第二章 一元二次方程（重难点单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定义、解法、应用等核心知识，融合机器人运动、盈利计算等真实情境，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、公式法/配方法、根的判别式|基础巩固，如第9题机器人教学情境| |填空题|6/18|韦达定理、动点面积、新定义运算|能力提升，如第15题新运算“⊕”| |解答题|8/72|方程求解、几何应用（平行四边形）、实际问题（花圃面积）|创新应用，如23题配方法探究“完美数”|

第二章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．方程含有分式，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程，不符合题意； B．中未规定，若，方程不是一元二次方程，不符合题意； C．原方程展开整理，得，满足一元二次方程的全部条件，因此是一元二次方程，符合题意； D．方程含有多个未知数，不是一元方程，因此不是一元二次方程，不符合题意． 2．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】将原方程整理为一般形式，找出对应的二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：原方程为， 移项整理为一般形式得， 可得二次项系数，一次项系数，常数项 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 4．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 5．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 6．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 7．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 8．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤完成移项和配方后，和要求的形式对比即可得到，的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 对左边配方，一次项系数的一半为，两边同时加得： ， 整理得：， ∴，． 9．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据传播模型，初始1人会做，第一节课后增加x人，第二节课后每个会做的人教会x人，总人数为． 【详解】解：初始会做人数为1， 第一节课后，会做人数变为， 第二节课，新教会人数为， ∴会做的总人数为． 故选：B． 10．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 12．已知是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 13．如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可． 【详解】解：，， 当运动时间为时，， ，， 根据题意可得， 即， 整理得：， 解得（舍去）， 所以经过，的面积是． 故答案为：1． 14．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 【答案】， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 15．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 16．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17、18、20、22题8分，19题6分，21题10分，23、24题12分） 17．（本题8分）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）， ， 或， 解得，． 18．（本题8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【答案】（1）证明：∵， ∴无论m取什么数，方程总有两个实数根； （2），2；（3）10 【分析】（1）利用方程根的判别式求出△=进而得出答案； （2）利用菱形的性质得出，由两个根相等得出及一元二次方程的解法得出答案； （3）将AB＝3代入方程解得m＝2，进而得出x的值． 【详解】（1） 略 （2）解：∵是菱形， ∴， ∴当时， 即时，是菱形， 把代入已知方程可得：， 解得：； ∴这时菱形的边长为：2； （3）∵， ∴， 解得：， 把代入已知方程，可得：， 解得：，， ∴的周长是：． 【点睛】考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出m的值是解题关键． 19．（本题6分）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)每箱桃子应降价元 (2) 解：平均每天销售桃子盈利不能达到元；理由如下： 设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元， 故， 整理得， ∵， 故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量，列出方程求解即可； （2）设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元，根据总利润单箱利润销售量，列出方程，根据一元二次方程根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元， 故， 解得，， ∵要尽量减少库存， 故选择降价更多的，即每箱桃子应降价元， （2）略 20．（本题8分）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 21．（本题10分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）方程的解是，______，_______； （2）用“转化”思想求方程的解； （3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）或． 【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可； （2）由可得且x＞0，然后解出x即可； （3）设，则，然后根据勾股定理求得PB和PC，然后再根据列方程求出x即可． 【详解】解：（1）， ． ， 则或或， 解得：、、． 故答案为：；； （2）， ，即， ， 则或， 解得：，， 又∵， ∴； （3）设，则， ，， ，， ， ， 两边平方，整理可得： 再两边平方，整理可得：， 解得、， 则的长为或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键． 22．（本题8分）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形．所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长AB为x米． (1)当花圃的面积为144平方米时，求此时AB的长； (2)修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为150平方米，求此时AB的长度． 【答案】(1)AB的长米． (2)AB的长米． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长AB为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可； （2）设垂直于墙的一边长AB为x米．则米，再利用面积公式建立方程即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长AB为x米．则米， ∴ 整理得： 即 解得： 当时， 不合题意舍去， ∴ 此时AB的长米． （2）设垂直于墙的一边长AB为x米．则米， ∴ 整理得： 解得： 当时， 不合题意舍去， ∴ 此时AB的长米． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“利用图形的面积公式建立一元二次方程”是解本题的关键． 23．（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）2025 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 24．（本题12分）如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 【答案】(1)厘米，厘米，厘米，厘米 (2)或 (3)平方厘米， 结论：在、运动过程中，四边形的面积始终保持不变，为平方厘米，且等于矩形面积的一半 【分析】（1）根据“路程速度时间”及线段之间的和差关系即可直接得出答案； （2）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可求出的值； （3）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得（平方厘米），（平方厘米），由于（平方厘米），根据可得（平方厘米），于是可得结论． 【详解】（1）解：根据“路程速度时间”，点的速度是1厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 点的速度是2厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 故答案为：厘米，厘米，厘米，厘米； （2）解：四边形是矩形， ， ， ，，， ， 整理，得：， ， 或， 解得：，， 答：当或时，的面积为8； （3）解：四边形是矩形， ， （平方厘米）， （平方厘米）， 又（平方厘米）， （平方厘米）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用（动态几何问题），因式分解法解一元二次方程，三角形的面积公式，列代数式，整式加减的应用，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 1/15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．下列方程中，是一元二次方程的有（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 5．一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 7．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 8．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 9．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 12．已知是一元二次方程的两个根，则________． 13．如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过_______秒，的面积是 ？ 14．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 15．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 16．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值______． 三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17、18、20、22题8分，19题6分，21题10分，23、24题12分） 17．（本题8分）解方程： (1) (2)． 18．（本题8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程的两个实数根． （1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根 （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 19．（本题6分）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． (1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ (2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 20．（本题8分）定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 21．（本题10分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）方程的解是，______，_______； （2）用“转化”思想求方程的解； （3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长． 22．（本题8分）某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙长20米），另外三边用篱笆围成如图所示的图形．所用的篱笆长为36米，设垂直于墙的一边长AB为x米． (1)当花圃的面积为144平方米时，求此时AB的长； (2)修改（1）的方案，篱笆材料的平行于墙一边留出1米用其他材料做的门，新围成的花圃的面积为150平方米，求此时AB的长度． 23．（本题12分）配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 24．（本题12分）如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 1/4 学科网（北京）股份有限公司 $