2-c2=3,c=1,a=2, 所以椭圆C:+二=1，故A正确： 4 3 根据椭圆定义，可知+引=2=4， 所以网M网 M四+M网 =4, 当且仅当M风=M=2时取等号， 2 所以M风M风的最大值为4，故B错误； 设M(xy),又耳(-1，0)E(1,0), 所以M=(-1-x,-y),M=A-x,-y), 则a暖烟-1+-f13r}42 因为-2≤x≤2，所以MM的取值范围是[2,3]，C正确： 当1顿斜角为时，直线1垂直平分4识， 所以△AMN的周长为： AN+AM +MN=AN+AM+NE +MF =|N,+M+N+M=(（N+|NE)+(（M+MD=4a=8, 故D正确， 故选：ACD 答案第4页（共15页） F2 11.ABD 【分析】构造函数g(x)=x2-cosx-c2并求其单调性和奇偶性，求出f(x)的奇偶性，分8(x)在(1,1]内有 零点和g(x)在(-1，]内无零点两种情况讨论，即可判断： ②求出f(x)在(-1,2]上的单调性，即可判断： ③求出f(x)在c=0的单调性，结合零点存在性定理即可求出f(x)=1时x的值，即可判断： ④求出f(0)=1+c2,结合f(x)单调性即可得出与直线y=c的交点个数，即可判断， 【详解】设g(x)=x2-coSx-c2,则g'(x)=2x+sinx,g(①=1-cos1-c2, 令h(x)=2x+sinx,则H(x)=2+cosx>0,则h(x)=2x+sinx在R上单调递增， 又h(0)=0,则当x<0时，h(x)<0,当x>0时，h(x)>0, 故g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， .函数在x=0处取最小值为g(0)=-1-c2<0, 对于f(x)=x2-cosx-c2, 因f(-x)(-x)}-cos(-x)-c2月X-cosx-c2上f(x,则函数f(x)为偶函数， 对于A,当g(x)在(-1,1内有零点时，即3∈(1,0)，x2∈(0,1)，使得g(x)=0, 易知f(x)在(-1，]，[0，x]上单调递减，在[x,0],[x2,1]上单调递增， 且f(x)=f(x2)=0,f(0)=-g(0)=1+c2,f)=g0)=1-cos1-2, 1+c2>1-cos1-c2,即f(0)>f(1), ∴.f(x)在x=x和x=6处取最小值0，在x=0处取最大值1+c2. 当8(x)在(-1,1]内无零点时，恒有g(x)<0,则f(x)=-g(x)=-X+cosx+C, f(x)在(-1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减， ∴f(x)在x=1处取得最小值-1+cos1+c2,在x=0处取得最大值1+c2,故A正确： 答案第5页（共15页） 对于B:当c=1时，f(x)x2-cosx-1,g(x)=x2-cosx-1, y=f(x) -10 2主 由A可得，g(x)在(0，+∞)上单调递增， '81)=1-cos1-1=-c0s1<0,g(2)=22-cos2-1=3-cos2>0, .3x∈(12)，使得g(s)=0, .在f()=x2-c0sx-1中，x∈(1,2]， 此时f(x)在(L]上单调递减，在[x,2]上单调递增， 因f(2)=3-cos2,f(1)=co1,f(2)>f(I),即fx)在x=2处取最大值，故B正确： 对于C:c=0时，g(x)=x2-cosx中，g(0)=0-cos0=-1<0, 即3x4∈(-∞，0)，x∈(0，+∞)，使得g(4)=0,g(s)=0, 因f(x)为偶函数，则f(x)在(-∞，x4),(0,x)上单调递减，在(x4,0),(:,+o)上单调递增， ly=f(x) f(x)在x=x4和x=x,处取极小值，f(0)=1, -2-1012 :f(x)在(-o,x4)上单调递减，f(x4)=0, 36∈(-o,4),使得f()=1, f(x)在[s,+o)上单调递增，f(x)=0, .x∈[，+∞)，使得f(x)=1, 当x=x6,x1,0时，f(x)=1, c=0,∫(x)=1有3个解，故C错误： 对于D,由C可得，在g(x)=x2-cosx-c2中，g(0)=-1-c2<0, 答案第6页（共15页） 此时f(x)在(-∞，]，[0，g]上单调递减，在[5,0]，[，+o)上单调递增， 因c>0,则f(0)=1+c2≥2c>c,即直线y=c在点(0，f0)的下方，且在x轴上方， 由图知，此时直线y=C与f(x)的图象有4个交点，故D正确. VA y=f(x) B本C y=c D -2-10 12 12.0 【分析】由(2x)0)=21-)+x1x),写出Q-x)展开式的通项，即可求出x4的系数. 【详解】因为(2x)0x)=21-x)5+x1x), 其中(1-x展开式的通项为T+=C;(-x)(0≤r≤5且"∈N), 所以展开式中含x4项有2C4(-x)+xC(-x)=10x4-10x4=0,即展开式中x4的系数为0 【分析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜 角与斜率的关系求出tana,利用正方形的性质即可得到答案. 【详解】设正方形一条边所在的直线倾斜角为&，则tan(a+马=2→anc+12， 4 1-tan a 解得amu-有放及-专 1 1 根据垂直关系可得另一条边的斜率为-3， 3 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为写，-3· 1 1 故答案为：3：-3 96 14. 【分析】如图，设∠O,CE=a,两圆半径为r,根据内切圆性质可构建关于r、tana的方程，求出tana后 再结合三角变换和正弦定理可求BD的长. 【详解】 答案第7页（共15页） E 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为”. 设圆O为△ACD的内切圆，该圆与AC的切点为E, 圆O为△BCD的内切圆，该圆与BC的切点为G,则AO为∠CAB的平分线. 因为tam∠CAB=, 故品0子 故tan2∠EAO+4tan∠E.AO-1=0,故tan∠EAO=-2+√5（负值舍去）， 同理tam∠GB0,=-l+5, 2 设∠0，cB=a,则LGCo=u,0<a<乃 4 ia252Hm居 1-1+V5 2 1 1 tand 2+5 。1+2+5=2 所以1 =2，即m0 +1+√5 tan -1+V5 (4/ 2 故，1+1= 2(1+tan a）) tan a 1-tana ,故ama=}(负值合去） 3 2 故tan∠DCA=tan2a=3-3, 1-了4，而∠DCA为锐角， 9 故sin∠Dc4-3 s·行si五上D4=三，因∠DA○为兑角， 4 故cos∠DCA=5,cos∠DAC= 2 V5: 所以sin∠ADC=sin(∠ACD+∠DAC) =sin∠ACDcos∠DAC+cos∠ACDsin∠DAC= 在△ACD中，由正弦定理可得 AC AD sin∠CDA sin∠ACD 2 AD 故3多，敢4D35 V55 5 故DB=AB-AD=5-3525 55 答案第8页（共15页） 15.(1)nln2 (2)2m1-2 【分析】(1)设公差为d,根据题意可列关于4，d的方程组，求解4，d,代入通项公式可得； (2)由(1)可得e=2”,进而可利用等比数列求和公式进行求解， 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a+4=5h2,所以2a+3d=5ln2, 又4=ln2,所以d=ln2,所以{a}的通项公式a,=a4+(n-1)d=h2 (2)由(1)知a.=ln2,所以e4=e2=e2=2", 所以{}是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此e+e++e4=e0+e++e-2+22+.+2儿20-2）22 1-2 【点睛】等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量4，a,d,n,S,知道其中三个可求另外两个，体 现了用方程组解决问题的思想 16.y=-Vx+ 2 4 【分折】)根据=2以及侣)0可得f侧=m2x+》 12 ,即可求导以及点斜式求解直线方程， (2)利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【详解】(1)当o=2时，则f(x)=sin(2x+p), 根照f侣)-0可符)m[信+0，酸0=c之，放= +m,k∈Z, 6 6 由于0<9<元，故p= 赦e)=m2】 6/ fu)-2ao2x）则7o=2osg-5, 故函数f(9在x=0处的切线方程为)=-5(x-0)+号，故y=-V3x+) （2)同数了e的最小正周期为，放@号所以1a)m子+9小 3π3 令1=x+9,当te0,2026m,则1eg 「4052r+p: 3 令nt=5,则t=+2km或t=3死+2kez, 2 4 4 答案第9页（共15页） [+2mx675<4052 +0 当0<s平时，要使得sn1=5有1351个实数根，则 +2x675≥4052+p,解得0< 2 12 0<psπ 4 3L+2元×675<4052m +p 3 当牙9行时，要使得m1=号有131个实数限，则 +2元x675≥4052 ,兀 3兀 4 3 严+9，解得49≤ 4 4下0s3远 4 [9r+2mx675<4052 + 4 3 当<p≤元时，要使得m12有1351个实数根，观 11π+2m×675≥4052元0，无解。 2 4 3 3 4下p<π 综上可得0<ps或<0s3π -124 <p≤ 4 17.(1)4π： (2)设顶点数、棱数、面数分别为n、1、m,所以有n-l+m=2, 设第i个面的棱数为，所以5+5+…+xm=2, 所以总曲率为： 21-元(k-2)+(x3-2)+.+(xm-2) =2-π(21-2m=2π(n-1+m)=4π， 所以这类多面体的总曲率是常数。 【分析】(1)四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.(2)设顶 点数、棱数、面数分别为、1、m,设第i个面的棱数为x,所以+3++xm=2l,按照公式计算总 曲率即可. 【详解】(1)由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各项点的曲率之和. D B 可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合由图可知： 四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形 答案第10页（共15页） 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：2π×5-(4π+2π)=4π (2)略 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键 18.(1)y2=x o6-广==引 【分析】(1)将点A的坐标代入抛物线E的方程，可得出2p的值，由此可得出抛物线E的方程； (2)分析可知1不与x轴平行，设直线l的方程为x=y+,根据直线与抛物线相切以及点A在直线1上， 可得出关于m、的方程组，解出这两个未知数的值，可求出点B、D,由此可求出△ABF的外接圆圆心 坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程； (3)解法一：设CP=CA(0<1<1),C9=uCB(0<<1),可得出 PA1-2 1-4 结合己 co 知条件得出士3，设C5,),则%=为，为1，设点Gx),利用平面向量的坐标运算可化简 得出点G的轨迹方程： 解法二：记1= 可得出t+t,=3,根据三角形的面积关系得 出82=1共，可得出2的值，进而得出点G为A8C的重心，再结合平面向量的坐标运经化简 S△caBt22t2元 可得出点G的轨迹方程： 解法三：设Gx、P6,）、Q,为小、c6,5≠1，设2Aa,则亚=aC,根据平面向量 CP 的坐标运算得出点P的坐标，设=P,同理可得出点Q的坐标，求出P0、CD的方程，结合a+日=1， co 联立两直线方程可得出点G的轨迹方程， 【详解】(1)因为A(1,1)在E上，所以1=2p,所以E的方程为y2=x. (2)若1与x轴平行，则直线1与x轴无交点，不合题意； 若l不与x轴平行，则1与E相切于A, 答案第11页（共15页) y=x 设直线l的方程为x=y+n,由 ,得y2-y-n=0, x=my+ △=m2+41n=0 所以 1=+n 解得m=2 n=-1' 所以直线1的方程为y=x+, 2 因为B(-1,0)、 小4，D0放D为A中点， 所以，线段A2中垂线的方程为y=-2x+子线段B那中垂线的方程为x= 1 81 3 3 x=- = 8 联立 解得 5 因此△ABF的外接圆圆心坐标为 y=-2x+ 2 s 4 △Br的外接车径等于门目0- 所议。A4P外接周方程为+--到 (3)解法一：设C亚=2CA(0<1<1),C9=CB(0<<1), CP=ACA=A(CP+PA(0<<1),(1-)CP=APA, OB 所以 pA1-2, ，同理 1-业 co x 因恩1，情u-1,商以哈女 设CG=mCD(0<m<1),因为CD=-CA+1CB, 答案第12页（共15页) 所以cG=cA+"c8=mCP+mc0, 2 2 22 因为PA、G、Q三点共线，房所以受费-1.所议加子则CG-号D, 设C(,%),则6=，%≠1，设点G(xy), 因为cG=《--).CD-（3为 x=M 所以{ 五+1所以3--3x, 3 3 因为A、C不重合，所以6≠1，y 3 综上，友G的轨迹方起为(3v-=3y=引： 解法二：因为D为AB中点，记1= 则+t=3, 因为CD为△ABC中线，则 S.cop_ cO-CP1S.cor=S.car+ -且 S.cog S.CAB CB CA 42 S.c4B 2S.CAD .CBD 4+421 2t入t2 所议入=，所以G是△ABC的重 设C(,乃)，则=，乃≠1，设点G(x,y), x=% 3 所以y=%+ 3,解得(3y-12=3x, %=0 因为A、C不重合，所以6≠1，y≠ 3 综上，点G的轨迹方程为3y-1-3xy≠ 3/: 解法三：设G(xy)、P(5,)、2(,)、C(y,%)(%≠1)， 设a,则P=元，所以民-1-少-a帽-，为）， CP 器 所以=1+d 答案第13页（共15页） 设 OB co E,同理可得：5，为=十 1+B y- 1+0 x-l+a 直线PQ的方程为 1+ 1+o B%_1+0-1+B6_1+6 1+B1+ 1+B 1+0 又因为a+B=1,化简得：[(B-a)%-(1+P)]x=[(B-a)哈-3y+1+为-B6①， 1 直线CD的方程为y=为2x+2%x+时@， 2X+ 2 26 x= 由①②解得 3 ,消去%得：(3y-1)=3x, 1+yo V= 3 因为4、C不里合，所以⅓山，少7号 综上，点G的轨迹方程为6-=3xy引 19.(01+p2 n +1×1=1C 为Ck所k+中1k+1u-kk+-产， 所以p)=p+公上cp1-p) e0n+1 1 p+citip"(-p)=p+0+1pe 0.1). 所以H(P)=p(p)=pp+ 上0p=p1Hp,p0. (n+1)p （n+) 求导得H'(p)=2p+(1-p)”.因为H'(p)>0,所以H(P)在(0,1)上单调递增. 所以H(p)<H)=1+1 n+1 由于n≥3，所以1+1s3 n+14 所以原不等式)小成立。 (3)由题意可知 F(a,b)=af(a)+lf,(b)=aa+- 。1-1-am1「1-1-b)m (n+1)a (n+1)b 答案第14页（共15页） -G+企+11-a”-1--a+6+2-a+1-)”,a60 n+1 n+1 n+1 n+l 因为a+b=1,所以a=1-b,b=1-a. 所以F(ab)=d+B+2a+b -,ab∈(0，) n+1n+1 又d1<a,b+1<b,所以aH+b+1<a+b=1. 又dao 1.211.1 所以F(a,b)>。+ >2n+1n+12n+ 所a创>号点所以医不等式成立。 【分析】(1)应用数学期望公式结合二项分布数学期望公式计算求解： (2)应用导数正负得出函数单调性及最值计算证明； (3)应用新定义结合基本不等式列式计算证明. 【详解】(1)由题意可知，X~B(np),则P(X=k)=Cp(1-p)”,E(X)=p. m似天可}p+宫点cp-产 所以6p)=p+cp-p+cp-p+cpl-p旷=p+l-p+pl-p)+3r-1+写p. (2)略 (3)略 答案第15页（共15页）