第22章 相似形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 第二十二章相似形单元复习卷，覆盖比例式、相似三角形性质、位似图形等核心知识，通过基础题与实际应用题结合，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|比例式、相似三角形面积、黄金分割|如第2题考相似三角形面积比，第5题结合栏杆旋转情境，体现数学眼光| |填空题|4/20|比例中项、影长测量、位似坐标|第13题通过影长求旗杆高度，培养应用意识| |解答题|9/90|相似证明、位似作图、实际测量|第19题测量旗杆高度、23题矩形零件加工，体现数学语言表达现实世界；第18题证明相似，发展推理能力|

第二十二章 相似形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果=，那么ad=bc.即可得到答案. 【详解】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误； B、变成等积式是：3x＝2y，故错误； C、变成等积式是：2x＝3y，故正确； D、变成等积式是：3x＝2y，故错误. 故答案为：C. 2．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（　　） A．90 B．180 C．270 D．3600 【答案】A 【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可． 【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1， 故面积比为：9∶1， 设两个三角形的面积分别为9x，x， 则9x－x=80， 解得：x=10， 故较大三角形的面积为：9x=90． 故答案为：A． 3．将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个小矩形拼成一个大矩形，由面积关系可知：2ab=dc，再利用比例的性质将其转化为比例式，即可作出判断。 【详解】解：将两个小矩形拼成一个大矩形，由面积关系可知：2ab=dc，即 ，或 或 A，C，D不符合题意. 故答案为：B 4．如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到答案。 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ ，即 ， 解得：EC=2， ∴AC=AE+EC=4+2=6； 故答案为：D． 5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为点B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　) A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 【答案】C 【分析】先由对应角相等得出△AOB∽△COD，再由相似三角形性质：相似三角形对应边成比例列式计算即可. 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， ∵∠AOB=∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∵ AO=4m，AB=1.6m，CO=1m， ∴， ∴CD=0.4， ∴ 栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m； 故答案为：C. 6．如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出所有三角形的边长，然后根据三边对应成比例的三角形相似进行逐一判断即可. 【详解】解： 对于图①，三角形三边为 ，因为 所以图①的三角形与△ABC相似； 对于图②，三角形三边为 ，因为 所以图②的三角形与△ABC相似； 对于图③，三角形三边为 ，因为 所以图③的三角形与△ABC相似； 对于图④，三角形三边为 ，因为 所以图④的三角形与△ABC相似. 故答案为：D. 7．将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可. 【详解】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 故A正确，不符合题意； ∴△ADE∽△ACB∽△AMN， ∴BC=2DE， DE=2MN， ∴BC =4MN， ∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意； ∵MN∥PQ∥BC， 故C正确，不符合题意； ∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 故D错误，符合题意， 故答案为：D. 8．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；② ；③ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果． 【详解】∵∠DAE＝∠BAC， ∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意， 当 时， ∵∠B不一定等于∠AED， ∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意， 当 时，△ADE∽△ACB．故③符合题意， 综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③， 故答案为：C． 9．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质可得答案。 【详解】解：四边形和是以点O为位似中心的位似图形，， ， 四边形与四边形的面积比为：， 故答案为：A． 10．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC•BA C． D． 【答案】C 【分析】对于线段AB上一点C，若AC>BC，且AC2＝ABBC，则把点C叫线段AB的黄金分割点，且有. 【详解】解：黄金分割定义知，，所以AC2=AB． 设AB=1，AC=x， ， 解得：x=． ． 故选：C． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．若，则的值为　 　． 【答案】-2 【分析】根据可得，再将其代入计算即可。 【详解】解：∵ ∴，即， ∴． 故答案为：-2． 12．线段 =12cm， b=48cm，则 、 的比例中项c= 　 　cm． 【答案】24 【分析】根据比例中项的定义即可得出结果． 【详解】解：∵a=12cm，b=48cm，c2=ab， ∴c2=12×48=576， ∴c=24， 故答案为：24 13．某时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，此时某旗杆的影长为9m，则该旗杆的高度为　 　． 【答案】12m 【分析】先求出1.6：1.2=x：9，再求出x=12即可作答。 【详解】解：设该旗杆的高度为x m，根据题意得，1.6：1.2=x：9， 解得x=12． 即该旗杆的高度是12m． 故答案为：12m． 14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为　 　. 【答案】(2.5，3) 【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标. 【详解】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)， ∴A的坐标为：(2.5，3). 故答案为：(2.5，3). 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小． 【答案】x=12， ，α=83° 【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴ ，∠C=α，∠D=∠D′=140°． ∴x=12， ，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83° 16．如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度。 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。 【详解】解：∵OA=1，OB=2， ∴AB=3， ∵a∥b∥c， ∴ ， 即 ， ∴ ； ∴DE的长度是 ． 17．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点． （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（　 　，　 　），点C′的坐标为（　 　，　 　），S△A′B′C′：S△ABC=　 　． 【答案】（1）解：由图可得A(-2，0)，B(4，0)，C(2，4)，则A’(-1，0)，B’(2，0)，C’(1，2)， 如图所示：△A′B′C′即为所求； （2）﹣1；0；1；2；1：4 【分析】（1）利用△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2，进而将对应点坐标乘以二分之一即可得出答案； （2）利用所花的图形得出对应点坐标进而利用相似三角形的性质得出面积比。 【详解】解：（2）A′（﹣1，0），C′（1，2）， S△A′B′C′：S△ABC=1：4． 故答案为﹣1，0；1，2；1：4． 18.在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2）∵ ∴， 又 ∴． 19.在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高. 【答案】21.5米 【分析】设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图），由CE∥AB，可证△AGF∽△EHF.，即得，解出x的值即可. 【详解】解：设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）. 因为CE∥AB 所以△AGF∽△EHF. 因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3， 所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5. 由△AGF∽△EHF， 得 ， 即 ， 所以，x-1.5=20， 解得，x=21.5（米） 答：旗杆的高为21.5米. 20.如图，某数学学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别BC＝9.6m，EF＝2.4m.已知B，C，E，F点在同一直线上，且AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3.1m，求旗杆AB的高度. 【答案】12.4m 【分析】由题意可得AC∥DF，根据平行线的性质可得∠ACB＝∠DFE，由垂直的概念可得∠ABC＝∠DEF＝90°，证明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后根据相似三角形的性质进行计算. 【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝9.6m，EF＝2.4m. ∴AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴ ，即 ＝ ， 解得AB＝12.4， ∴旗杆的高度为12.4m. 故旗杆AB的高度为12.4m. 21.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，，MN交CD于点N． （1）求证：∽； （2）若，，求DN的长． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题考查相似三角形的综合，相似三角形的判定与性质. （1）先利用角的运算可推出：，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明∽； （2）根据∽ ，利用相似三角形的性质可得：，再将AB与BM的长度代入式子进行计算可求出DN的长度 【详解】解：（1）， ， ， ， ∽； （2）由（1）可知：∽， ， ，， ， ， ， ． 22.若矩形 ABCD 能通过某种方式分割成n 个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形 ABCD相似，则我们称矩形ABCD 可以自相似n 分割.已知AB=1，BC=x(x≥1). （1）如图①，若矩形ABCD 可以自相似2分割，请在图①中画出一种分割草图，并求出x的值. （2）如图②③，若矩形 ABCD 可以自相似3分割，请在图②③中画出两种不同分割的草图，并求出相应的x的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可； (2)第一种方法是把矩形三等分即可自相似3分割，第二种方法是先纵向分割出一个小矩形，再将其中一个小矩形横向二等分也可以得到矩形自相似3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解. 【详解】（1）解：如图①， ∵矩形ABCD 可以自相似2分割， 根据相似矩形对应边成比例，可得 即 解得 (负值舍去). （2）解：如图②，EF，GH 三等分矩形ABCD，则 即 解得 (负值舍去).如图③，G 为AB 的中点，则 解得 (负值舍去). 23.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长． 【答案】矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为 cm，宽为 cm 【分析】先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”证得△APQ∽△ABC，即可得到，再分两种情况①若PQ为长，PN为宽与②PN为6，PQ为宽，求得k的值即可求得矩形的长与宽. 【详解】解：∵四边形PQMN是矩形， ∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴ ， 由于矩形长与宽的比为3：2， ∴分两种情况： ①若PQ为长，PN为宽， 设PQ=3k，PN=2k， 则 ， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN为6，PQ为宽， 设PN=3k，PQ=2k， 则 ， 解得：k= ， ∴PN= cm，PQ= cm； 综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为 cm，宽为 cm． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 相似形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（　　） A．90 B．180 C．270 D．3600 3．将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为点B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　) A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m 6．如图，网格中有一个△ABC，下图中与△ABC相似的三角形的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；② ；③ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（　　） A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3 10．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC•BA C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．若，则的值为　 　． 12．线段 =12cm， b=48cm，则 、 的比例中项c= 　 　cm． 13．某时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，此时某旗杆的影长为9m，则该旗杆的高度为　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为　 　. 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小． 16．如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A、B、C和点D、E、F，已知OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求DE的长度。 17．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点． （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（　 　，　 　），点C′的坐标为（　 　，　 　），S△A′B′C′：S△ABC=　 　． 18.在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 19.在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高. 20.如图，某数学学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别BC＝9.6m，EF＝2.4m.已知B，C，E，F点在同一直线上，且AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3.1m，求旗杆AB的高度. 21.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，，MN交CD于点N． （1）求证：∽； （2）若，，求DN的长． 22.若矩形 ABCD 能通过某种方式分割成n 个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形 ABCD相似，则我们称矩形ABCD 可以自相似n 分割.已知AB=1，BC=x(x≥1). （1）如图①，若矩形ABCD 可以自相似2分割，请在图①中画出一种分割草图，并求出x的值. （2）如图②③，若矩形 ABCD 可以自相似3分割，请在图②③中画出两种不同分割的草图，并求出相应的x的值. 23.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 相似形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D C D D C A C 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． -2 12． 24 13． 12m 14． (2.5，3) 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】x=12， ，α=83° 【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴ ，∠C=α，∠D=∠D′=140°． ∴x=12， ，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83° 16．【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入计算即可。 【详解】解：∵OA=1，OB=2， ∴AB=3， ∵a∥b∥c， ∴ ， 即 ， ∴ ； ∴DE的长度是 ． 17．【答案】（1）解：由图可得A(-2，0)，B(4，0)，C(2，4)，则A’(-1，0)，B’(2，0)，C’(1，2)， 如图所示：△A′B′C′即为所求； （2）﹣1；0；1；2；1：4 【分析】（1）利用△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2，进而将对应点坐标乘以二分之一即可得出答案； （2）利用所花的图形得出对应点坐标进而利用相似三角形的性质得出面积比。 【详解】解：（2）A′（﹣1，0），C′（1，2）， S△A′B′C′：S△ABC=1：4． 故答案为﹣1，0；1，2；1：4． 18.【答案】（1）见解析 （2） 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2）∵ ∴， 又 ∴． 19.【答案】21.5米 【分析】设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图），由CE∥AB，可证△AGF∽△EHF.，即得，解出x的值即可. 【详解】解：设旗杆高AB=x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）. 因为CE∥AB 所以△AGF∽△EHF. 因为，FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3， 所以，EH=3.5-1.5=2，AG=x-1.5. 由△AGF∽△EHF， 得 ， 即 ， 所以，x-1.5=20， 解得，x=21.5（米） 答：旗杆的高为21.5米. 20.【答案】12.4m 【分析】由题意可得AC∥DF，根据平行线的性质可得∠ACB＝∠DFE，由垂直的概念可得∠ABC＝∠DEF＝90°，证明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后根据相似三角形的性质进行计算. 【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝9.6m，EF＝2.4m. ∴AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵AB⊥BC，DE⊥EF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴ ，即 ＝ ， 解得AB＝12.4， ∴旗杆的高度为12.4m. 故旗杆AB的高度为12.4m. 21.【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题考查相似三角形的综合，相似三角形的判定与性质. （1）先利用角的运算可推出：，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明∽； （2）根据∽ ，利用相似三角形的性质可得：，再将AB与BM的长度代入式子进行计算可求出DN的长度 【详解】解：（1）， ， ， ， ∽； （2）由（1）可知：∽， ， ，， ， ， ， ． 22.【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可； (2)第一种方法是把矩形三等分即可自相似3分割，第二种方法是先纵向分割出一个小矩形，再将其中一个小矩形横向二等分也可以得到矩形自相似3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解. 【详解】（1）解：如图①， ∵矩形ABCD 可以自相似2分割， 根据相似矩形对应边成比例，可得 即 解得 (负值舍去). （2）解：如图②，EF，GH 三等分矩形ABCD，则 即 解得 (负值舍去).如图③，G 为AB 的中点，则 解得 (负值舍去). 23.【答案】矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为 cm，宽为 cm 【分析】先利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”证得△APQ∽△ABC，即可得到，再分两种情况①若PQ为长，PN为宽与②PN为6，PQ为宽，求得k的值即可求得矩形的长与宽. 【详解】解：∵四边形PQMN是矩形， ∴BC∥PQ， ∴△APQ∽△ABC， ∴ ， 由于矩形长与宽的比为3：2， ∴分两种情况： ①若PQ为长，PN为宽， 设PQ=3k，PN=2k， 则 ， 解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN为6，PQ为宽， 设PN=3k，PQ=2k， 则 ， 解得：k= ， ∴PN= cm，PQ= cm； 综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为 cm，宽为 cm． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $