第4章 2 专题训练11 线段与角中的动态问题-【红对勾】2026-2027学年七年级上册数学45分钟作业与单元评估（北师大版·新教材）

专题训练十二 线目 类型1与线段有关的动态问题 题型1线段上动点与中点问题的综合 1.(2025河源紫金县期末)如图，O是线段AB 上一点，C,D分别是线段AO,BO的中点。 A COD B (1)当AB=x时，求线段CD的长度； (2)当AB=10时，CD= (3)小明进行题后反思，提出新的问题：如 果在(2)的条件下，点O运动到线段AB的 延长线上，求此时线段CD的长度。 题型2线段上动点问题中的定值问题 2.在如图所示的数轴上，某点从原点开始运 动，先向左平移2个单位长度到达点A,再 向左平移4个单位长度到达点B,最后向右 平移10个单位长度到达点C。 7-65-43-2-012345678 (1)分别写出点A,B,C表示的数； (2)若点P在线段BC上运动，当BP=3AP 时，求出点P表示的数； (3)若点Q从点C出发，在线段BC的延长 线上运动，M是BQ的中点，V是CQ的中 点，试说明BM一CN是一个定值。 第四章基本平面图形75 没与角中的动态问题 题型3线段上动点的方案问题 3.如图，A,B是河流两旁的两个村庄，现要 在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站 修在什么地方才能使所需的管道最短？请在 图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的 理由。 A B 题型4线段上的动线段问题 4.已知点C在线段AB上，AC=2BC,线段 DE在直线AB上移动（点D,E不与点A, B重合)。 (1)若AB=24,求AC和BC的长。 (2)若AB=15,DE=6,线段DE在线段 AB上移动，且点D在点E的左侧， ①如图，当点E为BC的中点时，求AD 的长； ②点F(不与点A,B,C重合)在线段AB 上，AF=3AD,CF=3,求AE的长。 y D C E B C B 备用图 76川川红树勾·BS版·七年级数学·上 类型2与角有关的动态问题 题型1求角度问题 5.已知直线MN,O是MN上的一个定点。点 A是直线MN下方的一个动点，作射线OA 及∠AON的平分线OB,点C与点A在直 线MN的两侧，点D在线段CO的延长线上。 (1)若∠AON=100°，∠COM=125°，在图 1中补全图形，并求出∠BOD的大小。 (2)射线OE是∠AOC的平分线。 ①如图2，当∠DON>∠AON时，写∠BOE 与∠DOM的数量关系，并说明理由； ②当∠DON≠∠AON,且∠COM+∠BOE= 140时，直接写出∠BOE的度数。 C M 0 0 M -N B M 图1 图2 备用图 题型2定值问题 6.如图，∠AOB=90°，∠DOE=40°，将 ∠AOB绕点O旋转。 (1)当射线OB,OD重合时，∠AOE的度 数为 (2)在∠AOB绕点O旋转的过程中，若射线 OB,OD与OE中的某一条射线是另两条射 线所夹角的平分线，则∠BOD的度数为 (3)在∠AOB绕点O旋转的过程中，若射线 OB始终在∠DOE的内部。 ①善于思考的小明发现，在旋转过程中， ∠AOE一∠BOD的值为定值，请你求出这 个定值； ②作∠BOD和∠AOE的平分线OM,ON, 在旋转过程中∠MON的值是否发生变化？ 若不变，请求出这个定值；若变化，请求出 变化的范围。 题型3探究问题 7.已知O是直线AB上的一点，∠COD是直 角，OE平分∠AOD。 (1)如图1，若∠COE=20°，则∠DOB的度 数为 (2)将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转 至图2的位置，其他条件不变，探究∠COE 和∠DOB之间的数量关系，写出你的结论 并说明理由； (3)将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转 至图3的位置，其他条件不变，直接写 出∠COE和∠DOB之间的数量关系。 图2 图3所以∠BOD=180°-∠AOD=∠AOC=6.解：(1)因为∠AOC:∠BOC=1:2, 35°。 ∠AOB=120°， (2)设∠EOC=2x,∠EOD=3.x,根据 1 题意，得2x十3x=180°， 所以∠A0C=3∠A0B=3X120°= 解得x=36°，所以∠EOC=2x=72°， 40,∠0C=号∠A0B=子×12r=80. 所以∠A0C=2∠E0C=2×72=36, (2)因为OM平分∠AOC, 所以∠BOD=180°-∠AOD=∠AOC= 36°。 所以∠00M=号∠A0C=号×40=20. 3.解：(1)4 因为∠CON:∠BON=1:3, (2)因为M是AC的中点，N是CB的 所以∠00N=∠00=子×80=20. 中点， 1 所以∠MON=∠COM+∠CON=20°+ 所以AM=CM=AC,CN=2CB 20°=40°。 1 (3)如图1，当OD在∠AOB内部时， 所以MN=CM+CN=2AC+2CB= 2(AC+CB)=2AB. 因为AB=10cm, 图1 1 所以MN=2X10=5(cm). 设∠BOD=x°， 4.解：(1)因为∠MON-∠BOC= 因为2∠AOD=3∠BOD, ∠BOM+∠CON,∠BOC=40°， 所以∠A0D=2x, 3 ∠MON=80°， 所以∠BOM+∠CON=80°-40°=40°， 因为∠AOB=120°， 因为OM平分∠AOB,ON平分∠COD, 所以x+号=120， 所以∠AOM=∠BOM,∠DON=∠CON 解得x=48, 所以∠AOM+∠DON=40°， 所以∠BOD=48°， 所以∠AOD=∠MON+∠AOM+ 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=80° ∠DON=80°+40°=120°。 48°=32°； (2)因为∠AOD=x°，∠MON=80°， 如图2，当OD在∠AOB外部时， 所以∠AOM+∠DON=∠AOD ∠MON=(x-80)°， 因为∠BOM+∠CON=∠AOM+ 0 ∠DON=(x-80)°， D 所以∠BOC=∠MON-(∠BOM+ 图2 ∠C0N)=80°-(x-80)°=(160-x)°。 设∠BOD=y°， 5.解：(1)18 因为2∠AOD=3∠BOD, (2)= 3 (3)因为点F表示的数为4， 所以∠AOD=2)°， 所以OF=4。 因为∠A0B=120°， 因为点M在点N的左侧，所以MF= 20M,ON=2NF, 所以2y+y+120=360. 所以OM=NF=OF=专 解得y=96, 所以∠COD=∠BOD+∠BOC=96°+ 因为OF=OM+MN+NF, 80°=176°。 所以NMN=专 综上所述，∠COD的度数为32°或176°。 7.解：(1)①因为∠AOC=60°， (4)因为点E表示的数为1，点F表示 所以∠BOC=180°-∠AOC=180° 的数为4， 60°=120°， 所以EF=4一1=3， 又因为OE平分∠BOC, 线段EF,GF互为“优点”伴侣线段 时，有EF=2GF或GF=2EF, 所以∠0E=2∠0C-2×12w=60, 当EF=2GF时，GF=1.5, 又因为∠COD=90°， 所以点G表示的数为5.5， 所以∠DOE=∠COD-∠COE=90° 当GF=2EF时，GF=6, 60°=30°。 所以点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为5.5或10。 @2 (2②)∠DOE=号∠A0C,理由如下： 3.解：如图，点P即为所求。 因为∠BOC=180°-∠AOC, OE平分∠BOC, P B 所以∠c0E=号∠B00=号180 1 理由是两点之间线段最短。 ∠A0C)=90°-号∠A0c, 4.解：(1)因为AB=24,AC+BC=AB, AC=2BC, 所以2BC+BC=24,即3BC=24 所以∠DOE=90°-∠COE=90°-（90° 所以BC=8,AC=2×8=16。 3∠A0C)=3∠A0c. (2)因为AB=15,AC=2BC, 所以AB=AC+BC=3BC=15, 专题训练十一 线段与角中的 所以BC=5,AC=10。 动态问题 ①因为点E为BC的中点， 1.解：(1)因为C,D分别是AO,BO的 所以cE=C-g, 中点，所以c0=号40,0=宁0 1 因为DE=6, 因为AB=x, 所以CD=CO十DO= 所以CD=DE-CE=6-2=2: 57 1 1 1 1 A0+2B0-2AB 2。 所以AD=AC-CD=10-子-号 (2)5 ②分两种情况： (3)当点O运动到线段AB的延长线上 (i)如图1所示，当点F在点C右侧时， 时，如图， AD龙FB 七BD0 图1 因为C,D分别是线段AO,BO的中 因为AC=10,CF=3, 点、所以c0=2A0,0=2B0. 1 所以AF=AC+CF=10+3=13. 因为AF=3AD, 1 1 所以CD=C0-D0=ZA0-2B0= 所以AD=弓AF=号 ZAB=5。 因为DE=6, 13+6=3 所以AE=AD+DE= 31 2. 解：(1)点A表示的数为一2， 点B表示的数为一6， ()如图2所示，当点F在点C左侧时， 点C表示的数为4。 A D F EC B (2)可分为以下两种情况讨论： 图2 ①当点P在线段AB上时，BP+AP= 因为AC=10,CF=3, AB=4。 所以AF=AC-CF=10-3=7, 因为BP=3AP, 因为AF=3AD, 所以3AP十AP=4, 所以AD=子AP=子， 1 解得AP=1, 所以点P表示的数为一3。 ②当点P在线段AC上时，BP一AP +6=3 所以AE=AD+DE=3 25 AB=4。 综上所述，AE的长为或 因为BP=3AP, 所以3AP-AP=4, 5.解：(1)补全图形如图所示， C 解得AP=2, 所以点P表示的数为0。 综上所述，点P表示的数为一3或0。 (3)设点Q表示的数为m,则BQ=m D (-6)=m+6,CQ=m-4。 因为∠AON=100°，OB是∠AON的 因为M是BQ的中点，N是CQ的中 平分线， 点，所以BM=BQ="生.CN 所以∠AOB=7∠AON=50, 1 因为∠COM=125°， 所以∠DON=180°-∠DOM=∠COM= 所以BM-CN=m+6_m,4=5, 125°， 2 2 所以∠DOA=∠DON-∠AON=25°， 所以BM一CN是一个定值。 所以∠BOD=25°+50°=75°。 (2)①∠DOM=2∠BOE,理由如下： 3多边形和圆的初步认识 如图，设∠AOB=a,∠DOM=B, 基础达标 则∠CON=180°-∠COM= 1.A2.C3.A4.445.40 ∠DOM=3, 6.D7.C8.A -O 能力提升 M 04 1.C2.A3.A4.B B 5.120°6.4-x 因为OB是∠AON的平分线， 7.解：由题意可知，OC=OA-AC=35 所以∠BON=∠AOB=a, 20=15(cm), 因为OE是∠AOC的平分线 所以S扇正= 135πX35 135π×152 360 360 所以∠AOE= ∠A0C= 2 2(2a+B), 375x(cm), 即扇面的面积是375πcm”。 所以∠BOE=∠AOE-∠AOB=2(2a+ 8.解：(1)n-3 2n(n-3) B)-a=2B, (2)因为3×6=18（名）， 所以∠DOM=2∠BOE。 ②∠BOE=40°。 所以数学社团的同学们一共将按打？× 解：(1)50 18×(18-3)=135(个)电话 (2)20°或40°或80 (3)每名同学相当于多边形的一个顶点， (3)①因为∠AOE=∠AOB-∠BOE, 则共有n个顶点。 ∠BOD=∠DOE-∠BOE, 每人要给不同组的同学打一个电话，则 所以∠AOE-∠BOD=∠AOB-∠DOE 每人要打(n-3)个电话， 因为∠AOB=90°，∠DOE=40°， 两人之间不需要重复拨打电话，故拨打 所以∠AOE-∠BOD=50°。 ②在旋转过程中∠MON的值不发生变 电话的总数为了一3》 化。如图， 数学社团有18名同学，当n=18时， 2X18×(18-3)=135. 第五章一元一次方程 1 认识方程 因为OM平分∠BOD,ON平分∠AOE, 基础达标 1.D2.D3.B4.A 所以∠BOM=2 ∠BOD, 能力提升 ∠NOE=2∠AOE。 1.B2.A3.B 4.3 因为∠MON=∠NOE+∠BOE+∠BOM, 5.解：设原正方形花圃的边长为xm,由 所以∠MON= (∠BOD+∠AOE+ 1 题意可得方程4(x+2)=28。 6.解：(1)根据甲班植树的株数比乙班多 2∠BOE)= 2(∠AOB+∠DOE)= 20%,得甲班植树的株数为(1十20%)x株： 根据乙班植树的株数比甲班的一半多10 ×(90°+40)=65，所以在旋转过程 1 株，得甲班植树的株数为2(x一10)株。 中∠MON的值不发生变化，∠MON= (2)由题意，得(1+20%)x=2(x一10)。 65°。 (3)把x=25分别代入方程的左边和右 解：(1)40° 边，得左边=(1+20%)×25=30，右 (2)∠DOB=2∠COE。理由如下：因 边=2×(25一10)=30，左边=右边 为∠COD是直角，OE平分∠AOD, 所以x=25是方程(1+20%)x=2(x 所以∠COE=∠COD-∠DOE=90° 10)的解。这就是说，乙班植树的株数 2<A0D. 是25株，从上面的检验过程可得甲班 植树的株数是30株，而不是35株。 因为∠D0B=180°-∠AOD=2(90° 2一元一次方程的解法 第1课时等式的基本性质 ∠A0D): 基础达标 所以∠DOB=2∠COE。 1.B2.B3.c≠14.(-3) (3)∠DOB=360°-2∠COE。 5.减3-31-3 参考答案1川活23