第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦条件概率、事件相互独立性、乘法公式及全概率公式等核心考点，按概念辨析、公式应用到综合提升的逻辑架构知识体系，通过考情解读、知识梳理、重难突破及分层集训环节，帮助学生区分互斥与独立等易混点，掌握条件概率计算及全概率公式应用方法。 讲义突出数学思维与模型意识培养，如全概率公式教学中引导学生划分完备事件组，训练从题干提取关键信息的能力，设置基础、能力、真题三层练习，配合方法技巧总结，助力学生高效突破高频失分点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 条件概率 知识2 事件的相互独立性 知识3 概率的乘法公式 知识4 全概率公式与贝叶斯公式 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 条件概率的概念与简单计算 方法技巧 条件概率两种求解思路：定义法、缩减样本空间法 考点02 事件相互独立的判定与运算 方法技巧 互斥事件与相互独立事件的对比辨析 考点03 乘法公式的应用 考点04 全概率公式的模型与计算 方法技巧 全概率公式解题的 “完备事件组划分” 思维 考点05 条件概率、独立事件、全概率公式综合应用 方法技巧 利用诱导公式求值的解题策略 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.结合实例理解条件概率的现实含义，掌握条件概率计算公式，能够利用缩减样本空间法简化条件概率计算，分清条件概率与交事件概率的区别，发展数据分析与数学建模素养。 2.通过实例理解事件相互独立的数学定义，厘清相互独立与互斥事件概念差异；掌握独立事件的衍生性质，会利用独立事件公式完成概率运算。 3.理解概率乘法公式，体会分步试验中交事件概率的计算逻辑，能够在前提下使用求解交事件概率。 4．理解样本空间的划分（完备事件组），掌握全概率公式，会解决 “由因求果” 的实际概率问题；了解贝叶斯公式的现实意义，能够完成简单的 “执果索因” 计算，体会分类讨论思想在复杂随机问题中的应用。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 条件概率、事件相互独立 新高考Ⅰ卷 T12 新高考Ⅱ卷 T16 全国乙卷 T12 新高考Ⅰ卷 T18 新高考Ⅱ卷 T12 全国甲卷 T18 全概率、贝叶斯简单应用 全国甲卷 T18 (第 2 问) 新高考Ⅱ卷 T18 全国乙卷 T17 考情解读 条件概率、事件独立性、全概率公式是新教材新增重点内容，命题形式灵活，选择题、填空题侧重概念辨析，多选陷阱较多；解答题常结合实际生活情境考查全概率公式，难度中等。本节是后续学习二项分布、离散型随机变量分布列的重要基础，容易混淆互斥与独立、条件概率与交事件概率，是学生高频失分模块。 备考策略 备考立足教材，吃透概念，重视区分易混淆概念；熟练掌握条件概率两种计算途径；训练从实际题干识别完备事件组；规范全概率公式解答书写；强化文字信息提取训练，拒绝依靠生活直觉判断事件独立，坚持用数学定义做判定。 知识・归纳梳理 知识1条件概率 （1）条件概率定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． （2）两种计算方法 ①定义法：； ②缩减样本空间法：在事件A发生的前提下，把A看作新样本空间，。 （3） 条件概率的性质: ； 如果互斥，则。 知识2 事件的相互独立性 （1）定义：若，则称事件A与事件B相互独立。 （2）性质：若事件A，B相互独立，A与，与B，与也相互独立。 （3）辨析：互斥事件：；相互独立：； 若，则相互独立一定不互斥，互斥一定不独立。 知识3概率的乘法公式 由条件概率公式变形得到乘法公式： 若，则； 若，则。 当A，B相互独立时，，乘法公式退化为独立事件的概率公式。 知识4 全概率公式与贝叶斯公式 (1) 样本空间的划分（完备事件组） 若满足： ①两两互斥； ②； 则称为样本空间的一个划分。 (2) 全概率公式（由因求果） 设是样本空间的一个划分，且，则 (3)贝叶斯公式（执果索因，了解） 必记结论 1.看到词语 “已知…… 前提下”“在…… 发生时”，优先考虑条件概率； 2.全概率本质：分类加法，各个原因下发生事件A的概率加权求和； 3.独立不能靠主观感受判断，必须用验证。 重难・核心突破 考点01 条件概率的概念与简单计算 典例1．（2026·重庆北碚·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·陕西榆林·期末）甲、乙两位旅游博主准备独立随机地去，，，这4个景点中的某一个景点打卡，且每人选择每个景点的概率相等，事件表示甲、乙至少有1人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则_________. 方法技巧 条件概率两种求解思路：定义法、缩减样本空间法 1. 缩减样本空间法优先使用：把条件A发生当作新全集，只保留满足A的样本点，再数AB样本点；适合古典概型背景。 2. 定义法通用性更强，适用于一般概率情境，注意分母必须。 3. 审题标记关键词 “已知、在…… 条件下”，警惕把条件概率直接算成交事件概率。 【考法预测1】（2026·天津静海·期末）甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲、乙两位同学去的景点不同”，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）（25-26高二下·贵州安顺·期末）已知事件满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知随机事件A，B满足，，若，则________． 考点02 事件相互独立的判定与运算 典例1.（2026·广东深圳·期末）抛掷一枚均匀硬币，如果连续抛掷5次，那么第3次出现正面朝上的概率为（ ） A．1 B． C． D． 典例2．（2026·陕西咸阳·期末）已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（     ） A．事件，是相互对立事件 B．若事件，，两两互斥，则为必然事件 C．若事件，相互独立，则 D．若，则事件，相互独立 方法技巧 互斥事件与相互独立事件的对比辨析 1. 互斥：从集合角度，交集为空；独立：从概率数值，； 2. 当，互斥一定不独立；独立一定不互斥； 3. 判断独立，不能凭生活感觉，必须用定义验证； 4. 独立的拓展性质：当事件A，B相互独立，A与，与B，与也相互独立。 【考法预测1】（2026·辽宁沈阳·期中）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【考法预测2】（2026·天津高一下·期末）年天津“泥人张”非遗体验馆推出一款互动游戏：参与者需从两只独立的盲盒中各抽取一张卡片，每只盲盒中的卡片数字均为，且等可能出现．设表示“第一只盲盒抽到数字2”，表示“第一只盲盒抽到奇数”，表示“两张卡片的数字之和为6”，表示“两张卡片的数字之和为7”，则下列选项正确的是（     ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 考点03 乘法公式的应用 典例1．（2026·四川广安·期末）好成绩的取得离不开平时的努力训练．运动场上，甲、乙、丙三名足球运动员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为．已知，，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 典例2．团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A，B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 典例3．（2026·天津和平·期末）甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 【考法预测1】（2026·江苏无锡·期末）已知事件 与相互独立，，，则（   ） A．0.9 B．0.88 C．0.76 D．0.6 【考法预测2】为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·天津高一下·期末）世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 考点04 全概率公式的模型与计算 典例1．已知，为同一随机试验的两个随机事件，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 全概率公式解题的 “完备事件组划分” 思维 1. 读题寻找产生结果A的所有不同 “原因”，把原因作为完备事件组； 2. 检验完备事件组：两两互斥，合起来覆盖全部情况，不能漏情况，不能重复； 3. 分别写出每个原因发生概率，以及该原因下发生目标事件条件概率； 4. 代入公式加权求和；高考解答题需要书写公式，不能直接写结果。 【考法预测1】（2026·湖北随州·期末）设A，B是两个随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·河南郑州·期末）近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京高二下·期末）盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（    ） A． B． C．，独立 D．，独立 3．（2026·北京高二下·期末）设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·天津高二下·期末）甲、乙、丙3人独立地参加乒乓球比赛，已知甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，则在3人中恰有2人获胜的条件下，甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·广东清远·期末）一个盒内有大小形状一样的四个粽子，其中两个为豆沙馅，两个为蛋黄馅，每次从盒中随机取出1个粽子，取出的粽子不放回，若事件为“第一次取到的粽子为蛋黄馅”，事件为“第二次取到的粽子是豆沙馅”，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·河北衡水·阶段检测）设是一个随机试验中的两个事件，记，，则下列说法正确的是（   ） A．若相互独立，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2026·天津和平·期末）甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 9．（2026·河北雄安·开学考试）某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 能力进阶 1．（2026·四川广安·期末）好成绩的取得离不开平时的努力训练．运动场上，甲、乙、丙三名足球运动员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为．已知，，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 2．（2026·北京高二下·期末）盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（    ） A． B． C．，独立 D．，独立 3．（2023·广东深圳·模拟预测）现将0－9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足的填法的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北唐山·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·河南商丘·期末）现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（2025·福建厦门·阶段检测）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（2026·福建三明·期末）已知随机事件A，B满足：，，下列选项正确的是（   ） A． B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·河北唐山·期末）已知随机事件，发生的概率，，若，事件，分别表示不发生，不发生和至少有一个发生，则________，________. 9．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 真题实战 1．（2022·全国乙卷·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 3．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 5．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 6．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 条件概率 知识2 事件的相互独立性 知识3 概率的乘法公式 知识4 全概率公式与贝叶斯公式 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 条件概率的概念与简单计算 方法技巧 条件概率两种求解思路：定义法、缩减样本空间法 考点02 事件相互独立的判定与运算 方法技巧 互斥事件与相互独立事件的对比辨析 考点03 乘法公式的应用 考点04 全概率公式的模型与计算 方法技巧 全概率公式解题的 “完备事件组划分” 思维 考点05 条件概率、独立事件、全概率公式综合应用 方法技巧 利用诱导公式求值的解题策略 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.结合实例理解条件概率的现实含义，掌握条件概率计算公式，能够利用缩减样本空间法简化条件概率计算，分清条件概率与交事件概率的区别，发展数据分析与数学建模素养。 2.通过实例理解事件相互独立的数学定义，厘清相互独立与互斥事件概念差异；掌握独立事件的衍生性质，会利用独立事件公式完成概率运算。 3.理解概率乘法公式，体会分步试验中交事件概率的计算逻辑，能够在前提下使用求解交事件概率。 4．理解样本空间的划分（完备事件组），掌握全概率公式，会解决 “由因求果” 的实际概率问题；了解贝叶斯公式的现实意义，能够完成简单的 “执果索因” 计算，体会分类讨论思想在复杂随机问题中的应用。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 条件概率、事件相互独立 新高考Ⅰ卷 T12 新高考Ⅱ卷 T16 全国乙卷 T12 新高考Ⅰ卷 T18 新高考Ⅱ卷 T12 全国甲卷 T18 全概率、贝叶斯简单应用 全国甲卷 T18 (第 2 问) 新高考Ⅱ卷 T18 全国乙卷 T17 考情解读 条件概率、事件独立性、全概率公式是新教材新增重点内容，命题形式灵活，选择题、填空题侧重概念辨析，多选陷阱较多；解答题常结合实际生活情境考查全概率公式，难度中等。本节是后续学习二项分布、离散型随机变量分布列的重要基础，容易混淆互斥与独立、条件概率与交事件概率，是学生高频失分模块。 备考策略 备考立足教材，吃透概念，重视区分易混淆概念；熟练掌握条件概率两种计算途径；训练从实际题干识别完备事件组；规范全概率公式解答书写；强化文字信息提取训练，拒绝依靠生活直觉判断事件独立，坚持用数学定义做判定。 知识・归纳梳理 知识1条件概率 （1）条件概率定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． （2）两种计算方法 ①定义法：； ②缩减样本空间法：在事件A发生的前提下，把A看作新样本空间，。 （3） 条件概率的性质: ； 如果互斥，则。 知识2 事件的相互独立性 （1）定义：若，则称事件A与事件B相互独立。 （2）性质：若事件A，B相互独立，A与，与B，与也相互独立。 （3）辨析：互斥事件：；相互独立：； 若，则相互独立一定不互斥，互斥一定不独立。 知识3概率的乘法公式 由条件概率公式变形得到乘法公式： 若，则； 若，则。 当A，B相互独立时，，乘法公式退化为独立事件的概率公式。 知识4 全概率公式与贝叶斯公式 (1) 样本空间的划分（完备事件组） 若满足： ①两两互斥； ②； 则称为样本空间的一个划分。 (2) 全概率公式（由因求果） 设是样本空间的一个划分，且，则 (3)贝叶斯公式（执果索因，了解） 必记结论 1.看到词语 “已知…… 前提下”“在…… 发生时”，优先考虑条件概率； 2.全概率本质：分类加法，各个原因下发生事件A的概率加权求和； 3.独立不能靠主观感受判断，必须用验证。 重难・核心突破 考点01 条件概率的概念与简单计算 典例1．（2026·重庆北碚·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率的性质和公式计算，再结合对立事件的概率公式即可求解. 【详解】已知，， 根据条件概率公式，得， 根据条件概率的性质，在事件发生的条件下，事件发生与事件不发生是对立事件， 所以， 因此，故A正确. 典例2．（2026·陕西榆林·期末）甲、乙两位旅游博主准备独立随机地去，，，这4个景点中的某一个景点打卡，且每人选择每个景点的概率相等，事件表示甲、乙至少有1人去景点，事件表示甲、乙去相同的景点，则_________. 【答案】 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，则， 事件表示甲乙两人都去A景点，则， 所以. 方法技巧 条件概率两种求解思路：定义法、缩减样本空间法 1. 缩减样本空间法优先使用：把条件A发生当作新全集，只保留满足A的样本点，再数AB样本点；适合古典概型背景。 2. 定义法通用性更强，适用于一般概率情境，注意分母必须。 3. 审题标记关键词 “已知、在…… 条件下”，警惕把条件概率直接算成交事件概率。 【考法预测1】（2026·天津静海·期末）甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲、乙两位同学去的景点不同”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型下的条件概率公式，分别计算事件、事件的基本事件个数，代入公式求解. 【详解】甲选择景点共4种方法，乙选择与甲不同的景点共3种方法，丙、丁无额外限制，各有4种选择， 因此. 事件表示“4位同学去的景点各不相同且甲、乙景点不同”，若4人去的景点各不相同，则甲、乙景点必然不同， 因此等价于事件，其基本事件数为4个景点的全排列：. 所以. 【考法预测2】（多选）（25-26高二下·贵州安顺·期末）已知事件满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：因为，所以，所以，故A正确； 选项B：因为，所以事件发生事件一定发生，所以， 因此，故B错误； 选项C：由条件概率公式，故C正确； 选项D：由条件概率公式，或理解为事件发生事件一定发生，故D正确. 【考法预测3】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知随机事件A，B满足，，若，则________． 【答案】 【分析】应用条件概率计算求解. 【详解】由条件概率公式可得，， 代入已知等式得，解得. 考点02 事件相互独立的判定与运算 典例1.（2026·广东深圳·期末）抛掷一枚均匀硬币，如果连续抛掷5次，那么第3次出现正面朝上的概率为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立事件概率的性质求解即可. 【详解】因为抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率都为， 所以第3次出现正面朝上的概率仍为. 典例2．（2026·陕西咸阳·期末）已知，，为随机事件，且，，，则下列结论正确的有（     ） A．事件，是相互对立事件 B．若事件，，两两互斥，则为必然事件 C．若事件，相互独立，则 D．若，则事件，相互独立 【答案】C 【分析】区分互斥、对立、独立：互斥仅无交集，对立事件需并集为必然，独立靠判定，逐一分析选项即可. 【详解】选项A，，所以A和B不是对立事件， A错误； 选项B，若两两互斥，则，概率为1的事件不一定是必然事件，仅由无法推出其为必然事件，B错误； 选项C，若相互独立，则 ， C正确； 选项D，若，则 ，而，所以和不相互独立，D错误. 方法技巧 互斥事件与相互独立事件的对比辨析 1. 互斥：从集合角度，交集为空；独立：从概率数值，； 2. 当，互斥一定不独立；独立一定不互斥； 3. 判断独立，不能凭生活感觉，必须用定义验证； 4. 独立的拓展性质：当事件A，B相互独立，A与，与B，与也相互独立。 【考法预测1】（2026·辽宁沈阳·期中）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【详解】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 【考法预测2】（2026·天津高一下·期末）年天津“泥人张”非遗体验馆推出一款互动游戏：参与者需从两只独立的盲盒中各抽取一张卡片，每只盲盒中的卡片数字均为，且等可能出现．设表示“第一只盲盒抽到数字2”，表示“第一只盲盒抽到奇数”，表示“两张卡片的数字之和为6”，表示“两张卡片的数字之和为7”，则下列选项正确的是（     ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【详解】两盒各取一张，共有种可能结果， 表示“第一只盲盒抽到数字2”，则； 表示“第一只盲盒抽到奇数”，则； 表示“两张卡片的数字之和为6”，有共5种结果， 则； 表示“两张卡片的数字之和为7”，有共6种结果， 则； 与互斥，但二者并集仅包含和为6，7的情况，未覆盖所有样本点， 不是对立事件，故A错误； 对应共3种情况，， ，故，两者相等， 故与为相互独立事件，故B正确； 仅对应1种情况，则， ，则，不满足独立条件，故C错误； 与中等情况可以同时发生，不满足互斥条件，故D错误． 考点03 乘法公式的应用 典例1．（2026·四川广安·期末）好成绩的取得离不开平时的努力训练．运动场上，甲、乙、丙三名足球运动员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为．已知，，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则第n次传球之前球不在甲脚下的概率为，, 即，. 典例2．团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A，B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况：①前3局A两胜一负，第四局A胜；②前3局A一胜两负，第四局A负． 则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为． 典例3．（2026·天津和平·期末）甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 【答案】 /0.5 【分析】根据事件独立性的概率公式进行求解；根据对立事件的概率公式进行求解. 【详解】分别记事件甲、乙、丙独立地破译密码为A,B,C . 由题意可知，，， 解得，，. 所以乙独立破译该密码的概率为； 甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率. 【考法预测1】（2026·江苏无锡·期末）已知事件 与相互独立，，，则（   ） A．0.9 B．0.88 C．0.76 D．0.6 【答案】C 【分析】首先利用独立事件的乘法公式求出，再根据加法公式求出. 【详解】因为与相互独立，所以， 所以. 【考法预测2】为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率性质，先计算甲、乙两人均未猜对的概率，再用1减去该概率得到所求结果。 【详解】设事件为“甲猜对谜语”，事件为“乙猜对谜语”，，，，， 由题意可知与相互独立，则 与相互独立， “甲、乙至少有1人猜对”的对立事件为“甲、乙两人均未猜对”， 所以甲、乙至少有1人猜对的概率为： . 【考法预测3】（2026·天津高一下·期末）世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为，甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．则乙能被录用的概率为______，甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率为______． 【答案】 【分析】根据独立事件的概率计算公式进行计算． 【详解】设事件A为甲能被录用，事件B为乙能被录用，事件C为丙能被录用； 则，，； 因为甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立， 故， 解得，故； ，解得； 故甲、乙、丙三人至少有两人能被录用包含事件甲乙录用丙不录用，甲丙录用乙不录用，乙丙录用甲不录用，甲乙丙都被录用四种情况， 即， 根据这四个事件两两互斥可得； 故． 考点04 全概率公式的模型与计算 典例1．已知，为同一随机试验的两个随机事件，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入全概率公式，即可求解. 【详解】， ，得. 典例2．（2026·内蒙古巴彦淖尔·期末）1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解. 【详解】设事件表示选中号箱子，事件表示从选出的箱子中取出1个球是红球， 则，，， 所以， 则. 方法技巧 全概率公式解题的 “完备事件组划分” 思维 1. 读题寻找产生结果A的所有不同 “原因”，把原因作为完备事件组； 2. 检验完备事件组：两两互斥，合起来覆盖全部情况，不能漏情况，不能重复； 3. 分别写出每个原因发生概率，以及该原因下发生目标事件条件概率； 4. 代入公式加权求和；高考解答题需要书写公式，不能直接写结果。 【考法预测1】（2026·湖北随州·期末）设A，B是两个随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 事件可以拆分为两个互斥事件的和：，则， ， ， 代入上式得到全概率公式：， 【考法预测2】（2026·辽宁大连·期末）在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，三个地区人口数之比为．现从这三个地区中任意选取一人，如果此人患了流感，则此人来自丙地区的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用全概率公式计算任选一人为流感患者的概率，再通过贝叶斯公式求解该患者来自丙地区的条件概率. 【详解】设事件为“选取的人是流感患者”，事件分别表示此人来自甲、乙、丙地区. 由三个地区人口数之比为，可得各地区的选取概率： ，，， 由题意得各地区患流感的条件概率：，，. 根据全概率公式，任选一人为流感患者的概率为： . 再根据贝叶斯公式，已知此人患流感时来自丙地区的概率为： 【考法预测3】（2026·天津静海·阶段检测）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首．若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为________；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为________． 【答案】 【详解】设事件为“该同学选择抒情歌演唱”，事件为“该同学选择流行歌演唱”，事件为“该同学选择摇滚歌演唱”，事件为“该同学晋级下一轮”． 由题意可得：，，，，，． 根据全概率公式可得：， 即， 则他能晋级的概率为． 根据贝叶斯公式可得：， 则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为． 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·河南郑州·期末）近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可得， “甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则， 由条件概率公式可得. 2．（2026·北京高二下·期末）盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（    ） A． B． C．，独立 D．，独立 【答案】C 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 3．（2026·北京高二下·期末）设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，事件“”表示与至少有一个发生，其概率应为：， 由于相互独立，所以，故，所以A错误； 对于B选项，对于独立事件，正确的乘法公式是：，所以B错误； 对于C选项，由条件概率公式：，因为相互独立，所以， 代入上式：， 所以C正确； 对于D选项，由C选项已得，而题目并没有给出的条件， 所以一般不等于，例如：若，，则，所以D错误． 4．（2026·天津高二下·期末）甲、乙、丙3人独立地参加乒乓球比赛，已知甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，则在3人中恰有2人获胜的条件下，甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件：甲获胜，事件：乙获胜，事件：丙获胜， 则， 三人失败概率：， 设事件：3人中恰有2人获胜， 则恰有 2 人获胜有三种情况： 甲、乙胜，丙负，， 甲、丙胜，乙负，， 乙、丙胜，甲负，， 则恰两人获胜的总概率为 ， 事件 表示“恰两人获胜且甲获胜”， 对应上述第一种、第二种情况（乙丙胜无甲，不符合条件），两种情况互斥， ， ，故选项D正确. 5．（2026·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 6．（多选）（2026·广东清远·期末）一个盒内有大小形状一样的四个粽子，其中两个为豆沙馅，两个为蛋黄馅，每次从盒中随机取出1个粽子，取出的粽子不放回，若事件为“第一次取到的粽子为蛋黄馅”，事件为“第二次取到的粽子是豆沙馅”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项 A，第一次共 4 个，蛋黄馅2 个, ， A 正确； 选项 B，事件：第一次蛋黄馅、第二次豆沙馅, ，B 正确； 选项 C，，C 正确； 选项 D，是第一次取豆沙馅，拿走 1 个豆沙后，剩余 3 个（1 个豆沙馅， 2 个蛋黄馅）， 所以,D 错. 7．（多选）（2026·河北衡水·阶段检测）设是一个随机试验中的两个事件，记，，则下列说法正确的是（   ） A．若相互独立，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由和事件概率加法公式得到，再结合独立事件概率乘法公式，条件概率计算公式，对立事件概率计算公式逐项判断即可. 【详解】由， 代入， 得： ， 选项A，若相互独立，根据独立事件定义：， 代入​，得，A正确， 选项B，若，则​，B错误， 选项C，根据条件概率公式​， 代入，得： ， ​ 因此，对立事件概率，C正确， 选项D， ，D正确. 8．（2026·天津和平·期末）甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 【答案】 /0.5 【分析】根据事件独立性的概率公式进行求解；根据对立事件的概率公式进行求解. 【详解】分别记事件甲、乙、丙独立地破译密码为A,B,C . 由题意可知，，， 解得，，. 所以乙独立破译该密码的概率为； 甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率. 9．（2026·河北雄安·开学考试）某单位举行了一次有奖竞猜活动，活动内容为主持人准备了4个形状、大小相同的小球，在其中一个里面放入获奖信息（主持人知道哪个小球里面有奖），由参与者首先进行抽取（不打开），之后主持人会从剩余的3个小球中随机打开一个未放入获奖信息的小球.已知一名参与者选择了1号小球，则在主持人打开2号小球的情况下，获奖信息在4号小球的概率为__________. 【答案】/0.375 【分析】利用全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式计算得解. 【详解】用表示号小球内有获奖信息，用表示主持人打开号小球， 依题意，， 又， 则， 所以所求概率为 能力进阶 1．（2026·四川广安·期末）好成绩的取得离不开平时的努力训练．运动场上，甲、乙、丙三名足球运动员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为．已知，，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则第n次传球之前球不在甲脚下的概率为，, 即，. 2．（2026·北京高二下·期末）盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（    ） A． B． C．，独立 D．，独立 【答案】C 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 3．（2023·广东深圳·模拟预测）现将0－9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足的填法的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先填第四行：取这10个数中最大数作为，剩余位置任取3个数填入；填第三行：取剩余6个数中最大数作为，剩余位置任取2个数填入；填第二行：取剩下3个数中最大数作为，剩余位置任取1个数，最后剩下的1个数作为，即可求出所有满足要求的情况，根据古典概型公式计算即可． 方法二：分别讨论最大的数在第4行，前3行中最大的数在第3行，前2行中最大的数在第2行的概率，然后由相互独立事件的概率乘法公式可得． 【详解】方法一： 由题可知， 第四行：，可选位置有4个，其余位置任取3个数，共有种情况； 第三行：取剩下6个数中最大的数为，可选位置有3个，其余位置任取2个数，共有种情况； 第二行：取剩下3个数中最大的数为，可选位置有2个，其余位置任取1个数，共有种情况； 第一行：最后1个数作为， 所有满足的填法共有种情况，位置不限的情况共有种， 故满足填法的概率为：， 方法二： 最大的数在第4行的概率， 在前3行中，最大的数在第3行的概率， 在前2行中，最大的数在第2行的概率， 则的概率， 故选：C． 4．（2026·河北唐山·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确. 对于B：， 变形可得，故B错误. 对于C：，故C正确. 对于D：，则有， 故，故D正确. 5．（2026·河南商丘·期末）现有甲、乙、丙三个车间生产某种产品，其中甲车间每日生产件，乙车间每日生产件，丙车间每日生产件，产品的合格率分别为、、，现随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品，利用全概率公式求出的值，再结合条件概率公式求出的值. 【详解】记事件、、分别表示随机抽取的件产品为甲、乙、丙车间生产的，事件为随机抽取件产品检验为不合格品， 则，， 且，，， 由全概率公式可得 ， 由条件概率公式可得. 所以随机抽取件产品送去检验，若抽取的该件产品经检验为不合格品，则该产品来自丙车间的概率为. 6．（2025·福建厦门·阶段检测）一个书包中有标号为“”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果从张卡片中依次取卡，按前张卡片是否为张单张分类，若为3张单张则结束操作；由在前3张卡片中含一对卡片的条件下书包中全部卡片被拿走的概率为，利用概率乘法公式可表达，利用，依次表示求解可得. 【详解】若，书包中有标号为“”的张卡片， 则他手中不可能有3张单张卡片，即书包中卡片必全部被拿走，故. 由于从张卡片中任取张共有种选法，可分两类： 一类是前张卡片为张单张（操作结束，不可能全部卡片被拿走）； 另一类是前张卡片中含一对卡片. 由前张卡片中含一对卡片的选法共有种， 故前张卡片中含一对卡片的概率为 ； 而将这一对卡片拿掉后，相当于从对卡片中已拿出一张卡片， 即在前张卡片中含一对卡片的条件下，书包中全部卡片被拿走的概率为， 则由概率乘法公式可知，，且. 所以. 故选：C. 7．（多选）（2026·福建三明·期末）已知随机事件A，B满足：，，下列选项正确的是（   ） A． B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于选项A，，因为没有给出是独立或互斥，所以不确定，故选项A不正确； 对于选项B，因为A与B互斥，所以，.故选项B正确； 对于选项C，，而， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由，得， 所以，所以有， 又，所以. ，又， 所以，故选项D正确. 8．（2024·河北唐山·期末）已知随机事件，发生的概率，，若，事件，分别表示不发生，不发生和至少有一个发生，则________，________. 【答案】 0.8/ 0.6/ 【详解】由题意得，， 所以，， 因为表示至少有一个发生，所以， 同理表示至少有一个不发生，所以， 则， 又，所以， 所以. 9．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 真题实战 1．（2022·全国乙卷·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______． 【答案】0.85 【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 3．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 【答案】 【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率. 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则. 故答案为：；. 4．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 5．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 6．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)不变 【分析】（1）计算表格中的的次数，然后根据古典概型进行计算； （2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算； （3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第天的情况. 【详解】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)岁； (2)； (3)． 【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出； （2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出； （3）根据条件概率公式即可求出． 【详解】（1）平均年龄     （岁）． （2）设“一人患这种疾病的年龄在区间”，所以 ． （3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： , 则由条件概率公式可得 从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $