第07讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征（高效培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦离散型随机变量及其分布列、数字特征核心考点，按随机变量概念、分布列性质、均值方差及综合应用的逻辑层次构建知识体系，通过考情解读明确命题趋势，知识梳理夯实基础，重难突破提炼方法，分层集训强化实战，形成系统性复习闭环。 讲义以AI检测、抽奖等现实情境为载体设计典例，引导学生用数学眼光观察随机现象，通过分布列性质分析、均值方差公式推导培养逻辑推理能力，设置基础演练、能力进阶、真题实战三级练习，配合方法技巧总结，帮助学生高效构建概率模型，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第07讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 随机变量 知识2 两点分布的分布列 知识3 离散型随机变量的均值与方差 知识4 均值与方差的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 求离散型随机变量的分布列 方法技巧 求离散型随机变量的分布列步骤 考点02 分布列的性质 方法技巧 用分布列性质解题策略 考点03 随机变量的均值、方差 方法技巧 求随机变量的均值、方差的解题策略 考点04 均值、方差的性质 考点05 综合应用 考情·分析解读 课标要求 能借助实例认识两点分布，掌握分布列，会求离散型随机变量均值方差，活用其性质分析问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 离散型随机变量分布列、均值、方差 全国Ⅰ卷第17题，第8题；全国Ⅱ卷第15题 全国Ⅰ卷第19题，全国Ⅱ卷第19题 全国Ⅰ卷第19题，全国Ⅱ卷第18题 考情解读 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．随着计算机技术和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．这部分内容作为高考数学的主干内容之一，会越来越受到重视．主要以应用题的方式出现，不再单纯直接套用二项、超几何分布公式，常常将分布列、均值、方差与条件概率、全概率公式、抽样统计、中位数、独立性检验、方案决策等内容综合考查，情境贴近现实生活，要求学生自主识别随机变量，构建概率模型，方差考查频次略低于均值。 备考策略 （1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，强化分布列书写，重视随机变量取值的分析。 （2） 理解并会求离散型随机变量的数字特征，加强综合题型训练，重视决策类应用题的答题逻辑。 知识・归纳梳理 知识1 随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值 的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1） (i＝1，2，…，n)； （2）． 知识2 两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 知识3离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． （2）称为随机变量X的 ，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 ，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 知识4 均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 . 重难・核心突破 考点01 求离散型随机变量的分布列 典例1．（25-26高二下·安徽·期末）“OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名.其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程.某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对，，三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立. 求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列. 典例2．（贵州省多校联盟考试2026-2027学年高三上学期8月素养训练数学试题）甲、乙二人练习乒乓球，在某个回合中，乙先发球．已知对于乙击过来的球，甲只有的概率接到，若接到球，有的概率回球失误（指球出界、下网、未触台等）．而乙无论接球、回球还是发球都零失误．规定：若甲没有接到球或接到球但回球失误，则乙获胜，本回合结束；若甲能连续接到3个球且回球都没有失误，则甲获胜，本回合结束．甲、乙二人每次接球、回球均相互独立． (1)求甲获胜的概率； (2)在这个回合中，记甲接到的球的次数为，求的分布列与数学期望． 方法技巧 求离散型随机变量的分布列步骤 先确定随机变量全部取值，逐一计算各取值的概率，列出表格。务必用分布列性质检验概率总和为1，留意识别两点分布等常见模型，规避概率计算失误。 【考法预测1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）由甲、乙、丙三人组成的“挑战者队”向投篮高手A发起挑战，甲、乙、丙与A比赛一局获胜概率分别是，，，各局比赛结果相互独立． 赛制一：甲、乙、丙与A各比赛一局，“挑战者队”获胜局数不少于2局即为挑战成功； 赛制二：甲、乙与A各比赛一局，“挑战者队”获胜局数不少于1局即为挑战成功； 赛制三：甲与A最多进行五局比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局．当比赛进行到一方比另一方多得2分时停止比赛，否则继续比赛直至赛完五局．多得2分的一方赢得比赛．甲赢得比赛即为“挑战者队”挑战成功． (1)若，，，分别计算赛制一、赛制二中“挑战者队”挑战成功的概率． (2)若采用赛制三，令，，X表示比赛结束时比赛局数.求X的分布列．（计算结果用，表示） 【考法预测2】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次．规定：若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖． (1)求分别获得一、二、三等奖的概率； (2)设摸球次数为，求 的分布列和数学期望． 考点02 分布列的性质 典例1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知随机变量X的分布列如表， X 1 2 3 4 5 P 其中，，成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．，，成等差数列 B． C． D． 典例2．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率． (2)若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为， （ⅰ）求的分布列（用字母表示）； （ⅱ）求的最大值． 方法技巧 用分布列性质解题策略 利用全部概率之和为1列式求参，检验每项概率非负。大题中常以此核验计算结果，及时修正概率计算的疏漏。 【考法预测1】（25-26高二下·广东汕头·期末）某高中打算采购一批教室挂钟，现有甲、乙两种品牌的挂钟，已知甲乙使用一年后它们的走时误差分别为X和Y（单位：秒），其分布列如下，则下列选项正确的是（   ） 甲品牌的走时误差分布列 x 0 1 P 0.1 0.6 a 乙品牌的走时误差分布列 x 0 1 2 P 0.1 0.2 b 0.4 0.1 A．， B． C．若，则 D．甲乙两种品牌中乙的质量更稳定 【考法预测2】（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下： 甲 乙 环数 8 9 10 8 9 10 概率 (1)求p，q的值； (2)若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； (3)若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列． 【考法预测3】（25-26高三下·海南海口·阶段检测）根据社会人口调查一万个家庭研究发现，一个家庭有个孩子的分布列为：      0 1 2 3 P (其中)每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件表示一个家庭有 个孩子()，事件B表示一个家庭中男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子并且恰好是一个男孩，则表示该家庭男孩比女孩多). (1)求的值及随机变量X的数学期望； (2)分别求的值; (3)求. 考点03 随机变量的均值、方差 典例1．（2026高三·全国·专题练习）一批零件有5个合格品和2个次品，抽检时，每次从这批零件中任意取出一个，若每次取出的次品不再放回，且取得合格品之前取出的次品数为，则等于（   ） A． B． C． D． 典例2．（2026高三·全国·专题练习）某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品．而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽4件进行检查，发现次品则当天产品不能通过． (1)求第一天通过的概率； (2)若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天都不能通过记分，通过1天记1分，两天都通过得3分，求该车间在这两天内得分的分布列和数学期望． 方法技巧 求随机变量的均值、方差的解题策略 先找准随机变量的分布列，算出均值。优先套用 E(aX+b)=aE(X)+b、D(aX+b)=a^2D(X)。遇见两点分布直接使用对应公式，算出结果后结合实际含义作出阐释，做完核对计算。 【考法预测1】（25-26高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． (1)若质点只能在轴上移动，记第秒末质点回到原点的概率为，求； (2)从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望． 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“抄底”．若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）． (1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率； (3)由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋回暖．若某人某天按上一交易日的收盘价20元／股买入1000股某只股票，且预计当天收盘时，该只股票涨停（比上一交易日的收盘价上涨）的概率0.5，持平的概率为0.2，否则将下跌，求此人当天获利的数学期望（不考虑交易税）． 考点04 均值、方差的性质 典例1．（25-26高二下·新疆喀什·期中）设随机变量的分布列为 1 其中．若，则（     ） A． B． C． D． 典例2．（2026·山西运城·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错减1分，设他每道题答对的概率均为（），且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为，则当取得最大值时，______________． 【考法预测1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知X服从二项分布，且，则二项分布的参数n、p的值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·重庆江北·模拟预测）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 考点05 综合应用 典例1．（福建厦门·阶段检测）某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元.设一次抽奖随机取出的红球的个数为X. (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益(收益=奖金-花费)为Y元，求随机变量Y的期望和方差.从抽奖活动主办方的角度出发，若要实现盈利.你认为抽奖费用定价是否合理？请从数学的角度进行说明. 典例2．（25-26高二下·北京·期末）某校计划于暑假开展“知行共奔赴，青春赴山海”游学活动，共有北京、西安、成都、南京、杭州五个地点可供选择，每位学生选择其中一个地点．为了解本校学生的游学意向，采用分层抽样从全校初中生和全校高中生中各随机抽取20名学生，对其选择的游学目的地进行统计调查，各目的地选择人数如下表： 北京 西安 成都 南京 杭州 初中生 10 2 4 2 2 高中生 4 6 3 6 1 假设每位学生选择游学目的地的结果互不影响，用频率估计概率． (1)从五个地点中随机选择一个，估计该地点全校初中生选择比例高于全校高中生选择比例的概率； (2)从全校初中生中随机抽取2人，从全校高中生中随机抽取1人，记这3人中选择“北京”作为游学目的地的人数为，估计的数学期望； (3)若从该校初中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为；从该校高中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为．比较第（2）问中随机变量的方差与，三者的大小关系．（结论不要求证明） 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某游戏射击场规定： ①每次射击5发子弹； ②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不付款；命中3发或3发以下，应付款2元． 现有一游客，其每发子弹的命中率为． (1)求该游客一次游戏中5发全部命中的概率； (2)试从期望的角度分析，该游戏规则对该游客是否有利． 【考法预测2】（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）设离散型随机变量的分布列如下表所示，则与的值分别是（    ） -1 0 1 2 0.3 0.3 A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北·期末）设随机变量的分布列（，2，3），则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）设随机变量 服从两点分布，已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽六安·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ） A． B． C． D．或 7．(多选)（25-26高二下·广西柳州·期末）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(多选)（2026·河北沧州·二模）设随机变量的分布列为（，2，为常数），则（   ） A． B． C． D． 9．(多选)（2026·河南·模拟预测）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设集合，该集合共含有16个点. 定义随机变量为点的坐标之和，即. 现从集合中扣除第一象限的特殊点（余下的 15 个点构成样本空间. 若从中随机选取一个点，该点对应的随机变量的数学期望___________. 11．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）某地区为了提升养老保障机制，组织相关的保险公司在该地区推广养老保险的相关产品，现在该地区随机抽取1名老人，其购买的养老保险产品的数量的所有可能取值为0，1，2，且，则___________． 12．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设集合，该集合共含有16个点. 定义随机变量为点的坐标之和，即. 现从集合中扣除第一象限的特殊点（余下的 15 个点构成样本空间. 若从中随机选取一个点，该点对应的随机变量的数学期望___________. 13．（25-26高二下·吉林长春·期中）语文郭老师要从6篇课文中随机抽出3篇不同的课文让同学们背诵，规定要至少背诵出2篇才能及格. 张同学只会背诵其中的4篇. (1)设张同学抽到他会背诵的课文的数量为，求的分布列和期望； (2)求张同学能及格的概率. 14．（2026高三·全国·专题练习）设某运动员投篮投中的概率为． (1)求一次投篮时投中次数的期望和方差； (2)求重复5次投篮时投中次数的期望和方差． 15．（2026·上海·三模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 16．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求和的值. 能力进阶 1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）设，随机变量的分布列如下： 当在内增大时，（     ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）从1，2，3，…，10这十个数中随机抽取一个数记为X，再从1，2，…，X这X个数中随机抽取一个数记为Y，则数学期望（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 4．（2026·湖南长沙·二模）有5个不同的球，分别标有数字．从中有放回地随机取次，每次取1个球，记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，若，则的数学期望为___________，若（其中），则的数学期望为_________．（用表示） 5．（2026高三·全国·专题练习）在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 是否存在值且，使得，请说明理由. 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 7．（2026·河北沧州·一模）在概率论和统计学中，对于一个离散型随机变量，方差，期望运算为（，为常数）.对于任意的两个离散型随机变量，，可推广得协方差为，期望运算为.假设有两个独立的粒子探测器甲和乙，各自进行一系列实验检测粒子.记甲、乙各自进行次实验后检测到粒子的次数分别为，，且，. (1)当时，求. (2)求证：. (3)求满足的的值. 真题实战 1．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 2．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 3．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 4．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 6．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________． 7．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 8．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 9．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 10．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 11．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 12．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 随机变量 知识2 两点分布的分布列 知识3 离散型随机变量的均值与方差 知识4 均值与方差的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测） 考点01 求离散型随机变量的分布列 方法技巧 求离散型随机变量的分布列步骤 考点02 分布列的性质 方法技巧 用分布列性质解题策略 考点03 随机变量的均值、方差 方法技巧 求随机变量的均值、方差的解题策略 考点04 均值、方差的性质 考点05 综合应用 考情·分析解读 课标要求 能借助实例认识两点分布，掌握分布列，会求离散型随机变量均值方差，活用其性质分析问题。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 离散型随机变量分布列、均值、方差 全国Ⅰ卷第17题，第8题；全国Ⅱ卷第15题 全国Ⅰ卷第19题，全国Ⅱ卷第19题 全国Ⅰ卷第19题，全国Ⅱ卷第18题 考情解读 从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，特别是解答题中，更是经常出现．随着计算机技术和人工智能的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的数学内容之一．这部分内容作为高考数学的主干内容之一，会越来越受到重视．主要以应用题的方式出现，不再单纯直接套用二项、超几何分布公式，常常将分布列、均值、方差与条件概率、全概率公式、抽样统计、中位数、独立性检验、方案决策等内容综合考查，情境贴近现实生活，要求学生自主识别随机变量，构建概率模型，方差考查频次略低于均值。 备考策略 （1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，强化分布列书写，重视随机变量取值的分析。 （2） 理解并会求离散型随机变量的数字特征，加强综合题型训练，重视决策类应用题的答题逻辑。 知识・归纳梳理 知识1 随机变量 1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 2.离散型随机变量分布列的概念及性质 ①离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 ()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列. X … … P … … 有时也用等式表示X的分布列． ②离散型随机变量的分布列的性质 （1）(i＝1，2，…，n)； （2）． 知识2 两点分布的分布列 若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率. 知识3离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … … P … … （1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差． 方差的变形： 知识4 均值与方差的性质 若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 典例1．（25-26高二下·安徽·期末）“OpenClaw”是一款开源、本地优先、可自行托管的AI智能体执行网关，由一名欧洲开发者在2025年11月发起该项目，2026年1月对项目正式定名.其本质是自主执行型AI助手，可实现数据收集、处理、分析、推理和预测模拟的全过程.某工厂想利用“OpenClaw”通过技能添加实现AI系统模型每天对，，三条生产线的产品缺陷进行在线检测，其检测的准确率分别为，，，且每条生产线的检测结果相互独立. 求第一天AI系统检测准确的生产线数量的分布列. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值为，且三条生产线的检测结果相互独立. ； ； ； . 因此的分布列如下所示： X 0 1 2 3 P 典例2．（贵州省多校联盟考试2026-2027学年高三上学期8月素养训练数学试题）甲、乙二人练习乒乓球，在某个回合中，乙先发球．已知对于乙击过来的球，甲只有的概率接到，若接到球，有的概率回球失误（指球出界、下网、未触台等）．而乙无论接球、回球还是发球都零失误．规定：若甲没有接到球或接到球但回球失误，则乙获胜，本回合结束；若甲能连续接到3个球且回球都没有失误，则甲获胜，本回合结束．甲、乙二人每次接球、回球均相互独立． (1)求甲获胜的概率； (2)在这个回合中，记甲接到的球的次数为，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）由题意甲一次接到球且回球不失误的概率为，所以甲获胜的概率为； （2）由已知的可能值为， ，第一球未接到，， ，有两种情况导致回合结束且甲接到1个球：（1）第一球接到，回球失误，（2）第一球接到并回球成功，第二球未接到， 所以， ，（1）第1球接到并回球成功，第2球接到，回球失误，（2）第1球接到并回球成功，第2球接到，回球成功，第3球未接到， 所以， ，前2球均接到并回球成功，第3球接到（此时无论回球是否失误，回合都结束）， 所以, 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 方法技巧 求离散型随机变量的分布列步骤 先确定随机变量全部取值，逐一计算各取值的概率，列出表格。务必用分布列性质检验概率总和为1，留意识别两点分布等常见模型，规避概率计算失误。 【考法预测1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）由甲、乙、丙三人组成的“挑战者队”向投篮高手A发起挑战，甲、乙、丙与A比赛一局获胜概率分别是，，，各局比赛结果相互独立． 赛制一：甲、乙、丙与A各比赛一局，“挑战者队”获胜局数不少于2局即为挑战成功； 赛制二：甲、乙与A各比赛一局，“挑战者队”获胜局数不少于1局即为挑战成功； 赛制三：甲与A最多进行五局比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局．当比赛进行到一方比另一方多得2分时停止比赛，否则继续比赛直至赛完五局．多得2分的一方赢得比赛．甲赢得比赛即为“挑战者队”挑战成功． (1)若，，，分别计算赛制一、赛制二中“挑战者队”挑战成功的概率． (2)若采用赛制三，令，，X表示比赛结束时比赛局数.求X的分布列．（计算结果用，表示） 【详解】（1）由题意得赛制一挑战成功的概率如下， 为 ， 故赛制二挑战成功的概率为. （2）（Ⅰ）一方连胜2局不可能出现第三局，， 而3局最多净胜1分无法满足差2分的停赛条件. 所以比赛结束时局数可能取值为2,4,5： 2局结束：前2局一方连胜2局，， 4局结束：前2局1:1，后2局一方连胜2局，， 5局结束：前4局双方2:2，打满5局结束，. 的分布列为： X   2 4 5 P 【考法预测2】（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有 “A”“B”“C”“D”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次．规定：若取出“D”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖． (1)求分别获得一、二、三等奖的概率； (2)设摸球次数为，求 的分布列和数学期望． 【详解】（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件E，F，G． 则一等奖的情况有“A，B，C，D”，， 二等奖的情况有前3次恰好是“A”“B”“C”的全排列，最后1次为“D”， 再减去“一等奖”的1次，基本事件有个，， 三等奖的情况有：“A”“A”“B”“C”；“A”“B”“B”“C”；“A”“B”“C”“C”三种情况， . （2）设摸球的次数为，则的可能取值为1、2、3、4． ，，， . 故取球次数的分布列为 1 2 3 4 数学期望. 考点02 分布列的性质 典例1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知随机变量X的分布列如表， X 1 2 3 4 5 P 其中，，成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．，，成等差数列 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得， 则，，成等差数列，故A正确； 对于B，由，，成等比数列，得， 而，则，故B正确； 对于C，由AB知，，，则， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 典例2．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率． (2)若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为， （ⅰ）求的分布列（用字母表示）； （ⅱ）求的最大值． 【详解】（1）若比赛中甲胜，记比赛结果为甲；比赛中乙胜，记比赛结果为乙；比赛平局，记比赛结果为平． 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲， 对应概率为； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲， 对应概率为． 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为． （2）(i)若，则比赛结果只有甲乙两种，且． 又比赛最多进行5局，则的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙，则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4局没有结束比赛，即前4局甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则． 则的分布列为 2 4 5 （ⅱ）． 注意到 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立． 因为函数在上单调递增， 所以， 故的最大值为． 方法技巧 用分布列性质解题策略 利用全部概率之和为1列式求参，检验每项概率非负。大题中常以此核验计算结果，及时修正概率计算的疏漏。 【考法预测1】（25-26高二下·广东汕头·期末）某高中打算采购一批教室挂钟，现有甲、乙两种品牌的挂钟，已知甲乙使用一年后它们的走时误差分别为X和Y（单位：秒），其分布列如下，则下列选项正确的是（   ） 甲品牌的走时误差分布列 x 0 1 P 0.1 0.6 a 乙品牌的走时误差分布列 x 0 1 2 P 0.1 0.2 b 0.4 0.1 A．， B． C．若，则 D．甲乙两种品牌中乙的质量更稳定 【答案】ABC 【详解】对于A，由分布列所有概率之和为， 对甲的分布列：，解得， 对乙的分布列：，解得，A正确； 对于B，， ， 所以，B正确； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，所以，即甲乙两种品牌中甲的质量更稳定，D错误． 【考法预测2】（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下： 甲 乙 环数 8 9 10 8 9 10 概率 (1)求p，q的值； (2)若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； (3)若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列． 【详解】（1）由分布列的性质，得，解得，. （2）甲、乙两名运动员各射击两次，四次射击中恰有三次命中9环，则有甲命中1次9环、乙命中2次9环或甲命中2次9环、乙命中1次9环. 因此，所求事件的概率． （3）由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2． ，，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 【考法预测3】（25-26高三下·海南海口·阶段检测）根据社会人口调查一万个家庭研究发现，一个家庭有个孩子的分布列为：      0 1 2 3 P (其中)每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件表示一个家庭有 个孩子()，事件B表示一个家庭中男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子并且恰好是一个男孩，则表示该家庭男孩比女孩多). (1)求的值及随机变量X的数学期望； (2)分别求的值; (3)求. 【详解】（1）由题意，得，解得； ∴X的分布列为 x 0 1 2 3 P ∴X的数学期望 ； （2）由题意，得，， （3）因，则由全概率公式，得 . 考点03 随机变量的均值、方差 典例1．（2026高三·全国·专题练习）一批零件有5个合格品和2个次品，抽检时，每次从这批零件中任意取出一个，若每次取出的次品不再放回，且取得合格品之前取出的次品数为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的可能取值为0,1,2， ，，. 所以. 典例2．（2026高三·全国·专题练习）某车间在两天内，每天生产10件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品．而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽4件进行检查，发现次品则当天产品不能通过． (1)求第一天通过的概率； (2)若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天都不能通过记分，通过1天记1分，两天都通过得3分，求该车间在这两天内得分的分布列和数学期望． 【详解】（1）解：记第一天通过检查的事件为， 根据题意，第一天通过的概率. （2）解：设第二天通过检查的事件为，可得第二天通过的概率为 根据题意，可得随机变量的可能取值为 可得，， ， 所以随机变量得分的分布列为： 所以期望为. 方法技巧 求随机变量的均值、方差的解题策略 先找准随机变量的分布列，算出均值。优先套用 E(aX+b)=aE(X)+b、D(aX+b)=a^2D(X)。遇见两点分布直接使用对应公式，算出结果后结合实际含义作出阐释，做完核对计算。 【考法预测1】（25-26高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位． (1)若质点只能在轴上移动，记第秒末质点回到原点的概率为，求； (2)从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位．设质点在第2秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望． 【详解】（1）若质点只能在x轴上移动，每秒有2种可能，4秒移动方式共有种. 第4秒末质点回到原点，则必定向左移动2步，向右移动2步，有种. 故. （2）因在1秒末，质点会等可能地出现在，，，四点处， 故在第2秒末可能运动到，，，各两种情形， ，，，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量表示的取值，故的可能取值为0,2,4. 对应的概率分别为：，，. 故的分布列为： 0 2 4 期望为. 【考法预测2】（2026高三·全国·专题练习）美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“抄底”．若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）． (1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率； (3)由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋回暖．若某人某天按上一交易日的收盘价20元／股买入1000股某只股票，且预计当天收盘时，该只股票涨停（比上一交易日的收盘价上涨）的概率0.5，持平的概率为0.2，否则将下跌，求此人当天获利的数学期望（不考虑交易税）． 【详解】（1）三人恰好买到同一只股票的概率． （2）解法1：三人中恰好有两人买到同一只股票的概率． 由（1）知，三人恰好买到同一只股票的概率， 所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率 ． 解法2：． （3）每股当天获利钱数的分布列为： 2 0 0.5 0.2 0.3 所以，1000股在当天交易中获利钱数的数学期望为． 考点04 均值、方差的性质 典例1．（25-26高二下·新疆喀什·期中）设随机变量的分布列为 1 其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 代入分布列的概率得 ， 已知 ，因此列方程 ， 解得 ，满足 ，符合条件； 所以期望为， 因此得到. 典例2．（2026·山西运城·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错减1分，设他每道题答对的概率均为（），且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为，则当取得最大值时，______________． 【答案】 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 【考法预测1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知X服从二项分布，且，则二项分布的参数n、p的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由X服从二项分布，得， 而，结合， 得，∴. 【考法预测2】（2026·重庆江北·模拟预测）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 【详解】（1）由题意，这批零件数量足够大，抽取3个可看作独立重复试验，随机变量，的所有可能取值为，可得对应概率为： ，， ，， 因此的分布列为： X 0 1 2 3 P 由二项分布期望公式得： （2）3个零件的基础检测费用为元，每发现1个不合格品额外支出25元， 因此总费用满足关系式：, 由期望的线性性质：, 即的数学期望为元. 考点05 综合应用 典例1．（福建厦门·阶段检测）某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元.设一次抽奖随机取出的红球的个数为X. (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益(收益=奖金-花费)为Y元，求随机变量Y的期望和方差.从抽奖活动主办方的角度出发，若要实现盈利.你认为抽奖费用定价是否合理？请从数学的角度进行说明. 【详解】（1）依题意，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （2）依题意，每次抽奖的收益， 所以期望, 随机变量X的方差， 方差 ， 因为，从抽奖活动主办方的角度出发，抽奖费用定价不合理，可适当提高单次抽奖费用. 典例2．（25-26高二下·北京·期末）某校计划于暑假开展“知行共奔赴，青春赴山海”游学活动，共有北京、西安、成都、南京、杭州五个地点可供选择，每位学生选择其中一个地点．为了解本校学生的游学意向，采用分层抽样从全校初中生和全校高中生中各随机抽取20名学生，对其选择的游学目的地进行统计调查，各目的地选择人数如下表： 北京 西安 成都 南京 杭州 初中生 10 2 4 2 2 高中生 4 6 3 6 1 假设每位学生选择游学目的地的结果互不影响，用频率估计概率． (1)从五个地点中随机选择一个，估计该地点全校初中生选择比例高于全校高中生选择比例的概率； (2)从全校初中生中随机抽取2人，从全校高中生中随机抽取1人，记这3人中选择“北京”作为游学目的地的人数为，估计的数学期望； (3)若从该校初中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为；从该校高中生中随机抽取3人，记这3人中选择“北京”的人数为．比较第（2）问中随机变量的方差与，三者的大小关系．（结论不要求证明） 【详解】（1）在5个地点中，初中生选择比例高于高中生选择比例的地点为北京、成都及杭州这3个地点． 初中生选择比例高于高中生选择比例的概率估计值为． （2）方法一：∵每位同学选择游学目的地互相独立，以频率估计概率． ∴初中生选择北京的概率的估计值为，高中生选择北京的概率的估计值为． 的所有可能取值为0，1，2，3． 的估计值为． 的估计值为 的估计值为 的估计值为． ． 方法二：用频率估计概率： 初中生选择“北京”的概率为 ， 高中生选择“北京”的概率为 ， 从初中生中随机抽取2人，设其中选择“北京”的人数为，则，； 从高中生中随机抽取1人，设其中选择“北京”的人数为，则，； 总人数，由期望线性性质：． （3）由题意：，方差：， ，方差：， 第（2）问中，，其中 ，，且相互独立， 故, 因此三者大小关系为：． 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）某游戏射击场规定： ①每次射击5发子弹； ②5发全部命中奖励40元；命中4发不奖励，也不付款；命中3发或3发以下，应付款2元． 现有一游客，其每发子弹的命中率为． (1)求该游客一次游戏中5发全部命中的概率； (2)试从期望的角度分析，该游戏规则对该游客是否有利． 【详解】（1）设5发子弹命中发，则5发全部命中的概率是 （2）发子弹命中发的概率是， 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 ， 设游客在一次游戏中获得奖金元，则的分布列为： 0 40 该游客在一次游戏中获得奖金的期望为， 该游戏规则对该游客不利． 【考法预测2】（2025·广东深圳·模拟预测）某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中，） 0 1 2 3 记事件表示王同学假期三天内去运动场锻炼次，事件表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数. (1)当时，求的值； (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 【详解】（1）当时，， 则，解得. 由题意，得. 由全概率公式，得 (2)不存在，理由： 由，得. 假设存在，使. 将上述两式左右分别相乘，得，化简得：（*）. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为， 即方程（*）无解，故不存在值，使得. 拔高・分层集训 基础演练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知随机变量的分布列为，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，， 所以，， 所以. 2．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）设离散型随机变量的分布列如下表所示，则与的值分别是（    ） -1 0 1 2 0.3 0.3 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】+. 的取值为，则对应的的取值为 所以的分布列为 1 3 5 P 0.3 0.4 0.3 所以. 3．（25-26高二下·河北·期末）设随机变量的分布列（，2，3），则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，即， 所以. 4．（25-26高二下·重庆九龙坡·期末）设随机变量 服从两点分布，已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于随机变量服从两点分布，因此的可能取值为和，且, 所以， 因为，可得， 所以 5．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 6．（25-26高二下·安徽六安·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意的可能值为2或3， ，， 即的分布列为 2 3 所以，解得或. 7．(多选)（25-26高二下·广西柳州·期末）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A：离散型随机变量所有可能取值的概率之和为1，本题中的取值只有0,1,2， 因此，故选项A正确； 选项B：将代入分布列公式求和得，解得，故选项B正确； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误. 8．(多选)（2026·河北沧州·二模）设随机变量的分布列为（，2，为常数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题可知，，， 所以，得，即，， 所以，，， 则. 9．(多选)（2026·河南·模拟预测）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 10．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设集合，该集合共含有16个点. 定义随机变量为点的坐标之和，即. 现从集合中扣除第一象限的特殊点（余下的 15 个点构成样本空间. 若从中随机选取一个点，该点对应的随机变量的数学期望___________. 【答案】 【详解】根据期望的线性性质，对有. 去掉点后，中所有的总和为，同理所有的总和也为. 共15个等概率点，故，， 因此. 11．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）某地区为了提升养老保障机制，组织相关的保险公司在该地区推广养老保险的相关产品，现在该地区随机抽取1名老人，其购买的养老保险产品的数量的所有可能取值为0，1，2，且，则___________． 【答案】0.44/ 【详解】设， 由题意得，解得， 故 12．（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设集合，该集合共含有16个点. 定义随机变量为点的坐标之和，即. 现从集合中扣除第一象限的特殊点（余下的 15 个点构成样本空间. 若从中随机选取一个点，该点对应的随机变量的数学期望___________. 【答案】 【详解】根据期望的线性性质，对有. 去掉点后，中所有的总和为，同理所有的总和也为. 共15个等概率点，故，， 因此. 13．（25-26高二下·吉林长春·期中）语文郭老师要从6篇课文中随机抽出3篇不同的课文让同学们背诵，规定要至少背诵出2篇才能及格. 张同学只会背诵其中的4篇. (1)设张同学抽到他会背诵的课文的数量为，求的分布列和期望； (2)求张同学能及格的概率. 【详解】（1）解：的可能取值为1，2，3， ，，， 故分布列为 所以； （2）设张同学及格为事件， 则. 14．（2026高三·全国·专题练习）设某运动员投篮投中的概率为． (1)求一次投篮时投中次数的期望和方差； (2)求重复5次投篮时投中次数的期望和方差． 【详解】（1）解：根据题意，可得随机变量的可能取值为， 可得，， 所以变量的分布列为 0 1 所以期望为； 方差为． （2）解：根据题意，可得随机变量服从二项分布， 由二项分布的期望公式，可得． 由二项分布的方差公式，可得． 15．（2026·上海·三模）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件与个合格零件的方法数是种， 因此. （2）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为. 16．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）在运用人工智能时，要避免AI幻觉，即AI模型解决一次问题生成看似合理但实际不正确的信息现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上9个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 幻觉率 0.13 0.18 0.29 0.15 0.19 0.29 0.3 0.16 0.4 (1)若独立地重复使用AI模型7处理8个不相关的问题，记随机变量为这8个问题回答中出现AI幻觉的个数，求； (2)若从这9个AI模型中随机抽取3个模型解答同一问题，以此避免AI幻觉，记随机变量为这3个模型中AI幻觉率小于0.2的个数，求； (3)在调查研究中发现，使用AI模型9解决相关问题时会出现较为有趣的现象，若当前问题解答出现了AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.5，若当前问题解答不出现AI幻觉，则下一个有关问题的解答出现AI幻觉的概率为0.2，那么若运用AI模型9解答5个相关问题，比较第1个问题与第5个问题出现AI幻觉率的大小． 【详解】（1）由题得，随机变量，故. （2）由题可得，，其中. 则，，，. 故随机变量的分布列为，故. 故，所以. （3）设事件：解答第个问题出现幻觉，则. 由全概率公式知，. 代入，整理得，其中，. 依次计算得，，，. 因此，，即第1个问题出现AI幻觉的概率比第5个问题出现AI幻觉的概率大. 17．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求和的值. 【详解】（1）设质点向右运动为事件，向左运动为事件，则. 当时，表示向右运动和向左运动的次数均为3， 所以. （2）当时，表示向右运动3次，向左运动2次， 所以. （3）设表示第次质点的位移， 则，则. 所以. 又，所以. 又. 所以. 能力进阶 1．（25-26高二下·河北石家庄·期末）设，随机变量的分布列如下： 当在内增大时，（     ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】C 【详解】由题意得，， 因为的取值为9，1，1，9，对应的概率不变， 所以， 根据方差公式， 则， 因为是开口向下的二次函数，二次项系数，对称轴为， 所以当时，单调递增；当时，单调递减． 因此当在内增大时，先增大后减小． 2．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）从1，2，3，…，10这十个数中随机抽取一个数记为X，再从1，2，…，X这X个数中随机抽取一个数记为Y，则数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得的可能取值为，. 的可能取值为， ， ， ， 从而，其中， 则 ， 注意到， 则. 3．（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此. 4．（2026·湖南长沙·二模）有5个不同的球，分别标有数字．从中有放回地随机取次，每次取1个球，记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，若，则的数学期望为___________，若（其中），则的数学期望为_________．（用表示） 【答案】 【详解】当时，的可能取值为，， 所以的数学期望为； 当时，假设随机变量，其中， 其中，则， 由球的等可能性，得， 由期望的线性性质，得， 依题意，球在单次抽取中未被取出的概率为， 则次均未取出球的概率为，球至少被取出一次的概率为， 因此，， 所以的数学期望为. 5．（2026高三·全国·专题练习）在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 是否存在值且，使得，请说明理由. 【答案】不存在， 假设存在且，使，即 又，即， 两式相比，整理得， 化简得，即 令则， 因为，所以在上存在唯一的，使得， 所以，即， 且当时，，当时，， 则在上为增函数，在上为减函数, 则 所以当时，, 即不存在值，使得. 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 【详解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，， 所以所求概率为 ， 所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为； （2）由（1）可知 ， 整理可得， 因为，，且， 所以，， 令，则， 所以，，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从， 又，所以，则由， 即，解得， 因为为正整数，所以n的最小值为． 7．（2026·河北沧州·一模）在概率论和统计学中，对于一个离散型随机变量，方差，期望运算为（，为常数）.对于任意的两个离散型随机变量，，可推广得协方差为，期望运算为.假设有两个独立的粒子探测器甲和乙，各自进行一系列实验检测粒子.记甲、乙各自进行次实验后检测到粒子的次数分别为，，且，. (1)当时，求. (2)求证：. (3)求满足的的值. 【详解】（1）由题意得，且，相互独立， 则 ， 所以. (2)证明：设，，， 因为，相互独立，所以. 所以 ， 所以. （3） . ， 由，得， 故. 当时，，当时，，当时，， 当时， ， 所以当且仅当时，. 真题实战 1．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________． 【答案】/ 【详解】因为随机变量的分布为，且， 所以，且， 解得. 2．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】/ 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 3．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 4．（2025·上海·高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望_________． 【答案】 【详解】由题设有. 故答案为：. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】/0.5 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 6．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________． 【答案】 ， / 【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，，  所以, 故答案为：，. 7．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【详解】（1）由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 8．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 米色内饰 8 12 棕色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立； (2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设： 假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。 假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。 假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。 请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。 【详解】（1）由给定的数表知，，，， 而，因此事件相互独立， 所以，事件相互独立. （2）设事件：外观和内饰均为同色，事件：外观内饰都异色，事件：仅外观或仅内饰同色， 依题意，；； ，则， 因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖； 外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖， 奖金额的可能值为：， 奖金额的分布列： 600 300 150 奖金额的期望（元）. 9．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【详解】（1）依题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 故. （2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 10．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 11．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 12．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $