第三章 图形的相似（重难点单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦“图形的相似”单元，以《九章算术》古文题、钟楼测量等真实情境为载体，覆盖相似判定与性质、位似、黄金矩形等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形判定（第7题）、矩形相似（第4题）|结合剪纸操作（第1题）、古文数学（第3题）| |填空题|6/18|比例尺应用（第11题）、相似面积比（第16题）|方格纸格点相似（第13题）、折叠问题（第14题）| |解答题|8/72|黄金矩形证明（第20题）、动点综合（第24题）|角平分线结论推理（第21题）、测量实践建模（第22题）|

第三章 图形的相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 2．已知，则直线一定经过的象限是　　 A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】由于的符号不能确定，故进行分类讨论，当时，可利用等比性质求出k的值，当时，可将转化为，然后求出k，得到其解析式，进而判断出直线一定经过哪些象限． 【详解】当时， ， ， 此时，，经过第一、四、三象限； 当时，，此时，， 此时，经过第二、一、四象限． 综上所述，一定经过第一、四象限， 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系时，直线必经过一、三象限时，直线必经过二、四象限时，直线与y轴正半轴相交时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 3．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(      ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 【答案】D 【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案. 【详解】由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里， 过E作EG⊥AB于G，交CD于H， 则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里， ∵CD∥AB， ∴△ECH∽△EAG， ∴， ∴， ∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈， 故答案选D. 【点睛】本题考查的是相似三角形与实际问题，能够将实际问题转化成相似三角形的问题是解题的关键. 4．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为cm的纸条、上下同时剪去宽为cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】解：依题意，要使剩下的矩形与原来的矩形相似， 则 15（20-2y）=20(15-2x) 3（20-2y）=4(15-2x) 60-6y=60-8x -6y=-8x 3y=4x 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 5．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，求出，用P点移动的距离除以速度即可得出t的值． 【详解】解：如图，作的平分线交于点P，由图2知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或（舍）， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，解题的关键是证明． 6．如图，为中边上的一点，连接，将沿平移到的位置，和分别交边于点，．已知的面积为，阴影部分的面积为．若，则平移的距离的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键，由平移得的面积 的面积，，从而，再证明，，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵将沿平移到的位置， ∴的面积 的面积，， ∵阴影部分的面积为． ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴平移的距离的长为． 故选：B． 7．如下图：点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 【答案】D 【详解】A、∠ACP=∠B，因为∠A=∠A，所以△ACP∽△ABC，正确； B、∠APC=∠ACB，因为∠A=∠A，所以△ACP∽△ABC，正确； C、，因为∠A=∠A，所以△ACP∽△ABC，正确； ④，因为∠A=∠A，而PC和BC的夹角为∠C，所以不能判定△ACP∽△ABC，错误．故选D． 8．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 9．如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ④连接． 下列说法错误的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：，是的垂直平分线，从而可得，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，即可判断A、B，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，即可判断C，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，可得即可判断D． 【详解】解：，， ， 由题意得：，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ，故A正确； ， ， ， ，故B正确； ，， ， ， ，故C正确； 设，则， 解得：(负值舍去) 又∵ ∴，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰的性质，作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】作PE⊥BC于E，根据菱形的性质得到QE=EC，根据直角三角形的性质得到AB=6cm，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，解出x的值即可． 【详解】作PE⊥BC于E． ∵四边形PCRQ为菱形， ∴QE=EC=（3﹣t）． ∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3cm， ∴AB=6cm， ∴BP=6﹣2t． ∵PE⊥BC，∠ACB=90°， ∴PE∥AC， ∴，即， 解得：t=1． 故选C． . 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、菱形的性质及翻折变换的性质，灵活运用翻折变换的性质、找准对应边和对应角是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在比例尺为1∶100 000盐都旅游地图上，测得大纵湖旅游度假区与杨侍生态园的距离约为30cm，则大纵湖旅游度假区与杨侍生态园的实际距离约为 km． 【答案】30 【详解】设这两地实际距离为xcm， 根据题意得， 解得x=3000000(cm)， 即x=30(km). 答：这两地实际距离约为30km. 故答案为30. 点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线y=2x²的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）向上平移3个单位所得对应点的坐标，然后利用顶点式写出平移后抛物线的函数表达式. 12．如图，在中，CD，BE是的两条中线，则的值为____________． 【答案】 【分析】利用三角形的中位线的性质证明：再证明再利用相似三角形的性质可得答案. 【详解】解： CD，BE是的两条中线， 是的中位线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键. 13．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似, 写出所有符合条件的三角形 　 ． 【答案】△DP2P5，DP2P4，DP4P5 【分析】先利用勾股定理求出各边长，然后根据相似三角形的判定定理进行判断． 【详解】设网格的边长为1．则AC=，AB=，BC=． 连接DP2P5， DP5=，DP2=，P2P5=． ∵， ∴△ACB∽△DP5P2． 同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似． 14．如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，先由勾股定理得到，由折叠的性质可得，，设，则，再分当时，，当时，，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程讨论求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，， 设，则， ∵， ∴当时，， ∴，即 解得， ∴， ∵， ∴三点共线，即此时点F与点C重合， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 15．如图①，一个长和宽均为3、高为8的长方体容器放置在水平桌面上，容器里面盛有水，水面高为6．现将图①中的容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好接触到容器口边缘，则图②中水面高度为_________． 【答案】 【分析】设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由的比例线段求得结果即可． 【详解】解：过作于，如图所示， 设，则， 根据题意得 解得：， ∴ ∵， 由勾股定理得： ∵， ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、三角形的相似的性质，熟练掌握勾股定理、三角形的相似性质，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 16．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是S1=1，S2=4，S3=9，则△ABC的面积是___________    【答案】36 【分析】根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积． 【详解】解：过M作BC的平行线交AB、AC于D、E， 过M作AC的平行线交AB、BC于F、H， 过M作AB的平行线交AC、BC于I、G， 因为△1、△2、△3的面积比为1：4：9， 所以他们对应边边长的比为1：2：3， 因为DE//BC，FH//AC，GI//AB， 所以四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形， 所以DM=BG，EM=CH， 设DM为x，则ME=2x，GH=3x， 所以BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x， 所以BC：DM=6x：x=6：1， 因为DE//BC，FH//AC， 所以∠FDM=∠B∠DFM=∠A， 所以△ABC∽△FDM， 由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1， 所以S△ABC=36×S△FDM=36×1=36． 故答案为：36． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质．熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17、19、20、22题8分，18题6分，21题10分，23、24题12分） 17．（本题8分）如图，在矩形中，，点E是的中点．    (1)在上求作一点F，使得（尺规作图，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点D为圆心，为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于两点距离的一半画弧，两弧相交于一点，过这点与点D作直线交于点F即可． （2）设，则，，由勾股定理，得，再根据（１）知，所以，即，解得，所以，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所作，    由基本作图-过直线外一点作已知直线的垂线可知：， ∴ ∴ ∵矩形， ∴ ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵矩形 ∴，， ∵点E是的中点， 设，则， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 由（1）知， ∴，即 ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规基本作图-经过直线外一点作已知直线的垂线，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．熟练掌握尺规基本作图和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（本题6分）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上． 若点的坐标为，直接写出点和点的坐标； 若正方形的边长为，求点的坐标． 【答案】，； ． 【分析】（1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以即可得到C点坐标，然后利用正方形的性质写出A点坐标； （2）先利用位似的性质得到正方形ABCD的边长为2，再利用相似比求出OB，从而可得到C点坐标． 【详解】点坐标为，点坐标为；∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形， ∴正方形的边长为，则正方形的边长为，， ∴：，解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 19．（本题8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=5，AB=8，求的值． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 【分析】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，根据平行线的判定定理证明即可； （3）证明△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质定理列出比例式，解答即可． 【详解】（1）∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC=AC：AB， ∴AC2=AB•AD； （2）∵E为AB的中点，且∠ACB=90°， ∴CE=BE=AE， ∴∠EAC=∠ECA， ∵∠DAC=∠CAB， ∴∠DAC=∠ECA， ∴CE∥AD； （3）∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE=AF：CF， ∵CE=AB=， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，直角三角形斜边上的中线，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20．（本题8分）数学活动： 人们把宽与长的比是（或长与宽的比为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图1）等．下面给出两种得到黄金矩形的方案． (1)方案一：如图2，在矩形中，，连接对角线，以为圆心，长为半径画弧交延长线于点，过作交延长线于，请直接写出图中得到的黄金矩形是______； (2)方案二：如图3，已知正方形，以为边向外作矩形，为中点，连接．过作交延长线于点，当时，可猜想矩形是黄金矩形，请你证明这个猜想． 【答案】(1)矩形 (2) 矩形是黄金矩形，证明如下： 四边形是正方形， ，， 设， 为中点， ， 在中，， ，， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ， ， ， 矩形是黄金矩形． 【分析】（1）由，结合勾股定理可得，进而得到，即可求解； （2）由正方形的性质可得，，设，则，根据勾股定理求出，证明四边形是菱形，可得，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 矩形是黄金矩形， 故答案为：矩形； （2）略 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识． 21．（本题10分）一次数学综合实践活动中，聪明的小倩同学发现关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是三角形的角平分线，可以得到．小倩同学的证明思路是这样的：如图，过点C作，交的延长线与点E，通过三角形的相似可以证明．    (1)请根据小倩同学的思路，写出证明该结论的过程． (2)利用以上结论进行计算：在图1中，已知，则______． (3)在图3中，已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意知，，由，可得，，则，证明，则，； （2）由（1）可知，，即，计算求解即可； （3）如图3，将沿折叠得到，由题意知，，由折叠的性质可得，，，，则是的平分线，由，，，，可得三点共线，是直角三角形，由勾股定理得，由（1）可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴，即，解得， 故答案为：； （3）解：如图3，将沿折叠得到，    由题意知，， 由折叠的性质可得，，，， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线，是直角三角形， 由勾股定理得， 由（1）可得，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．（本题8分）承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 【答案】咸阳钟楼的高度米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，设，则，，证明，得出，即，求出x的值，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：根据题干可知：米，米，米，米，米， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， （米）， 答：咸阳钟楼的高度米． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点、，，以和为邻边作矩形，点是直线上一动点．    (1)求点的坐标； (2)连接，若平分，求出点的坐标； (3)若点是轴左侧任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点坐标或 【分析】（1）如图，根据直线交坐标轴于点，可得，，由：可得，则，根据矩形即可得点的坐标； （2）延长，，交于点，根据矩形的性质以及角平分线的性质可得，则，在中，由勾股定理可得 ，则，求出直线的解析式，即可求出点的坐标； （3）分为矩形的边和为矩形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，   直线交坐标轴于点，， ，， 故，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 点的坐标为； （2）延长，，交于点，    矩形中，， ． 平分， ， ， ， 在中，由勾股定理，得：， ， ， 设直线的解析式为，将的坐标代入得， 解得： 直线的解析式为 在上， 的横坐标为， 将代入直线的解析式中，得： （3）①为矩形的边时，如图，   四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 作轴于，    ，， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②为矩形的对角线时，如图，    同理可得：， ， ， 或， 的坐标为或， ，， 设， ，解得， 或，解得或， 点坐标为或． 点是纵轴轴左侧任意一点， 点坐标为或不合题意，舍去． 综上所述，点坐标或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识；第（3）问中，需要进行分类讨论，避免漏解是解题的关键． 24．（本题12分）已知：如图，在中，，，，点P从点B出发，沿向点C匀速运动，速度为1cm/s，过点P作，交于点D．同时，点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为2cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形ADPQ的面积为y（），试确定y与t的函数关系式． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若不存在，请说明理由；若存在，求出t值，并求出此时PQ的距离． 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形； (2)； (3)，． 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可； （2）过点P作，证明和，根据相似三角形的性质求出、，根据梯形的面积公式计算即可； （3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ，， 当时，四边形为平行四边形 ，即 解得： 答：当时，四边形为平行四边形． （2）解：如图，过点P作，垂足为E ， ，即 解得： ， ，即 解得： ． （3）解：否存在某一时刻t，使，则， 解得：（舍去）， 则当为2s时，，此时， 作于H，则， 则． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1/26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则直线一定经过的象限是　　 A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 3．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）(      ) A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 4．如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为cm的纸条、上下同时剪去宽为cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则与满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 5．如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为中边上的一点，连接，将沿平移到的位置，和分别交边于点，．已知的面积为，阴影部分的面积为．若，则平移的距离的长为（   ） A． B． C．2 D． 7．如下图：点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（ ） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 8．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 9．如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点； ③以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ④连接． 下列说法错误的是(    ) A． B． C． D． 10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（　　） A． B．2 C．1 D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在比例尺为1∶100 000盐都旅游地图上，测得大纵湖旅游度假区与杨侍生态园的距离约为30cm，则大纵湖旅游度假区与杨侍生态园的实际距离约为 km． 12．如图，在中，CD，BE是的两条中线，则的值为____________． 13．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似, 写出所有符合条件的三角形 　 ． 14．如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___． 15．如图①，一个长和宽均为3、高为8的长方体容器放置在水平桌面上，容器里面盛有水，水面高为6．现将图①中的容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好接触到容器口边缘，则图②中水面高度为_________． 16．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是S1=1，S2=4，S3=9，则△ABC的面积是___________    三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17、19、20、22题8分，18题6分，21题10分，23、24题12分） 17．（本题8分）如图，在矩形中，，点E是的中点．    (1)在上求作一点F，使得（尺规作图，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的值． 18．（本题6分）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上． 若点的坐标为，直接写出点和点的坐标； 若正方形的边长为，求点的坐标． 19．（本题8分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=5，AB=8，求的值． 20．（本题8分）数学活动： 人们把宽与长的比是（或长与宽的比为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图1）等．下面给出两种得到黄金矩形的方案． (1)方案一：如图2，在矩形中，，连接对角线，以为圆心，长为半径画弧交延长线于点，过作交延长线于，请直接写出图中得到的黄金矩形是______； (2)方案二：如图3，已知正方形，以为边向外作矩形，为中点，连接．过作交延长线于点，当时，可猜想矩形是黄金矩形，请你证明这个猜想． 21．（本题10分）一次数学综合实践活动中，聪明的小倩同学发现关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是三角形的角平分线，可以得到．小倩同学的证明思路是这样的：如图，过点C作，交的延长线与点E，通过三角形的相似可以证明．    (1)请根据小倩同学的思路，写出证明该结论的过程． (2)利用以上结论进行计算：在图1中，已知，则______． (3)在图3中，已知，求的长． 22．（本题8分）承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行3米到达处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，平平在处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和钟楼顶端在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点、，，以和为邻边作矩形，点是直线上一动点．    (1)求点的坐标； (2)连接，若平分，求出点的坐标； (3)若点是轴左侧任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）已知：如图，在中，，，，点P从点B出发，沿向点C匀速运动，速度为1cm/s，过点P作，交于点D．同时，点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为2cm/s．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形ADPQ的面积为y（），试确定y与t的函数关系式． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若不存在，请说明理由；若存在，求出t值，并求出此时PQ的距离． 1/8 学科网（北京）股份有限公司 $