第4章 2 专题训练10 数学思想在线段与角的计算中的应用-【红对勾】2026-2027学年七年级上册数学45分钟作业与单元评估（北师大版·新教材）

(x-4)m2-2。 6.解：如图所示。 因为无论m取何值，这个代数式的值都 是一2，所以x一4=0，所以x=4。 即“☐”中的数是4。 5.解：原式=2x-4y-2x十4y+6=6, 所以结果与x,y的取值无关， 7.解：根据线段的定义可知题图中的线段 所以把“x=2024,y=2025”抄成了 有线段AC,AD,AE,AB,CD,CE, “x=24,y=25”,求出来的结果也是正 CB,DE,DB,EB,共10条。 确的。 (1)有10种不同的票价。 6.解：(1)因为A+B=x2+14x一6，A= (2)因为车票需要考虑方向性，如“A· -2.x2+5.x-1,所以B=x2+14x C”与“C·A”票价相同，但车票不 6-(-2x2+5.x-1)=3x2+9x-5, 同，所以需要准备20种车票。 所以A-B=-2x2+5.x-1-(3x2+ 8.解：(1)3610 9x-5)=-5.x2-4.x+4。 (2)第①组最多可以画3条直线，3= (2)因为A=-2x2+5.x-1,B=3.x2+ 1+2; 9x-5,所以A-2B=-2x2+5.x-1 第②组最多可以画6条直线，6=1+ 2(3x2+9x-5)=-8x2-13x+9,因为 2+3; x是最大的负整数，所以x=一1，所以 第③组最多可以画10条直线，10=1+ A-2B=-8x2-13.x+9=-8+13+ 2+3+4; 9=14。 … 7.解：(1)原式=一5(x+1)-3(x-2)= 如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个 -5x-5-3x+6=-8.x+1。 点均不在同一条直线上，那么最多可以 (2)因为x是最小的正整数，所以x= 1,则二阶行列式的值为一8.x十1= 画1+2+3+…十-1=nmD(条) 2 -8×1+1=-7。 直线。 8.8 (3)某班45名同学在毕业后的一次聚会 9.解：(1)256 中，如果每两人握1次手问好，那么共 (2)由(1)给出的算式可得第@个等式为 1 1 握号×45×44=90（次）手. n2+n(n+1)2+(n+1) 第2课时比较线段的长短 2 基础达标 n×(n+1)×(n+2)9 2 1.D2.C3.B4.C5.D 2 (3)原式=100×(1×2X32×3×4 十十 6.解：如图所示，线段AB即为所求。 b 1 99×100×101 ）=100×（中12+2 7.C8.A 1 1 1 十…十 1 2+232+3 能力提升 992+99100+100 1 10×(+1100+100 =100×（2 1.D2.C3.A 4.两点之间线段最短 1 1 5.48或96 =100× 一100× 100×1017 100×101 6.解：如图所示，点H即为所求的点。 、100 A ·B 第四章基本平面图形 C 。D 7.解：作法：(1)作射线AE。 1线段、射线、直线 (2)在射线AE上顺次截取AC,CD, 第1课时线段、射线、直线 使AC=a,CD=b。 基础达标 (3)在线段AD上截取线段DB,使DB= 1.B2.A3.3664.C c,则线段AB为所要作的线段（如图）。 5.(1)外(2)上(3)ACBD6.B k a b 7.两点确定一条直线 A CBD E 能力提升 a+b-c c 1.B2.D3.B4.B 8.解：(1)因为AC=18,EC=12, 5.解：(1)数轴在原点左边的部分（包括原 所以AE=AC-EC=6, 点)是一条射线，表示为射线OB 因为E为线段AB的中点， (2)射线OB上的点表示非正数。 所以AB=2AE=12。 (3)线段，可表示为线段AB。 (2)因为E为线段AB的中点， 活22川川2树勾·BS版·七年级数学·上 所以AE=BE=号AB, 6.解：(1)①3②6 ③n(n-1) 因为BD=AB,BD= 3CD. 2 (2)根据题意可得， 所以DE=BD,BC=2BD, 所以DE+BD+BC=4BD=12, 当a=16时.n,D_16X15=120。 2 2 所以BD=3, 所以全部赛完共需120场比赛。 所以AB=12,BC=6, 第2课时比较角的大小 所以AC=AB+BC=18。 基础达标 9.解：(1)因为AB=20,BC=8, 所以AC=AB+BC=28, 1.C2.D3.OC<4.C5.B 因为点A,B,C在同一直线上，M, 6.D7.108 8.解：因为∠COD=90°，∠COE=32°， N分别是AC,BC的中点， 所以∠DOE=∠COD-∠COE=90° 所以MC=2AC=14,NC=zBC=4, 32°=58°， 所以MN=MC-NC=14-4=10。 因为OE为∠AOD的平分线， 所以∠AOD=2∠DOE=116°， (2)根指I)得MN=合(AC-C)= 所以∠B0D=180°-∠AOD=180° 116°=64°。 AB= 能力提升 (3)根指(I)得MN=子(AC-BC) 1.B2.A3.B 4.70° 2AB=. 5.解：(1)北偏东70 (2)因为∠BOD=180°， (4)从(1)(2)(3)的结果中能得到线 所以∠COD=180°-∠AOB-∠AOC= 段MN的长始终等于线段AB的长的 180°-55°-55°=70°， 半，与点C的位置无关。 因为OE是∠COD的平分线， 2角 所以∠c0E=号∠c0D=35, 第1课时角 所以∠AOE=∠AOC+∠COE=55°+ 基础达标 35°=90°。 1.C2.B3.B4.C5.B 6.解：(1)∠DOE的“共边角”为∠EOF 6.解：(1)①因为0.6°=0.6×60'=36'， 和∠DOF。 所以45.6°=45°36。 (2)非公共边的两边所成角的度数为60 ②因为0.43°=0.43×60=25.8′， 或120°。 0.8=0.8×60”=48”, (3)如图1，当OB在∠AOC的内部时， 所以78.43°=78°2548 A 公 (2)0国为1g=(》=0.3 B 所以5718=57.3°。 (0)≈0.17°， ②因为10'=(60) 图1 所以15°10′≈15.17°。 因为OM,ON分别是∠AOB,∠BO0 7.C8.C 的平分线， 能力提升 所以∠BOM= 2∠AOB, 1.C2.B3.B 4.解：(1)题图中，钟面上时针与分针所 ∠BON=2∠BOC, 成的角是120°。 所以∠MON=∠BOM+∠BON= (2)每经过1h,时针转过30°。每经过 ∠A0B+∠B0C)=∠A0C, 1 1min,分针转过6°。 (3)八点半时，时针和分针的夹角是75°。 因为∠AOC=90°，所以∠MON=45°： 5.解：如图所示，点P即为公园的位置。 如图2，当OB在∠AOC的外部时， 北 A →东 学校 P 60°公园 超市 图2 因为OM,ON分别是∠AOB,∠BOC 的平分线， 1 和∠B0C,所以∠D0C=2∠A0C. 所以∠BOM=Z∠AOB ∠BON-号∠B0C. ∠C0E=∠B0C.则∠D0E 所以∠MON=∠BOM+∠BON= ∠D0C+∠COE=z∠A0c+ 1 1 Z∠A0B+∠BOC Z∠B0C=Z(∠A0C+∠B0C), 因为∠AOB+∠BOC=360°-∠AOC= 因为∠AOC+∠BOC=180°，所以 270°， ∠D0E=2(∠AOC+∠B0C)=90°3 1 所以∠M0N=2×270°=135， (2)①因为∠COD=60°，∠DOE=90°， 综上所述，∠MON的度数为45或135°。 所以∠COE=∠DOE-∠COD=30°， 第3课时用尺规画角 由)可知，∠D0C=号∠A0C, 基础达标 则∠AOC=2∠DOC=120°， 1.D 所以∠AOE=∠AOC+∠COE=120°+ 2.解：作法：①如图，作射线B1C1; 30°=150° ②以点B为圆心，以任意长为半径作 ②∠FOD的度数为40°或80°。 弧，交BC于点E,交BA于点D; 3.解：(1)因为OP平分∠AOC, ③以点B,为圆心，以BE的长为半径 作弧，交B,C,于点E1: 所以∠P0C=∠A00=合×(0o0+ ④以点E,为圆心，以ED的长为半径 30)=60°。 作弧，交③中所作弧于点D1: 又因为OQ平分∠BOC, ⑤过点D1作射线B1A1,则∠A,BC 1 所以∠C0Q=2∠B0C=15°。 就是所求作的角。 所以∠POQ=∠POC-∠COQ=60° D D 15°=45°。 E C B E C (2)因为∠P0C=2a+30)=2a+15, 3.解：如图所示，∠AOB即为所求作 1 ∠C0Q=2×30°=15°， 所以∠P0Q=∠P0C-∠C0Q=2a+ 能力提升 15-15=7. 1.C 1 2.解：(1)如图，∠AOD即为所求。 (3)因为∠P0C=2(90+B)=45°+ 28.∠c00=8. 所以∠POQ=∠POC-∠COQ=45°+ 29-29=45. (4)∠POQ的度数始终是∠AOB度数的 (2)70° 一半，和∠BOC的度数没有关系。 3.解：方法一：如图1，∠COD即为所求。 专题训练十数学思想在线段与 角的计算中的应用 1.解：设AB=2x,BC=5.x,CD=3.x(x> 0),AD=AB+BC+CD=10x. 因为M为AD的中点， 图1 方法二：如图2，∠COD即为所求。 所以AM=DM=2AD=5x, 因为BM=AM-AB=15, 所以5x-2.x=15, 解得x=5, 图2 所以AD=10x=50, CM=DM-CD=5x-3x=2x=10. 专题训练九双角平分线模型 2.解：(1)因为OA平分∠EOC, 1.25 2.解：(1)因为OD,OE分别平分∠AOC 所以∠A0C=∠B0C=×0=35, 所以∠BOD=180°-∠AOD=∠AOC=6.解：(1)因为∠AOC:∠BOC=1:2, 35°。 ∠AOB=120°， (2)设∠EOC=2x,∠EOD=3.x,根据 1 题意，得2x十3x=180°， 所以∠A0C=3∠A0B=3X120°= 解得x=36°，所以∠EOC=2x=72°， 40,∠0C=号∠A0B=子×12r=80. 所以∠A0C=2∠E0C=2×72=36, (2)因为OM平分∠AOC, 所以∠BOD=180°-∠AOD=∠AOC= 36°。 所以∠00M=号∠A0C=号×40=20. 3.解：(1)4 因为∠CON:∠BON=1:3, (2)因为M是AC的中点，N是CB的 所以∠00N=∠00=子×80=20. 中点， 1 所以∠MON=∠COM+∠CON=20°+ 所以AM=CM=AC,CN=2CB 20°=40°。 1 (3)如图1，当OD在∠AOB内部时， 所以MN=CM+CN=2AC+2CB= 2(AC+CB)=2AB. 因为AB=10cm, 图1 1 所以MN=2X10=5(cm). 设∠BOD=x°， 4.解：(1)因为∠MON-∠BOC= 因为2∠AOD=3∠BOD, ∠BOM+∠CON,∠BOC=40°， 所以∠A0D=2x, 3 ∠MON=80°， 所以∠BOM+∠CON=80°-40°=40°， 因为∠AOB=120°， 因为OM平分∠AOB,ON平分∠COD, 所以x+号=120， 所以∠AOM=∠BOM,∠DON=∠CON 解得x=48, 所以∠AOM+∠DON=40°， 所以∠BOD=48°， 所以∠AOD=∠MON+∠AOM+ 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=80° ∠DON=80°+40°=120°。 48°=32°； (2)因为∠AOD=x°，∠MON=80°， 如图2，当OD在∠AOB外部时， 所以∠AOM+∠DON=∠AOD ∠MON=(x-80)°， 因为∠BOM+∠CON=∠AOM+ 0 ∠DON=(x-80)°， D 所以∠BOC=∠MON-(∠BOM+ 图2 ∠C0N)=80°-(x-80)°=(160-x)°。 设∠BOD=y°， 5.解：(1)18 因为2∠AOD=3∠BOD, (2)= 3 (3)因为点F表示的数为4， 所以∠AOD=2)°， 所以OF=4。 因为∠A0B=120°， 因为点M在点N的左侧，所以MF= 20M,ON=2NF, 所以2y+y+120=360. 所以OM=NF=OF=专 解得y=96, 所以∠COD=∠BOD+∠BOC=96°+ 因为OF=OM+MN+NF, 80°=176°。 所以NMN=专 综上所述，∠COD的度数为32°或176°。 7.解：(1)①因为∠AOC=60°， (4)因为点E表示的数为1，点F表示 所以∠BOC=180°-∠AOC=180° 的数为4， 60°=120°， 所以EF=4一1=3， 又因为OE平分∠BOC, 线段EF,GF互为“优点”伴侣线段 时，有EF=2GF或GF=2EF, 所以∠0E=2∠0C-2×12w=60, 当EF=2GF时，GF=1.5, 又因为∠COD=90°， 所以点G表示的数为5.5， 所以∠DOE=∠COD-∠COE=90° 当GF=2EF时，GF=6, 60°=30°。 所以点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为5.5或10。 @2 (2②)∠DOE=号∠A0C,理由如下： 3.解：如图，点P即为所求。 因为∠BOC=180°-∠AOC, OE平分∠BOC, P B 所以∠c0E=号∠B00=号180 1 理由是两点之间线段最短。 ∠A0C)=90°-号∠A0c, 4.解：(1)因为AB=24,AC+BC=AB, AC=2BC, 所以2BC+BC=24,即3BC=24 所以∠DOE=90°-∠COE=90°-（90° 所以BC=8,AC=2×8=16。 3∠A0C)=3∠A0c. (2)因为AB=15,AC=2BC, 所以AB=AC+BC=3BC=15, 专题训练十一 线段与角中的 所以BC=5,AC=10。 动态问题 ①因为点E为BC的中点， 1.解：(1)因为C,D分别是AO,BO的 所以cE=C-g, 中点，所以c0=号40,0=宁0 1 因为DE=6, 因为AB=x, 所以CD=CO十DO= 所以CD=DE-CE=6-2=2: 57 1 1 1 1 A0+2B0-2AB 2。 所以AD=AC-CD=10-子-号 (2)5 ②分两种情况： (3)当点O运动到线段AB的延长线上 (i)如图1所示，当点F在点C右侧时， 时，如图， AD龙FB 七BD0 图1 因为C,D分别是线段AO,BO的中 因为AC=10,CF=3, 点、所以c0=2A0,0=2B0. 1 所以AF=AC+CF=10+3=13. 因为AF=3AD, 1 1 所以CD=C0-D0=ZA0-2B0= 所以AD=弓AF=号 ZAB=5。 因为DE=6, 13+6=3 所以AE=AD+DE= 31 2. 解：(1)点A表示的数为一2， 点B表示的数为一6， ()如图2所示，当点F在点C左侧时， 点C表示的数为4。 A D F EC B (2)可分为以下两种情况讨论： 图2 ①当点P在线段AB上时，BP+AP= 因为AC=10,CF=3, AB=4。 所以AF=AC-CF=10-3=7, 因为BP=3AP, 因为AF=3AD, 所以3AP十AP=4, 所以AD=子AP=子， 1 解得AP=1, 所以点P表示的数为一3。 ②当点P在线段AC上时，BP一AP +6=3 所以AE=AD+DE=3 25 AB=4。 综上所述，AE的长为或 因为BP=3AP, 所以3AP-AP=4, 5.解：(1)补全图形如图所示， C 解得AP=2, 所以点P表示的数为0。 综上所述，点P表示的数为一3或0。 (3)设点Q表示的数为m,则BQ=m D (-6)=m+6,CQ=m-4。 因为∠AON=100°，OB是∠AON的 因为M是BQ的中点，N是CQ的中 平分线， 点，所以BM=BQ="生.CN 所以∠AOB=7∠AON=50, 1 因为∠COM=125°， 所以∠DON=180°-∠DOM=∠COM= 所以BM-CN=m+6_m,4=5, 125°， 2 2 所以∠DOA=∠DON-∠AON=25°， 所以BM一CN是一个定值。 所以∠BOD=25°+50°=75°。 (2)①∠DOM=2∠BOE,理由如下： 3多边形和圆的初步认识 如图，设∠AOB=a,∠DOM=B, 基础达标 则∠CON=180°-∠COM= 1.A2.C3.A4.445.40 ∠DOM=3, 6.D7.C8.A -O 能力提升 M 04 1.C2.A3.A4.B B 5.120°6.4-x 因为OB是∠AON的平分线， 7.解：由题意可知，OC=OA-AC=35 所以∠BON=∠AOB=a, 20=15(cm), 因为OE是∠AOC的平分线 所以S扇正= 135πX35 135π×152 360 360 所以∠AOE= ∠A0C= 2 2(2a+B), 375x(cm), 即扇面的面积是375πcm”。 所以∠BOE=∠AOE-∠AOB=2(2a+ 8.解：(1)n-3 2n(n-3) B)-a=2B, (2)因为3×6=18（名）， 所以∠DOM=2∠BOE。 ②∠BOE=40°。 所以数学社团的同学们一共将按打？× 解：(1)50 18×(18-3)=135(个)电话 (2)20°或40°或80 (3)每名同学相当于多边形的一个顶点， (3)①因为∠AOE=∠AOB-∠BOE, 则共有n个顶点。 ∠BOD=∠DOE-∠BOE, 每人要给不同组的同学打一个电话，则 所以∠AOE-∠BOD=∠AOB-∠DOE 每人要打(n-3)个电话， 因为∠AOB=90°，∠DOE=40°， 两人之间不需要重复拨打电话，故拨打 所以∠AOE-∠BOD=50°。 ②在旋转过程中∠MON的值不发生变 电话的总数为了一3》 化。如图， 数学社团有18名同学，当n=18时， 2X18×(18-3)=135. 第五章一元一次方程 1 认识方程 因为OM平分∠BOD,ON平分∠AOE, 基础达标 1.D2.D3.B4.A 所以∠BOM=2 ∠BOD, 能力提升 ∠NOE=2∠AOE。 1.B2.A3.B 4.3 因为∠MON=∠NOE+∠BOE+∠BOM, 5.解：设原正方形花圃的边长为xm,由 所以∠MON= (∠BOD+∠AOE+ 1 题意可得方程4(x+2)=28。 6.解：(1)根据甲班植树的株数比乙班多 2∠BOE)= 2(∠AOB+∠DOE)= 20%,得甲班植树的株数为(1十20%)x株： 根据乙班植树的株数比甲班的一半多10 ×(90°+40)=65，所以在旋转过程 1 株，得甲班植树的株数为2(x一10)株。 中∠MON的值不发生变化，∠MON= (2)由题意，得(1+20%)x=2(x一10)。 65°。 (3)把x=25分别代入方程的左边和右 解：(1)40° 边，得左边=(1+20%)×25=30，右 (2)∠DOB=2∠COE。理由如下：因 边=2×(25一10)=30，左边=右边 为∠COD是直角，OE平分∠AOD, 所以x=25是方程(1+20%)x=2(x 所以∠COE=∠COD-∠DOE=90° 10)的解。这就是说，乙班植树的株数 2<A0D. 是25株，从上面的检验过程可得甲班 植树的株数是30株，而不是35株。 因为∠D0B=180°-∠AOD=2(90° 2一元一次方程的解法 第1课时等式的基本性质 ∠A0D): 基础达标 所以∠DOB=2∠COE。 1.B2.B3.c≠14.(-3) (3)∠DOB=360°-2∠COE。 5.减3-31-3 参考答案1川活23第四章基本平面图形73 专题训练十数学思想在线段与角的计算中的应用 类型1方程思想 (2)如图3，点C是线段AB上的一点， 1.如图，B,C两点把线段AD分成2：5：3 点M,N分别是线段AC,CB的中点，若 的三部分，M为AD的中点，BM=15,求 AB=10cm,求线段MN的长。 CM和AD的长。 BA M C N B A B M C D 图1 图2 A M CN B 图3 2.如图，直线AB,CD相交于点O,OA平 分∠EOC。 (1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数： 4.如图，OB,OC是∠AOD内部的两条射线， (2)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD的 OM平分∠AOB,ON平分∠COD,∠MON= 度数。 80° (1)若∠BOC=40°，求∠AOD的度数； (2)若∠AOD=x°，求∠BOC的度数（用含 x的代数式表示)。 类型2整体思想 3.(2025长春期末)课题学习：把一条线段分成 两条相等的线段的点，叫作这条线段的中 点。如图1，点C是线段AB的中点，可以 写成AC=CB= AB,或AB=2C- 2CB。 类型3分类讨论思想 学以致用： 5.【新知理解】 (1)如图2，点C是线段AB的中点，点M, 点C在线段AB上，若BC=2AC或AC= N分别是线段AC,CB的中点，若MN= 2BC,则称点C是线段AB的“优点”，线 2cm,则线段AB的长为 cm; 段AC,BC称作互为“优点”伴侣线段。 74川川2对勾·BS版·七年级数学·上 如图1，线段AB的长度为6，点C在AB (3)过点O作射线OD,若2∠AOD=3∠BOD, 上，AC的长度为2，则点C是线段AB的 求∠COD的度数。 其中一个“优点”。 A C B 图1 (1)若点C为图1中线段AB的“优点”， 备用图 AC=6(AC<BC),则AB= (2)若点D也是图1中线段AB的“优点” (不同于点C),则AC BD(填“=” 或“≠”)。 【解决问题】 如图2，数轴上有O,E,F三点，其中O 为原点，点E表示的数为1，点F表示的数 为4。 E F 类型4从特殊到一般思想 -2-1012345678 7.已知O是直线AB上一点，∠COD是直角， 图2 OE平分∠BOC。 (3)若点M在点N的左侧，且M,N均为 (1)①如图1，若∠AOC=60°，求∠DOE的 线段OF的“优点”，求线段MV的长。 度数； (4)若点G在线段EF的延长线上，且线段 ②若∠AOC=a,则∠DOE的度数为 EF与GF互为“优点”伴侣线段，求点G (用含a的式子表示)。 表示的数。 (2)当∠DOC的位置如图2所示时，试探 究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写 出你的结论，并说明理由。 图1 图2 6.如图，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内 的一条射线，且∠AOC:∠BOC=1:2。 (1)求∠AOC,∠BOC的度数； (2)作射线OM平分∠AOC,在∠BOC内作 射线ON,使得∠CON:∠BON=1:3, 求∠MON的度数；