第2章 一元二次方程 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

FFE-b00-0 第二章学情评估 评估内容：一元二次方程 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（每小题4分，共40分）》 进 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x2-3x十7=x B.3x2-2y2+4=0 C.2x2+3=7 D.3x2=0 2.将一元二次方程x2一2x一5=0化成(x十a)2=b的形式， 正确的是 A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9 数 密 3.方程(x一2)2=3(x一2)的解是 A.x=5 B.x1=5,x2=2 C.x1=1,x2=2 D.x=2 4.若关于x的一元二次方程x2十x一k=0有两个实数根，则 如 的取值范围是 () 封 A.k> 1 &公~ C长-司 D长- 5.我们知道方程x2+2x一3=0的解为x1=1,x2=一3，则方 程(x+1)2+2(x+1)一3=0的解为 A.x1=1,x2=-3 B.x1=0,x2=-4 线 C.x1=-1,x2=3 D.x1=0,x2=4 6.(中考·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》 中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多 阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只 知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个 矩形的宽为x步，根据题意可列方程为 ( 进 A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2「x+(x+60)]=864 7.关于x的方程x2一2mx十m2一m=0有两个实数根a,3,且 +g=3,则m的值为 串串串 A.1 B.5 C.0或5 D.1或5 8.“房子是用来住的，不是用来炒的”.某市2月份房屋成交量 比1月份降低了12%，3月份比2月份降低7%，若这两个 月房屋成交量平均降低率为x,则x满足的关系是() A.12%一7%=x B.(1一12%)(1一7%)=2(1一x) C.12%-7%=2x2 D.(1-12%)(1-7%)=(1-x)2 9.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循 环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八 年级班级的个数为 () A.5 B.6 C.7 D.8 10.如图①，在矩形ABCD中，AB>AD,对角线AC,BD相交 于点O,动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的 运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图 象如图②所示，则AB边的长为 ( D 0 10x 图① 图② A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.若关于x的方程(a-2)x-2+2x=0是一元二次方程，则 a= 12.已知代数式2x(x+1)与代数式3x一3的值互为相反数， 则x的值为 13.(黄冈月考)小明在与DeepSeek对话中输入如下的文字： “有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的4倍后 再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验 证，DeepSeek给出的这个数应该是 14.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 x2一6x十4=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的 长是 15.已知m,n是两个不相等的实数，且满足等式m2-2m一1=0， n2-2m-1=0,则m2+n2-3mm十2023的值是 一探究在线·九年级数学（上）·BS 三、解答题（共8题，共90分） 16.(本题满分12分)用指定的方法解下列方程： (1)x2一2x=2x十1（配方法）； (2)2(x-4)2=x2-16(因式分解法)； (3)x2+3x+1=0(公式法). 17.(本题满分8分)已知A,B是两个整式，A=3a2一a十1， B=2a2+a-2. 尝试当a=0时，A=,B= 当a=2时，A=,B=、 猜测嘉淇猜测：无论α为何值，A>B始终成立. 验证请证明嘉淇猜测的结论， 03 18.（本题满分10分)已知关于x的一元二次方程x2一4mx十 3m2=0. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为2，求m的值. 19.(本题满分10分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本 和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐 年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设 可变成本平均每年增长的百分率为x. (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元； (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可 变成本平均每年增长的百分率。 20.(本题满分12分)解方程：x2-|x一2=0. 解：当x≥0时，原方程化为x2一x一2=0， 解得x1=2,x2=一1（不合题意，舍去）. 当x<0时，原方程化为x2十x一2=0， 解得 综上，原方程的根是 请参照例题解方程：x2一x一3一3=0. 04 21.(本题满分12分)（德阳月考）定义：方程x2十bx+a=0 是一元二次方程ax2+bx十c=0的倒方程，其中a,b,c均 不为0.请根据此定义解决下列问题： (1)方程一12x2-x+1=0的倒方程是 (2)若x=5是x2一3x十c=0的倒方程的解，求出c的值； (3)若m,n是一元二次方程x2一5x一1=0的倒方程的两 个不相等的实数根，求代数式2n2一mn一10m的值. 22.(本题满分12分)某商店以每件50元的价格购进若干件 衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月 为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价 处理，经市场调查， ,如何定价，才能使以后每个月的利润达 到7920元？ 解：设… 根据题意，得(80-50-x)(200+×40)=7920, 根据上面所列方程，完成下列任务： (1)数学问题中横线处短缺的条件是 (2)所列方程中未知数x的实际意义是 一探究在线·九年级数学（上）·BS (3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程. 23.(本题满分14分)某农场要建一个饲养场（矩形ABCD), 两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27m,AB位置 的墙最大可用长度为15m),另两边用木栏围成，中间也 用木栏隔开，分成两个场地及一处1m宽(EF的长)的通 道，并在如图所示的两处各留1m宽的门（不用木栏）.建 成后木栏总长45m. (1)若饲养场（矩形ABCD)的一边CD长为8m,则另一边 BC=m; (2)若饲养场（矩形ABCD)的面积为180m,求边CD的长； (3)饲养场的面积能达到210m2吗？若能达到，求出边 CD的长；若不能达到，请说明理由. D HG面积最大，最大值为1.5m2. 又PE=AB=4cm, 第一章学情评估 ∴.在Rt△PQE中，PQ=√42+4④ 1.B2.D3.B4.B5.B6.B7.C8.A9.A =4√2(cm). 10.C11.AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等 (2)设当运动时间为t秒时，PQ⊥AC. 12.75°13.(4,4)14.2015.矩形 点P,Q的速度都是1cm/s,∴.PD=BQ. 16..'AB=CD,AD=BC, 在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC, .四边形ABCD是平行四边形 AP=QC,.四边形AQCP为平行四边形. ..OA-OC,OB-OD. ∴当AP=PC时，四边形AQCP为菱形，即PQ⊥AC. .OA=OD,∴.OA=OB=OC=OD,即AC=BD. 在Rt△PCD中，PD+DC=PC, .四边形ABCD是矩形 t2+42=(8-t)2,.t=3. 17.(1)CDAD 答：当运动时间为3秒时，PQ⊥AC (2)证明：四边形ABCD是矩形， 23.【阅读理解】 ∴.AD∥BC,AB=CD,AD=BC. 相等.在△ABC和△DBC中，分别作 .AB-BE,EF-AD,CF-CD, AE⊥l2,DF⊥l2,垂足分别为E,F ∴BE=CF,EF=BC, ∠AEF=∠DFC=90°，.AE∥DF. ∴.四边形BEFC是平行四边形， l1∥2， .EF∥BC..AD∥BC,.EF∥AD 图0 .四边形AEFD是平行四边形，，AE 18.(1)证明：：四边形ABCD为正方形， =DF. .BC=DC,∠BCD=∠DCF=9O°， 又.CE=CF.∴.△BEC≌△DFC. 又SaAc=号BC·AE,SaC=号BC·DP, (2)由(1)知，△BEC≌△DFC, '.S△ABC=SADBC. ∴.∠BEC=∠DFC=60°，EC=FC, 【类比探究】 ∴.在Rt△CEF中，∠CEF=∠EFC=45°. 在正方形ABCD中，∠ADC=90°， .∠EFD=∠DFC-∠EFC=60°-45°=15. ∴.EF∥AD,.S△ADE=S△DF, 19.(1)证明：：E是AD的中点，AE=DE. DF∥AC,∠OAD=∠ADF, CE-DE.EFLCD,DF-CD, ,∠AEO=∠DEF,.△AOE≌△DFE(ASA). ,在正方形ABCD中，AD=CD=4, (2)四边形AODF为矩形 理由：，△AOE≌△DFE,AO=DF, ∴SauE=Sam=2 ADX DF=-合X4X2=4, :DF∥AC,四边形AODF为平行四边形， 【拓展应用】 ·四边形ABCD为菱形，∴.AC⊥BD,即∠AOD=90°， S△BDF=8. .平行四边形AODF为矩形， 第二章学情评估 20.(1)△EFG是等腰三角形.理由如下： 1.D2.B3.B4.B5.B6.A7.B8.D9.B10.D FG∥CD,∴.∠FGE=∠CEB. 1.-212.-3或2 13.1或414.2√715.2032 △BFE由△BCE折叠得到， ∴.∠CEB=∠FEG. 16.(1)x1=2+√5，x2=2-√5. ∴∠FGE=∠FEG,则FG=FE. (2)x1=4,x2=12. ∴.△EFG是等腰三角形. (3)x1=-3+5 w=二3-6 (2)△BFE由△BCE折叠得到， 2 2 .BF=BC=AD=10. 17.1-2118 AB=6,.AF=8,FD=2, 验证： 在Rt△DEF中，EF=DE2+FD2,EF=EC=6一DE. A-B=3a2-a+1-2a2-a+2=a2-2a+3=(a-1)2 .DE=8 +2, 3 而(a-1)2≥0，则(a-1)2+2≥2， m=×号×2=号 .A-B≥2>0，即A>B. 嘉淇猜测成立. 21.(1)四边形ABCD是平行四边形， 18.(1)证明：由题意，得a=1,b=一4m,c=3m2, .A0=C0. ,∴.△=b2-4ac=16m2-4X1×3m2=4m2, △ACE是等边三角形，∴.EO⊥AC m2≥0，.△=4m2≥0，.该方程总有两个实数根. ∴BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形. (2)设关于x的一元二次方程x2一4mx十3m2=0的两实 (2):△ACE是等边三角形，且EOLAC, 数根为x1,x2,则有x1十x2=4m,x1x2=3m2, .1 ∠AED=z∠AEC=30°， |x1-x2|=2, .(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2=16m2-12m2=4, ∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°， 解得m=士1..m>0,.m=1. .∠ADO=∠AED+∠EAD=45°. 19.(1)2.6(1+x)2 ·四边形ABCD是菱形，∴.DO平分∠ADC, (2)由题意，得4+2.6(1+x)2=7.146, 则∠ADC=2∠ADO=90°. 解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）. .四边形ABCD是正方形. 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%. 22.(1)过点P作PE⊥BC于点E,当运动时间为2s时，PD 20.1=-2,x2=1(不合题意，舍去)x1=2,x2=-2 =BQ=2 cm, 当x≥3时，原方程化为x2一x=0, .QE=8-2-2=4(cm), 解得x1=0,x2=1(均不合题意，舍去) 30 一探究在线·九年 当x<3时，原方程化为x2十x一6=0， ..AD-GF-HC-16,BH-BC-HC-5. 解得1=2，x2=-3. :EG∥BH,∴.△AEG∽△ABH. .原方程的根为1=2，x2=一3. AE EG 21.(1)x2-x-12=0; AB BH (2)由题意，得方程x2一3x十c=0的倒方程为cx2-3x十 AE:EB=3:2,AE:AB=3:5. 1=0, ∴.EG=3,EF=EG+GF=3+16=19: 把x=5代入方程cx2-3x十1=0，得25c-15+1=0, 20.(1)图略，M(-1,1). 14 (2)位似比为1：2 :.c=25 (3)图略，P'(-2a,2b). (3)由题意，得方程x2一5x一1=0的倒方程为一x2一5x 21.(1)设DB=xm, 十1=0， m,n是方程-x2一5x十1=0的两个不相等的实数根， AB/CD,部8 .m+n=-5,mn=-1,-n2-5n+1=0. 同理，可相祭器， ∴.n2=1-5n. ∴.2n2-mn-10m=2(n2-5m)-mn=2(1-5n-5m) CD=EF器3. mn=2[1-5(n+m)]-mn=2×[1-5×(-5)]-(-1) 4 5 =53. 六z+427-z-5…x=12. 22.(1)单价每降低2元时，月销售量可增加40件 即小明距离路灯CD有12m. (2)单价降低了x元 2)品-器相品产 4 (3)设每件衬衫降价x元，则根据题意，得 (80-50-x)(200+×40）=7920, ∴.CD=6.即路灯高6m 22.过点P作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于 整理，得x2-20x十96=0， 点R. 解得x1=8,x2=12. ,∠QPE+∠EPR=∠RPF+∠EPR 又要让顾客得到更大的实惠，x=12, =90°，∴.∠QPE=∠RPF, .80-x=80-12=68(元). 答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到 R△QPER:/RPF,祭贤器-2 7920元 又：PQ∥BC,.△AQP∽△ABC, 23.(1)24 (2)设CD=x(0<x≤15)m,则BC=45-x-2(x-1)+ 8--脚即品8- QP BC 2BQ4…BQ2’ 1=(48一3x)m,依题意，得 8船是Ap-gac-g×V厚-8 x(48-3x)=180,解得x1=6,x2=10. 23.(1)△ADQ△EPD.证明如下： 当x=6时，48-3.x=48-3×6=30(m),30>27,不合题 'PE⊥DQ,∴∠DEP=∠A=90°， 意，舍去； 四边形ABCD为正方形，∴.DC∥AB 当x=10时，48-3x=48-3×10=18(m),符合题意. .∠PDE=∠DQA,.△ADQc∽△EPD 答：边CD的长为10m (2),AB=4,点Q为AB的中点，∴AQ=BQ=2, (3)不能.理由如下： .DQ=√AD+AQ=42+22=2√5， 设CD=y(0<y≤15)m,依题意，得 :∠PEQ=∠A=90°， y(48一3y)=210,整理，得y2一16y十70=0. .若以点P,E,Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两 .△=(-16)2-4×1×70=256-280=-24<0， 种情况， 该方程没有实数根。 ∴.饲养场的面积不能达到210m2. ①当△ADQ△EPQ时，铝-器-2， 第三章学情评估 设EQ=x,则PE=2x,DE=2√5-x, 1.D2.D3.B4.B5.A6.B7.A8.D9.D10.C 由(1)知，△ADQc∽△EPD, 1.8 12.113.(2,-6)14.①②③15.√85 器铝华-兰 2 16.(1)AD=9 (2)CAABP=9. ∴.DE=√5，DP=√(2√5)2+(W5)2=5; 17.点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点， ②当△ADQ∽△EQP时，设EQ=2a,则PE=a, ∴.DE,DF,EF是△ABC的中位线. 器-器-器= 同理，可得25.20-号-日 a .△ABCc∽△FDE. a=号5，∴DE-25-8y5=25 5 18.(1)相似.理由：由AD∥BC,得∠ADB=∠DBC, 又BD⊥DC,.∠A=∠BDC, DP-/DP-V(2g）'+(g=2 ∴.△ABD∽△DCB. 综上所述，DP的长为2或5时，以点P,E,Q为顶点的三 (2②由△ABD△DCB,得品認， 角形与△ADQ相似. 期中学情评估 .BD=AD·BC=4×9=36,.BD=6. 1.B2.C3.C4.B5.D6.C7.B8.C9.C10.B 19.过点A作AH∥DC交EF于点G,交BC于点H. .AD∥EF∥BC, 1.22+x-1=012.613.号14.号15.116.号 级数学（上）·BS一