§1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义 - 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量研究直线、平面位置关系，系统梳理空间点的位置向量、直线方向向量、平面法向量的表示方法，构建从向量表示到线线、线面、面面平行与垂直判定的完整学习支架。 资料通过即学即练（如正方体方向向量练习）强化数学眼光中的几何直观，以“几何位置关系→向量量化判定”培养数学思维的推理能力，典例与跟练结合助力学生用数学语言精准表达空间关系，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 掌握空间中点、直线、平面的向量表示方法，理解方向向量、法向量的定义与几何意义 重点 2. 熟练运用空间向量判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 高频考点 3. 掌握空间向量判定线线、线面、面面垂直的判定公式与解题逻辑 重难点 4. 建立 “几何位置关系→向量量化判定” 的解题思维，熟练解决立体几何位置关系证明题 核心能力 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间点的向量表示 💡 知识梳理 · 在空间直角坐标系中，任意一点的位置可以由位置向量唯一确定，记位置向量，点的坐标与位置向量坐标完全一致. · 若，则，实现空间点与向量的一一对应. 知识点 2 空间直线的向量表示 💡 知识梳理 · 方向向量：与空间直线平行的非零向量，叫做直线的方向向量，一条直线有无数个方向向量，且全部互相平行. · 直线向量参数方程：已知直线过定点，位置向量为，方向向量为，则直线上任意一点的位置向量满足：. · 核心性质：直线的位置由定点和方向向量唯一确定. · 直线方向向量的求法：直线上任意两个不同的点，即可作为直线的一个方向向量. 📝 即学即练 在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，则： （1）直线的一个方向向量为___________ （2）直线的一个方向向量为 知识点 3 空间平面的向量表示 💡 知识梳理 · 平面向量基底：空间中一个平面可以由平面内两个不共线向量张成，平面内任意向量均可由这两个向量线性表示. · 平面法向量：垂直于平面的非零向量，记作，一个平面有无数个法向量，且全部互相平行. · 核心作用：法向量是判定平面平行、垂直，求解平面夹角的核心工具. · 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1) 设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z); (2) 选向量:在平面内选取两个不共线向量,; (3) 列方程组:由列出方程组; (4) 解方程组: (5) 赋非零值:取x,y,z其中一个为非零值(常取±1); (6) 得结论:得到平面的一个法向量. 📝 即学即练 （1）判断任意平面的法向量特征，下列说法正确的是（ ） A. 平面法向量唯一 B. 法向量与平面内任意向量垂直 C. 法向量可以为零向量 D.有些平面没有法向量 （2）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标． 知识点 4 线线平行的向量判定 💡 知识梳理 · 设两条直线的方向向量分别为，则两直线平行或重合的充要条件：，即，使得. · 补充：若两方向向量共线，且直线无公共点，则两直线平行；有公共点，则两直线重合. 知识点 5 线面平行的向量判定 💡 知识梳理 · 设直线方向向量为，平面法向量为，则直线与平面平行的充要条件：直线方向向量与平面法向量垂直，即，且直线不在平面内. · 核心逻辑：直线平行于平面直线垂直于平面的垂线（法向量）. 📝 即学即练 已知直线方向向量，平面法向量，判断直线与平面的位置关系. 知识点 6 线线垂直的向量判定 💡 知识梳理 · 设设两直线方向向量为，两直线垂直的充要条件：，无需考虑直线位置，向量垂直即可判定线线垂直. 📝 即学即练 直线方向向量，直线方向向量，证明两直线垂直. 知识点 7 线面垂直的向量判定 💡 知识梳理 · 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面垂直的充要条件：直线方向向量与平面法向量共线，即，使得. 核心逻辑：直线垂直于平面直线与平面垂线方向一致. 知识点 8 面面垂直的向量判定 💡 知识梳理 · 设两平面法向量为，两平面垂直的充要条件：法向量互相垂直，即. 📝 即学即练 平面法向量，平面法向量，判断两平面是否垂直. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是_________. 【跟练1】已知直线的方向向量，且过和两点，则________，________． 【典例2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【跟练2】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量. 【典例3】在长方体中，，，．点M在棱上，且，点S在上，且，点N，R分别为，BC的中点，求证：． 【跟练3】如图，在四面体ABCD中，平面平面，，，，E是BC的中点，F是线段AD上的任意一点，． 是否存在点F，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； 【典例4】在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证：平面EDB； 【跟练4】如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：平面． 【典例5】如图，长方体中，，， 求证：平面平面; 【跟练5】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【典例6】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 【跟练6】如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 核心基础：空间点依托位置向量表示，直线核心是方向向量，平面核心是法向量，所有位置关系均可通过两个向量量化判定. 2. 平行核心规律：线线、面面平行看向量共线；线面平行看向量垂直（方向向量⊥法向量）. 3. 垂直核心规律：线线、面面垂直看数量积为 0；线面垂直看向量共线（方向向量∥法向量）. 4. 解题通用步骤：建系求点坐标→求对应向量→代入平行 / 垂直向量公式→判定位置关系. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. 已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（    ） A． B． C． D． 2. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 3. 已知平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列选项中使得的是（    ） A． B． C． D． 4. （多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（    ） A．（2，1，3） B．（4，1，6） C． D． 5. （多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 6. 如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是______.（填序号） 7. 在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 8. 如图，在长方体中，E，M，N分别是BC，AE，的中点，，．求证：平面． 9. 如图，已知正三棱柱的各条棱长均为，点是棱的中点．求证：平面平面． 10. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是空间向量解决立体几何问题的核心基础，学生极易混淆线面、面面平行与垂直的向量判定条件，常出现 “线面平行记成向量共线、线面垂直记成数量积为 0” 的反向错误.同时容易忽略向量为零向量、直线在平面内等特殊易错点.后续教学需重点对比辨析六类位置关系的向量判定公式，多进行基础证明题训练，固化 “几何关系转向量运算” 的思维，为后续空间角度、距离计算奠定基础. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 掌握空间中点、直线、平面的向量表示方法，理解方向向量、法向量的定义与几何意义 重点 2. 熟练运用空间向量判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 高频考点 3. 掌握空间向量判定线线、线面、面面垂直的判定公式与解题逻辑 重难点 4. 建立 “几何位置关系→向量量化判定” 的解题思维，熟练解决立体几何位置关系证明题 核心能力 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间点的向量表示 💡 知识梳理 · 在空间直角坐标系中，任意一点的位置可以由位置向量唯一确定，记位置向量，点的坐标与位置向量坐标完全一致. · 若，则，实现空间点与向量的一一对应. 知识点 2 空间直线的向量表示 💡 知识梳理 · 方向向量：与空间直线平行的非零向量，叫做直线的方向向量，一条直线有无数个方向向量，且全部互相平行. · 直线向量参数方程：已知直线过定点，位置向量为，方向向量为，则直线上任意一点的位置向量满足：. · 核心性质：直线的位置由定点和方向向量唯一确定. · 直线方向向量的求法：直线上任意两个不同的点，即可作为直线的一个方向向量. 📝 即学即练 在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，则： （1）直线的一个方向向量为___________ （2）直线的一个方向向量为 【答案】， 【分析】求出点的坐标，即可求出直线的方向向量与平面的法向量. 【详解】依题意，，，，，，， 所以，所以直线的一个方向向量为 ，所以直线的一个方向向量为 知识点 3 空间平面的向量表示 💡 知识梳理 · 平面向量基底：空间中一个平面可以由平面内两个不共线向量张成，平面内任意向量均可由这两个向量线性表示. · 平面法向量：垂直于平面的非零向量，记作，一个平面有无数个法向量，且全部互相平行. · 核心作用：法向量是判定平面平行、垂直，求解平面夹角的核心工具. · 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1) 设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z); (2) 选向量:在平面内选取两个不共线向量,; (3) 列方程组:由列出方程组; (4) 解方程组: (5) 赋非零值:取x,y,z其中一个为非零值(常取±1); (6) 得结论:得到平面的一个法向量. 📝 即学即练 （1）判断任意平面的法向量特征，下列说法正确的是（ ） A. 平面法向量唯一 B. 法向量与平面内任意向量垂直 C. 法向量可以为零向量 D.有些平面没有法向量 【答案】B 【详解】平面法向量有无数个且互相平行，不可为零向量，且垂直于平面内所有向量. （2）已知，，，求平面ABC的一个法向量的坐标． 【答案】法向量为   【详解】由题设，，， 设面ABC的一个法向量 所以，令，所以.   知识点 4 线线平行的向量判定 💡 知识梳理 · 设两条直线的方向向量分别为，则两直线平行或重合的充要条件：，即，使得. · 补充：若两方向向量共线，且直线无公共点，则两直线平行；有公共点，则两直线重合. 知识点 5 线面平行的向量判定 💡 知识梳理 · 设直线方向向量为，平面法向量为，则直线与平面平行的充要条件：直线方向向量与平面法向量垂直，即，且直线不在平面内. · 核心逻辑：直线平行于平面直线垂直于平面的垂线（法向量）. 📝 即学即练 已知直线方向向量，平面法向量，判断直线与平面的位置关系. 【答案】直线与平面平行 【详解】，，直线不在平面内，故线面平行. 知识点 6 线线垂直的向量判定 💡 知识梳理 · 设设两直线方向向量为，两直线垂直的充要条件：，无需考虑直线位置，向量垂直即可判定线线垂直. 📝 即学即练 直线方向向量，直线方向向量，证明两直线垂直. 【答案】两直线垂直 【详解】，故，两直线垂直. 知识点 7 线面垂直的向量判定 💡 知识梳理 · 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面垂直的充要条件：直线方向向量与平面法向量共线，即，使得. 核心逻辑：直线垂直于平面直线与平面垂线方向一致. 知识点 8 面面垂直的向量判定 💡 知识梳理 · 设两平面法向量为，两平面垂直的充要条件：法向量互相垂直，即. 📝 即学即练 平面法向量，平面法向量，判断两平面是否垂直. 【答案】两平面垂直 【详解】，法向量垂直，故面面垂直. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是_________. 【答案】-1 【分析】根据两向量平行得到方程组，求出x的值. 【详解】由题意设，即， 即，解得. 【跟练1】已知直线的方向向量，且过和两点，则________，________． 【答案】 【分析】由已知可得出，列关于、的方程，进而可求得这两未知数的值. 【详解】因为， 由已知可得， 则，解得. 故答案为：；. 【典例2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 【跟练2】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【典例3】在长方体中，，，．点M在棱上，且，点S在上，且，点N，R分别为，BC的中点，求证：． 【详解】证明:如图D-1-8所示，建立空间直角坐标系Axyz， 图D-1-8 根据题意得，，，． ∴，，，∴． ∵，∴． 【跟练3】如图，在四面体ABCD中，平面平面，，，，E是BC的中点，F是线段AD上的任意一点，． 是否存在点F，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； 【详解】(1)不存在，证明如下： 取的中点，连接，因为所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面. 因为，，所以. 如图所示，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,,,, 又E是BC的中点，则， 设，则，， 由可知， 则，则， 所以， 若，则存在使得， 即 ， 所以，解得，，， 时点在平面上，与题干矛盾，故点不存在. 【典例4】在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证：平面EDB； 【详解】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接AC交BD于点G，连接EG， 可得，，，， 因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为，所以， 又因为，所以，所以． 而平面，且平面，所以平面． 【跟练4】如图，在正三棱柱中，是的中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】构建空间直角坐标系，设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，写出相关点坐标，求面的法向量、的坐标，判断、的位置关系，即可证结论. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为， 则，， 所以． 设面法向量为，则，令，则． 由于，因此，平面， 所以 ． 【典例5】如图，长方体中，，， 求证：平面平面; 【答案】证明见解析 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为 ，所以平面 平面. 【跟练5】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【典例6】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点， 以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz. 则， 可得， ∵ ∴，即AP⊥BC. （2）由（1）可得， ∵M是AP上一点，且AM＝3， ∴， 可得， 设平面BMC的法向量为，则， 令b＝1，则，即， 显然，故∥， ∴AM⊥平面BMC. 【跟练6】如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 核心基础：空间点依托位置向量表示，直线核心是方向向量，平面核心是法向量，所有位置关系均可通过两个向量量化判定. 2. 平行核心规律：线线、面面平行看向量共线；线面平行看向量垂直（方向向量⊥法向量）. 3. 垂直核心规律：线线、面面垂直看数量积为 0；线面垂直看向量共线（方向向量∥法向量）. 4. 解题通用步骤：建系求点坐标→求对应向量→代入平行 / 垂直向量公式→判定位置关系. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. 已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项. 【详解】解：因为两点，则， 又因为与向量平行，所以直线的方向向量是， 故选：D. 2. 在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 3. 已知平面的法向量为，直线的方向向量为，则下列选项中使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案. 【详解】若，则直线的方向向量垂直于平面， 所以与平面的法向量平行，显然只有选项C中满足. 故选：C 4. （多选）设，是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（    ） A．（2，1，3） B．（4，1，6） C． D． 【答案】AC 【分析】利用，是空间直线l上的两点，以及向量的坐标运算法则，即可求出空间直线l的方向向量.. 【详解】设点,，那么 ，即 为空间直线l的一个方向向量， 也是空间直线l的一个方向向量. 故选：AC 5. （多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 6. 如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是______.（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 7. 在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求得坐标，设出法向量，根据即可求解. 【详解】由题可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则平面的一个法向量为. 8. 如图，在长方体中，E，M，N分别是BC，AE，的中点，，．求证：平面．    【答案】 构建如下图示的空间直角坐标系，则是面的一个法向量， 且，而M，N分别是AE，的中点， 所以，则， 所以，即，故面，则平面.    【分析】构建空间直角坐标系求面的法向量，并求出坐标，应用向量坐标求，即可证结论. 【详解】略 9. 如图，已知正三棱柱的各条棱长均为，点是棱的中点．求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】在平面作，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，可得法向量的数量积为0从而得到答案. 【详解】如图，在平面作，可得，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 可得，即，令可得， 设平面的一个法向量为， 可得，即，令可得， 因为，所以，所以平面平面．    10. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是空间向量解决立体几何问题的核心基础，学生极易混淆线面、面面平行与垂直的向量判定条件，常出现 “线面平行记成向量共线、线面垂直记成数量积为 0” 的反向错误.同时容易忽略向量为零向量、直线在平面内等特殊易错点.后续教学需重点对比辨析六类位置关系的向量判定公式，多进行基础证明题训练，固化 “几何关系转向量运算” 的思维，为后续空间角度、距离计算奠定基础. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $