奥数思维拓展专项训练第02讲--数与位数（专项练习）-2026-2027学年四年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦数与位数核心概念，通过"概念梳理-典例精析-变式迁移"体系，培养抽象能力与推理意识，实现从基础到竞赛题型的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3点|位数意义、数的组成规则|从数位本质（个位/十位意义）到数的量化表达（数字和公式）| |典例精析|7例+变式|回文数构造法、数字和分类枚举法、相邻数字和推理法、数位交换差公式法|以"数位-数字-数"为逻辑链，从静态表示（三位数abc）到动态变换（数字交换/回文）| |课后作业|6题|综合应用（数位特征+方程思想）|覆盖竞赛高频题型（数位组合、数字和最值、回文数应用）|

第2讲 数与位数 【课前热身】 1.从南京到北京的某列火车，中途要停靠7个大站。铁路公司要为这段铁路准备多少种不同 的车票？这些车票中有多少种不同的票价？（各站之间的路程不相同） 2.六个数字1、2、3、4、5、6组成的没有重复数字的六位数，从小到大排列起来，321456 是第 个数。 3.如图所示，A,B,C,D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。如果 要求相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 第1页共11页 【学习目标】 1、进一步了解位数的意义； 2、学会根据题中的条件求不定解。 【知识梳理】 1、位数：个位上的数字表示几个“1”，十位上的数字表示几个“10”，以此类推： 2、数的大小=个位数字+十位数字×10+百位数字×100+千位数字×1000+： 3、abc表示一个三位数：百位上是a,十位上是b,个位上是c。 【典例精析】 【例1】小马设计了一个11位数的电子邮箱密码，它由6个1和5个0组成，并且所有的0都 能被读出来。这个密码是： 第2页共11页 【变式训练】用5个0和3,8,9,2,6,7组成一个十一位数，要求所有的0都读出来，这 个数省略亿位后面的尾数约是308亿，组成的数最大是 【例2】一个三位自然数各位上的数字之和是9，且各位数字都不相同，满足条件的自然数有 个。 第3页共11页 【变式训练】一个自然数，各位上的数字之和是20，且各位上的数字都不相同。符合条件的 最大数是 ,最小数是 【例3】薇儿的笔记本电脑的开机密码是六位数，只知道这个密码的开头和结尾的数字分别 第4页共11页 是6和7，而且还知道这个六位数密码每相邻的三个数字之和是16，请问：薇儿的密码是 【变式训练】有一个六位数，个位上的数字是7，百位上的数字是2，任意相邻的三个数字和 是15，请问这个六位数是 【例4】有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回 文数”，比如1331、656、22都是回文数，将五位数中的回文数从小到大依次排列，排在第 12位的是（) A.11011 B.11111 C.12021 D.12121 第5页共11页 【变式训练】一个数从左往右读和从右往左读都相同，在数学上称为“回文数”，如99， 767等。现有鸡兔同笼，头数之和为P,脚数之和为Q,且兔头数量是鸡脚数量的5倍。若P 和Q均为1000以内的回文数，鸡有只，免有 只。 【例5】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数.如果原来的 两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 第6页共11页 【变式训练】一个两位数，其十位与个位上的数字交换后，所得的两位数比原来小36，则满 足条件的两位数共有 个. 【例6】一个六位数abcdef,如果乘3，则得到一个新的六位数bcdefa。求原来的六位数。 第7页共11页 【变式训练】一个六位数abcdef满足defabc=6×abcdef,试确定这个六位数abcdef的值，并写 出求解过程。 【例7】22025-22024的个位数字是 一。（注：2”表示n个2相乘） 第8页共11页 【变式训练】3214+415+52016的个位数字是.（注：d”表示m个a相乘） 【课后作业】 1.韩梅梅家的电话号码共7位，前三位数字一样，后四位数字也一样，把这些数字加起来， 所得的和正好等于左起第三、四位组成的两位数，这号码是() A.1119999 B.2228888 C.3337777 D.4446666 第9页共11页 2.六位数的各位数字之和为48，这样的六位数一共有 个。 3.两数之和是30，要使它们的积最大，这两个数分别是 和 4.一个九位数，它的千位上是3，十位上是6，而且任意相邻三个数位上的数字之和都是 17,这个九位数是 5.一个四位数2abc扩大到3倍后，变成了abc8,这个四位数是 第10页共11页 6.若三位数abc(其中a、b、c都是非零数字)满足ab>bc>ca,则称该三位数为“龙腾 数”，那么共有 个“龙腾数”. 第11页共11页 第2讲 数与位数 【课前热身】 1．从南京到北京的某列火车，中途要停靠7个大站。铁路公司要为这段铁路准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？（各站之间的路程不相同） 解：8+7+6+5+4+3+2+1＝36（种） 2．六个数字1、2、3、4、5、6组成的没有重复数字的六位数，从小到大排列起来，321456是第 　 　 个数。 解：最高位是1的六位数有：5×4×3×2×1＝120（个） 最高位是2的六位数有：5×4×3×2×1＝120（个） 前两位是31的六位数有：4×3×2×1＝24（个） 接下来最小的就是321456。 120+120+24+1＝265（个） 答：六个数字1、2、3、4、5、6组成的没有重复数字的六位数，从小到大排列起来，321456是第265个数。 3．如图所示，A，B，C，D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。如果要求相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 解：将染色这一过程分为依次给A，B，C，D染色四步。 先给A染色，因为有4种颜色，故有4种不同的染色方法； 第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下3种颜色可选择，故有3种不同的染色方法； 第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有2种不同的染色方法； 第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有2种不同的染色方法； 共有染色方法：4×3×2×2＝48（种） 答：共有48种不同的染色方法。 【学习目标】 1、进一步了解位数的意义； 2、学会根据题中的条件求不定解。 【知识梳理】 1、 位数：个位上的数字表示几个“1”，十位上的数字表示几个“10”，以此类推； 2、 数的大小=个位数字+十位数字×10+百位数字×100+千位数字×1000+……； 3、 表示一个三位数：百位上是a,十位上是b，个位上是c。 【典例精析】 【例1】小马设计了一个11位数的电子邮箱密码，它由6个1和5个0组成，并且所有的0都能被读出来。这个密码是：　 10101010101 　 。 解：个级十位上是0，千位上是0，万级十万位是是0，千万位上是0，亿级十亿位上是0，其余数位上都是1，这个数为：10101010101。 【变式训练】用5个0和3，8，9，2，6，7组成一个十一位数，要求所有的0都读出来，这个数省略亿位后面的尾数约是308亿，组成的数最大是 　 30809070602　 。 解：所有的0都读出来，这个数省略亿位后面的尾数约是308亿， 则该数最大为30809070602， 读作：三百零八亿零九百零七万零六百零二，符合题意。 答：组成的数最大是30809070602。 【例2】一个三位自然数各位上的数字之和是9，且各位数字都不相同，满足条件的自然数有 　 34 　 个。 解：9＝8+1+0，三位数为108，180、801、810，共计4个； 9＝7+2+0，三位数为207、270、702、720，共计4个； 9＝6+3+0，三位数为306、360、603、630，共计4个； 9＝5+4+0，三位数为405、450、504、540，共计4个； 9＝6+2+1，三位数为126、162、216、261、612、621，共计6个； 9＝5+3+1，三位数为135、153、315、351、513、531，共计6个； 9＝4+3+2，三位数为234、243、324、342、423、432，共计6个； 合计：4×4+6×3＝16+18＝34（个）。 【变式训练】一个自然数，各位上的数字之和是20，且各位上的数字都不相同。符合条件的最大数是 　 953210 　 ，最小数是 　 389 　 。 解：0+1+2+3+5+9＝20，所以符合条件的最大数是953210； 9+8+3＝20，所以符合条件的最小数是389。 【例3】薇儿的笔记本电脑的开机密码是六位数，只知道这个密码的开头和结尾的数字分别是6和7，而且还知道这个六位数密码每相邻的三个数字之和是16，请问：薇儿的密码是　 637637 　 ． 解：因为每相邻的三个数字之和是16， 所以密码的第二位和第三位的和是：16﹣6＝10， 则第四位是：16﹣10＝6， 因为第六位是7，所以第五位是：16﹣6﹣7＝3， 第三位是：16﹣6﹣3＝7， 第二位是：16﹣6﹣7＝3， 综上所述密码是：637637； 【变式训练】有一个六位数，个位上的数字是7，百位上的数字是2，任意相邻的三个数字和是15，请问这个六位数是　 　 ． 解：个位上的数字是7，百位上的数字是2， 所以十位上的数字为：15﹣7﹣2＝6， 根据任意相邻的三个数字和是15，由交替排列规律可得： 千位上的数字为7， 万位上的数字为6， 十万位上的数字为2， 所以这个六位数是：267267． 答：这个数是267267． 【例4】有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”，比如1331、656、22都是回文数，将五位数中的回文数从小到大依次排列，排在第12位的是（　B　） A．11011 B．11111 C．12021 D．12121 解：五位“回文数”从小到大依次是：10001，10101，10201，10301，10401，10501，10601，10701，10801，10901，11011，11111。 答：五位数中的回文数从小到大依次排列，排在第12位的是11111。 【变式训练】一个数从左往右读和从右往左读都相同，在数学上称为“回文数”，如99，767等。现有鸡兔同笼，头数之和为P，脚数之和为Q，且兔头数量是鸡脚数量的5倍。若P和Q均为1000以内的回文数，鸡有　 　 只，兔有　 　 只。 解：因为1只鸡2只脚，所以鸡的脚数＝鸡的只数×2，因为兔头数量是鸡脚数量的5倍， 所以兔的只数＝5×鸡的脚数，即兔的只数＝5×（鸡的只数×2）＝10×鸡的只数。 设鸡的只数为n（n为正整数），则兔的只数为10n， 头数之和P＝鸡的只数+兔的只数＝n+10n＝11n， 脚数之和Q＝鸡的总脚数+兔的总脚数＝（n×2）+（10n×4）＝2n+40n＝42n， 因为P和Q均为1000以内的回文数， 即P＝11n是回文数， 所以n＝1～9，11，22，33，…… 当n＝1时，P＝11n＝11×1＝11，Q＝42n＝42×1＝42，42非回文数，n≠1； 当n＝2时，P＝11n＝11×2＝2，Q＝42n＝42×2＝84，84非回文数，n≠2； 当n＝3时，P＝11n＝11×3＝33，Q＝42n＝42×3＝126，126非回文数，n≠3； 当n＝4时，P＝11n＝11×4＝44，Q＝42n＝42×4＝168，168非回文数，n≠4； 当n＝5时，P＝11n＝11×5＝55，Q＝42n＝42×5＝210，210非回文数，n≠5； 当n＝6时，P＝11n＝11×6＝66，Q＝42n＝42×6＝252，252是回文数，符合题意，n＝6。 即鸡的只数6只，兔的只数60只，符合题意。 答：笼子里有6只鸡和60只兔子。 【例5】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 解：设原来的两位数为，交换后的新的两位数为， 根据题意，10a+b﹣（10b+a）＝9（a﹣b）＝45， 所以a﹣b＝5，原两位数最大时，十位数字至多为9， 即a＝9，b＝4，原来的两位数中最大的是94． 【变式训练】一个两位数，其十位与个位上的数字交换后，所得的两位数比原来小36，则满足条件的两位数共有　 　 个． 解：设原两位数的十位数为x，个位数为y，由题意得： （10x+y）﹣（10y+x）＝36 10x+y﹣10y﹣x＝36 9x﹣9y＝36 x﹣y＝4 则y+4＝x， 因为x、y为小于10的正整数， 所以x＝9，8，7，6，5；对应的y＝5，4，3，2，1 所以10x+y＝95，84，73，62，51共有5个． 答：满足条件的两位数共有5个． 【例6】一个六位数，如果乘3，则得到一个新的六位数。求原来的六位数。 解：设为x，所以这个六位数是（100000a+x）。 （100000a+x）×3＝10x+a 300000a+3x＝10x+a 299999a＝7x x＝42857a 当a＝1时，x＝42857;当a＝2时，x＝85714;当a＝3时，x＝128571（超过5位，舍去） 所以原来这个六位数是142857或285714。 【变式训练】一个六位数满足，试确定这个六位数的值，并写出求解过程。 解：六位数乘6积是六位数，那么a＝1，1＜b≤5，当b＝5时，d＝9，d×6＝9×6＝54，54+7＝61，a＝1，e×6不等于70几，所以b≠5；当b＝4时，d＝8，8×6加进上的“3”等于51，积的百位上写“1”，向前一位进“5”，e×6等于30几，e＝5，那么f×6等于40几，f＝7，7×6＝42，c＝2。 142857。 【例7】22025﹣22024的个位数字是 　 　 。（注：2”表示n个2相乘） 解：由分析可知：2n个位数字按照“2、4、8、6”顺序重复排列， 2025÷4＝506……1， 则22025个位上数字是2，22024的个位数字是6， 所以22025﹣22024的个位数字是6。 【变式训练】32014+42015+52016的个位数字是　 　 ．（注：am表示m个a相乘） 解：根据分析，先求32014的个位数字，∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243， 显然3n个位数为3、9、7、1按周期4循环出现，而32014＝3503*4+2，∴32014的个位数字为9； 然后求42015的个位数字，∵41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024， 显然4n个位数为4、6按周期2循环出现，而42015＝41007×2+1，∴42015的个位数字为4； 最后求52016的个位数字，∵51＝5，52＝25，53＝125，54＝625， 显然5n个位数均为5，∴52016的个位数字为5， 32014+42015+52016的个位数字＝9+4+5＝18，故个位数字为：8 【课后作业】 1．韩梅梅家的电话号码共7位，前三位数字一样，后四位数字也一样，把这些数字加起来，所得的和正好等于左起第三、四位组成的两位数，这号码是（　C　） A．1119999 B．2228888 C．3337777 D．4446666 解：设前三位数字一样为x，后四位一样为y， 3x+4y＝10x+y 3y＝7x， y＝7， x＝3。 这号码是3337777。 2．六位数的各位数字之和为48，这样的六位数一共有 　 　 个。 解：11×10×9×8×7÷（5×4×3×2×1）＝462（个） 答：六位数的各位数字之和为48，这样的六位数一共有462个。 3．两数之和是30，要使它们的积最大，这两个数分别是　 　 和　 　 ． 解：30÷2＝15 乘积最大是15×15＝225，所以这两个数都是15． 4．一个九位数，它的千位上是3，十位上是6，而且任意相邻三个数位上的数字之和都是17，这个九位数是　 　 ． 解：百位上的数位是17﹣3﹣6＝8，个位千位上的数为17﹣8﹣6＝3，万位上的数位是17﹣3﹣8＝6，十万位的数是17﹣3﹣6＝8，那么后六位数字是863863，则其余三位数字也分别为8、6、3，这个九位数是863863863． 答：这个九位数是863863863． 5．一个四位数扩大到3倍后，变成了，这个四位数是　 　 ． 解：设abc是x，则有 3（2000+x）＝10x+8 6000+3x＝10x+8 5992＝7x x＝856 所以这个四位数是2856． 6．若三位数（其中a、b、c都是非零数字）满足，则称该三位数为“龙腾数”，那么共有　 　 个“龙腾数”． 解：根据分析，，则a≥b≥c，分三种情况： ①a＝b＞c时，有36个； ②a＞b＝c时，由可知，c＞a与题意矛盾，故不成立； ③a＞b＞c时，a、b、c可以取1～9之间不相等的数，有84个． 综上，共有：36+84＝120个“龙腾数”． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $