第2章 一元二次方程（重难点单元自测）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程章末检测卷，120分钟150分，涵盖定义、解法、根与系数关系及应用，结合低空经济研发、文创销售等真实情境，注重基础巩固与创新应用，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|定义、配方法、增长率问题|结合四川雅安一模等真题形式，考查概念辨析| |填空题|8/32|解方程、根的意义、几何应用|融入正方体展开图等空间问题，体现几何直观| |解答题|8/78|解法应用、实际问题、新定义|含文创销售优化（模型意识）、“换位方程”探究（推理意识）|

第2章 一元二次方程 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：当时，方程变为，不是二次方程，不符合题意； B：方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； C：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； D：方程只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合题意．故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元，∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元，∴列方程得． 4．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 【答案】C 【详解】解：设原一元二次方程为 ，题目已知二次项系数为． ∵ 小冀写错常数项，一次项系数 正确，且小冀得到的两根为 和 ， ∴ 小冀写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的一次项系数 ． ∵ 小豫写错一次项系数，常数项 正确，且小豫得到的两根为 和 ， ∴ 小豫写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的常数项 ． 因此原方程为 ，因式分解得 ，原方程的根为 ． 逐一判断选项：A.原方程一次项系数为 ，A 错误．B.原方程常数项为 ，B 错误． C. 是原方程的一个根，C 正确．D. 不是原方程的根，D 错误． 5．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． ∴所求一元二次方程为． 6．（25-26九年级上·河南开封·期末）在一次乒乓球比赛中，中国乒乓队揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用单循环制（每两队之间进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵设参赛队伍有支， ∴每支队伍需与支队伍比赛，单循环制中每两队之间只赛一场，需去除重复计算的场次， ∴总比赛场数为，又∵比赛总场数为380场，∴可列方程为．故选：C． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：一元二次方程有解，判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有，，结合，得，解得， 将代入原方程，得，整理为，解得， 所以该方程的解是和． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，， ∵，同理可得， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等，∴，整理得． 10．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中，， 则两边同时除以得， ，由②得，将代入①得， ∴代数式． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程：的解为： ． 【答案】， 【详解】解∶，∴，∴， ∴，，∴，，故答案为：，． 12．（25-26九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得：，即， 因式分解得，解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得，∴的值为2． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即，解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm，故答案为：． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____． 【答案】－2026 【详解】解：∵是方程的根，∴ ，∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵，代入分式部分： ∵，∴等式两边同除以得： ，∴， 将以上结果代入原式： ． 15．（25-26八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时，，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根，将代入方程得，解得， 当时，方程为因式分解得，解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边，不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式，解得，此时方程为，解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意；综上所述，． 16．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为，则，整理得：， 由题意得原方程有实数根，，． 又，，即的取值范围为：． 17.（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是____． 【答案】或 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，，将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时，解得： ，，或，， ，或，故答案为：或． 18．（25-26八年级下·重庆·期末）定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的有 （填正确答案的序号） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． 【答案】①④ 【详解】解：对于一元二次方程 ，两根之和为 ，方程有实数根需满足判别式 ，据此逐个判断： ①对于方程，，得 ，满足，且，有两个实数根，因此该方程是“奇根方程”，①正确； ②对于方程 ，由题意得，，方程有两个不等实根得，即，两根和，取，得，不满足定义，因此该方程不一定是“奇根方程”，②错误； ③对于方程，由定义得，解得，方程有两个实根得，即，因此符合条件的整数为，和为，③错误； ④对于方程，由定义得，解得，计算判别，取 ，是有理数，满足，此时是完全平方数，方程根为有理数，因此存在满足条件的有理数，④正确．综上，正确的说法共 个． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，226题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件．(1)探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【答案】(1)(2)每件应降价36元 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价y元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得． 要尽快减少库存，，答：每件应降价36元． 21．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”；(2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ，∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，，，∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，∴解得：或， 当时，代入方程①得，，解得：； 当时，代入方程①得，，解得：． 22．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围；(2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴．解得：． （2）解：∵，∴的最小整数值为2．   把代入方程，得，   ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，，∵， ∴， 根据勾股定理得，∴，解得或， ∵，∴不合题意，舍去，∴，∴，∴的周长为． 23．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1)(2)的值为8(3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【详解】（1）解：依据题意，，解得，故答案为：； （2）解：根据题意得，即， 化简得，解得，， 当时，，（舍去），； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则，化简得：， ，无解，∴苗圃的面积不可以达到． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题：(1)已知一元二次方程的两根，，则____，____； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；(2)或(3) 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时，实数、满足，， 、可看作方程的两根，，， 原式， 当时，则原式；综上所述，原式的值为或2； （3）解：，，∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即，，，即，的最大值为1． 25．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： (1)填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________； (2)证明：代数式的值恒为正数． (3)如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，． ①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．②若，则的值为________． 【答案】(1)小，1(2)见详解(3)①，过程见详解；② 【详解】（1）解： ∵，∴，∴，∴代数式有最小值：这个最值为1； （2）证明：， ∵，∴，∴代数式的值恒为正数； （3）解：①∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 解得，或（舍去）， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；∴，∴； ②∵以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，∴， ∵，，∴，，∴ ；；；；；∴． 26．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或；(2)，该方程的“幸运数”为(3)或 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即，故答案为：； 依题意，， 整理得，，解得，，故答案为：或； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数，∴或或，解得或或， ∵为整数，∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程”∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为，∴ ∴∴，∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时，；∴ 方程的“幸运数”为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 章末检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：当时，方程变为，不是二次方程，不符合题意； B：方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； C：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； D：方程只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合题意．故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元，∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元，∴列方程得． 4．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）小冀与小豫一起写作业，在解同一道一元二次方程时，小冀在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是2和1；小豫在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和．已知原方程的二次项系数为1，则（    ） A．原方程的一次项系数为3 B．原方程的常数项为 C．1是原方程的一个根 D．是原方程的一个根 【答案】C 【详解】解：设原一元二次方程为 ，题目已知二次项系数为． ∵ 小冀写错常数项，一次项系数 正确，且小冀得到的两根为 和 ， ∴ 小冀写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的一次项系数 ． ∵ 小豫写错一次项系数，常数项 正确，且小豫得到的两根为 和 ， ∴ 小豫写的方程为 ，展开得 ，∴ 可得正确的常数项 ． 因此原方程为 ，因式分解得 ，原方程的根为 ． 逐一判断选项：A.原方程一次项系数为 ，A 错误．B.原方程常数项为 ，B 错误． C. 是原方程的一个根，C 正确．D. 不是原方程的根，D 错误． 5．（2025·成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两根是和，若，则下列选项正确的是（    ） A．、 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵关于的一元二次方程的两根是和， ∴，∴，∴故A错误，不符合题意； B、取，符合题干条件，但故B错误，不符合题意； C、取，符合题干条件，但故C错误，不符合题意； D、，∵，∴ ∵，∴，∴，故D正确，符合题意；故选：D． ∴所求一元二次方程为． 6．（25-26九年级上·河南开封·期末）在一次乒乓球比赛中，中国乒乓队揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用单循环制（每两队之间进行一场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵设参赛队伍有支， ∴每支队伍需与支队伍比赛，单循环制中每两队之间只赛一场，需去除重复计算的场次， ∴总比赛场数为，又∵比赛总场数为380场，∴可列方程为．故选：C． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：一元二次方程有解，判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有，，结合，得，解得， 将代入原方程，得，整理为，解得， 所以该方程的解是和． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，， ∵，同理可得， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等，∴，整理得． 10．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中，， 则两边同时除以得， ，由②得，将代入①得， ∴代数式． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（24-25九年级上·四川成都·期末）方程：的解为： ． 【答案】， 【详解】解∶，∴，∴， ∴，，∴，，故答案为：，． 12．（25-26九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得：，即， 因式分解得，解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得，∴的值为2． 13．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即，解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm，故答案为：． 14．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知是方程的一个根，则____． 【答案】－2026 【详解】解：∵是方程的根，∴ ，∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵，代入分式部分： ∵，∴等式两边同除以得： ，∴， 将以上结果代入原式： ． 15．（25-26八年级下·安徽六安·期末）等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时，，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根，将代入方程得，解得， 当时，方程为因式分解得，解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边，不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式，解得，此时方程为，解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意；综上所述，． 16．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知矩形的一边长为2，另一边长为1．如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的倍，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意知，这个矩形周长为，面积为， 设矩形的一边长为，则另一边为，则，整理得：， 由题意得原方程有实数根，，． 又，，即的取值范围为：． 17.（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是____． 【答案】或 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，，将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时，解得： ，，或，， ，或，故答案为：或． 18．（25-26八年级下·重庆·期末）定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的有 （填正确答案的序号） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． 【答案】①④ 【详解】解：对于一元二次方程 ，两根之和为 ，方程有实数根需满足判别式 ，据此逐个判断： ①对于方程，，得 ，满足，且，有两个实数根，因此该方程是“奇根方程”，①正确； ②对于方程 ，由题意得，，方程有两个不等实根得，即，两根和，取，得，不满足定义，因此该方程不一定是“奇根方程”，②错误； ③对于方程，由定义得，解得，方程有两个实根得，即，因此符合条件的整数为，和为，③错误； ④对于方程，由定义得，解得，计算判别，取 ，是有理数，满足，此时是完全平方数，方程根为有理数，因此存在满足条件的有理数，④正确．综上，正确的说法共 个． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，226题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 (1)（配方法） (2)（公式法） (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件．(1)探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【答案】(1)(2)每件应降价36元 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价y元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得． 要尽快减少库存，，答：每件应降价36元． 21．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”；(2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ，∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，，，∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意，∴解得：或， 当时，代入方程①得，，解得：； 当时，代入方程①得，，解得：． 22．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围；(2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴．解得：． （2）解：∵，∴的最小整数值为2．   把代入方程，得，   ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，，∵， ∴， 根据勾股定理得，∴，解得或， ∵，∴不合题意，舍去，∴，∴，∴的周长为． 23．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1)(2)的值为8(3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【详解】（1）解：依据题意，，解得，故答案为：； （2）解：根据题意得，即， 化简得，解得，， 当时，，（舍去），； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则，化简得：， ，无解，∴苗圃的面积不可以达到． 24．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题：(1)已知一元二次方程的两根，，则____，____； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；(2)或(3) 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时，实数、满足，， 、可看作方程的两根，，， 原式， 当时，则原式；综上所述，原式的值为或2； （3）解：，，∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即，，，即，的最大值为1． 25．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题： (1)填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________； (2)证明：代数式的值恒为正数． (3)如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，． ①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．②若，则的值为________． 【答案】(1)小，1(2)见详解(3)①，过程见详解；② 【详解】（1）解： ∵，∴，∴，∴代数式有最小值：这个最值为1； （2）证明：， ∵，∴，∴代数式的值恒为正数； （3）解：①∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， 解得，或（舍去）， ∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；∴，∴； ②∵以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，∴， ∵，，∴，，∴ ；；；；；∴． 26．（2025·湖南长沙·二模）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数． 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1)；或；(2)，该方程的“幸运数”为(3)或 【详解】（1）解：当时，代入得，， ∴，即，故答案为：； 依题意，， 整理得，，解得，，故答案为：或； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数，即是完全平方数，∴或或，解得或或， ∵为整数，∴， 当时，方程化为， ∴； ∴方程的“幸运数”为； （3）解：∵是“幸运方程”∴的两个根为整数， 设方程的两个根分别为，∴ ∴∴，∴ ∵为整数， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上所述，的值为或； 方程的“幸运数”为， 当时， 当时，；∴ 方程的“幸运数”为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $