第05讲 古典概型与概率的基本性质（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦古典概型与概率基本性质核心考点，按考情分析、知识梳理、重难突破、分层集训的逻辑架构整合内容，通过考点精析、方法归纳（如古典概型三步策略）、真题实战等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破等可能性判断、互斥事件应用等难点。 资料以分层提能为特色，基础演练夯实概念理解，能力进阶强化综合应用，真题实战对接高考命题。创新采用“问题情境—模型识别—概率计算”教学路径，如通过连续掷骰子问题培养数学思维，结合劳动积分等实例提升用数学语言表达现实问题的能力，为教师精准把控复习节奏、学生高效提升应考能力提供有力支持。

第05讲 古典概型与概率的基本性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 古典概型 知识2 概率的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 古典概型 方法技巧 古典概型解题三步策略 考点02 概率基本性质的应用 考点03 古典概型的综合应用 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1. 抓住古典概型有限性、等可能性两大核心特征，能够识别古典概型模型，会计算简单古典概型问题，理解公式适用前提，不盲目套用公式； 2．掌握概率的基本性质，理解互斥事件的概率加法公式、对立事件概率公式，能够利用性质化简概率运算，体会转化与化归思想，为后续条件概率、随机变量分布列的学习打下基础。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 古典概型 新高考Ⅰ卷 T8 全国甲卷 T13 全国乙卷 T9 新高考Ⅱ卷 T17 (第 1 问) 新高考Ⅰ卷 T14 全国甲卷 T16 概率的基本性质 新高考Ⅱ卷 T4 新高考Ⅰ卷 T12 新高考Ⅱ卷 T7 考情解读 古典概型与概率的基本性质属于高考概率模块的基础内容，多以选择、填空题出现，也经常作为概率解答题的第一步工具，难度中等偏低。重点考查模型识别，易错点集中在等可能性判断、有放回与无放回抽样区分，是概率大题的底层基础，必须做到基础题稳拿分。 备考策略 备考立足教材，吃透古典概型及其概率计算公式，重视文字情境审题，会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率。 知识・归纳梳理 知识1 古典概型 (1)两个特征 (2)计算公式 设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==. 其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 知识2 概率的性质 性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0; 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B); 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B); 性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1. 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 重难・核心突破 考点01 古典概型 典例1．下列模型中，是古典概型的为（    ） A．从一部分零件中任意抽取一个，测其长度 B．种一粒种子，观察它是否能够发芽 C．抛掷一枚均匀的骰子，观察向上的面的点数 典例2．（2026·福建南安·阶段测试）从四个连续的自然数中随机选取两个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 典例3．将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 方法技巧 古典概型解题三步策略 1.判模型：先判断试验是否同时具备有限性、等可能性，不满足则不能套用古典概型公式； 2.数样本：写出样本空间，确定总样本点数；再统计事件A包含样本点数；优先列举（列表、树状图），复杂情况再用排列组合；分清有序、无序；分清有放回、无放回； 3.代公式：计算概率。 【考法预测1】随机地掷出三枚质地均匀点数分别为的正方体骰子，所得点数之和为素数的概率为_____． 【考法预测2】（2026·湖南长沙高一下·期末）一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 考点02 概率基本性质的应用 典例1.（2026·河南高一下·期末联考）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 典例2．（2026·湖北武汉·期末）已知随机事件、满足，，，则__________． 方法技巧 概率性质解题策略 1. 看到 “至少、至多” 优先思考对立事件，减少分类计算量； 2. 使用互斥加法公式，必须先确认事件互斥；不互斥不能直接相加； 3. 区分：互斥（交为空）；对立（交为空，并且并为全集）； 4. 子集关系：A发生则B一定发生，则。 【考法预测1】（2026·山东烟台·期末）已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立事件 C． D． 【考法预测2】（2026·安徽六安·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【考法预测3】甲、乙、丙、丁四人参加米接力赛，他们跑每一棒的概率均为．求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率． 考点03 古典概型的综合应用 典例1．（2026·广东广州·期末）甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．第1次由甲将球传出，则3次传球后球在丙手中的概率为______． 典例2．（2026·广东梅州·期末）已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合A，B中随机抽取2个不同的元素各构成最大的两位数X和Y，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 典例3．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中任意摸出2个球． （1）求这两只球都是白球的概率． （2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率． 方法技巧 古典概型综合题解题策略 1. 复杂事件可以拆解为若干互斥子事件，分别求概率再相加； 2. “至少、至多” 优先考虑对立事件，避免多组分类漏算； 3. 新高考文字情境长，先把文字翻译成样本、事件； 4. 注意：如果题目为后续大题铺垫，求出各个事件概率，为写分布列做准备。 【考法预测1】（2026·黑龙江大庆·期末）我省高考实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生需在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均相等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为_________． 【考法预测2】（2026·河南新乡·期末）某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动．活动结束后，学校根据学生的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分．现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践积分数据，整理如下表： 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 (1)从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率． (2)假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生． （ⅰ）估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ）估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率． 拔高・分层集训 基础演练 1．下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 2．（2026·安徽高一下·期末）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种.石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平.小明和小泽玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 3．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津高一下·期末）下列说法错误的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 5．（2026·山西长治·期末）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 6．（多选）（2026·山东济南·期末）在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是（    ） A．抛掷次，事件“正面朝上”发生的次数可能是 B．抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥 C．抛掷次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为 D．抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立 7．（多选）（2026·广东广州·期末）盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（    ） A． B． C． D．事件与相互独立 8．（2026·山西吕梁·期末）为弘扬科技创新精神，学校准备了2张航天主题、2张人工智能主题的科普宣传海报，现从中随机抽取2张，则抽到的两张海报为不同主题的概率是________. 9．（2026·山东烟台·期末）现有编号为1，3，5的三个大小质地完全相同的小球与编号为2，4，6的三个盒子.若从这三个小球中任取一个随机放入其中一个盒子，则该小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________.若将这三个小球全部随机放入三个盒子中，每个盒子均放入一个小球，则恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________. 能力进阶 1．（2026·陕西高一下·期末）将四位数2026的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，求选出不多于4名女士兵的概率．（　　） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 5．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选）（2026·重庆渝中·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一组数据的方差大于另一组数据的方差 B．同时抛掷两枚大小相同、质地均匀的硬币，则出现一枚正面和一枚反面朝上的概率为 C．若事件发生的概率非零且为互斥事件，则为相互独立事件 D．若一组数据，则其第40百分位数为2.5 7．（多选）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品数量可能有（    ） A．3件 B．4件 C．5件 D．6件 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率为 B．一箱12罐的饮料中有2罐有奖券，从中任意抽取2罐，这2罐中有奖券的概率为 C．一个袋子中有4个红球，n个绿球，不放回地从中随机取出两个球，若取出的两球都是红球的概率为，则 D．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，相比3局2胜制，5局3胜制对甲更有利 9．（2026·青海西宁·期末）如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________． 10．（2026·甘肃白银·期末）九宫格填数游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上至中不重复的整数，小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 真题实战 1．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 7．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 8．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 古典概型与概率的基本性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 古典概型 知识2 概率的性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 古典概型 方法技巧 古典概型解题三步策略 考点02 概率基本性质的应用 考点03 古典概型的综合应用 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1. 抓住古典概型有限性、等可能性两大核心特征，能够识别古典概型模型，会计算简单古典概型问题，理解公式适用前提，不盲目套用公式； 2．掌握概率的基本性质，理解互斥事件的概率加法公式、对立事件概率公式，能够利用性质化简概率运算，体会转化与化归思想，为后续条件概率、随机变量分布列的学习打下基础。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 古典概型 新高考Ⅰ卷 T8 全国甲卷 T13 全国乙卷 T9 新高考Ⅱ卷 T17 (第 1 问) 新高考Ⅰ卷 T14 全国甲卷 T16 概率的基本性质 新高考Ⅱ卷 T4 新高考Ⅰ卷 T12 新高考Ⅱ卷 T7 考情解读 古典概型与概率的基本性质属于高考概率模块的基础内容，多以选择、填空题出现，也经常作为概率解答题的第一步工具，难度中等偏低。重点考查模型识别，易错点集中在等可能性判断、有放回与无放回抽样区分，是概率大题的底层基础，必须做到基础题稳拿分。 备考策略 备考立足教材，吃透古典概型及其概率计算公式，重视文字情境审题，会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率。 知识・归纳梳理 知识1 古典概型 (1)两个特征 (2)计算公式 设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==. 其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 知识2 概率的性质 性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1; 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0; 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B); 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B); 性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1. 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 重难・核心突破 考点01 古典概型 典例1．下列模型中，是古典概型的为（    ） A．从一部分零件中任意抽取一个，测其长度 B．种一粒种子，观察它是否能够发芽 C．抛掷一枚均匀的骰子，观察向上的面的点数 D．统计甲、乙两人射击的成绩，分析两人击中靶子的概率 【答案】C 【分析】根据古典概型的定义，特征，即可判断选项 【详解】选项A中，长度的值出现的可能性不一定相同，故不是古典概型，A错误； 选项B中，发芽与不发芽的可能性不一定相等，故不是古典概型，B错误； 选项D中，击中靶子与否的概率不一定相等，不满足等可能性，故不是古典概型，D错误； 选项C中出现的结果为1点至6点，结果是有限个，并且由于骰子均匀，因此每个点数向上的可能性相同，满足古典概型的两个特征，故是古典概型，C正确. 故选：C. 典例2．（2026·福建南安·阶段测试）从四个连续的自然数中随机选取两个不同的数，则两数之和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设出四个连续自然数，再利用列举法列出所有可能性，从而利用古典概型求出概率. 【详解】设四个连续的自然数分别为n，n+1，n+2，n+3， 则随机取两个数的和分别为，，， ，， 所以这6个和中有2个是偶数， 所以和为偶数的概率为， 故选：A． 典例3．将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 【答案】 【分析】设表示掷两次骰子前一次出现点数为，后一次出现点数为，然后把所有情况列举出来，再把满足条件的情况列举出来，最后利用古典概型概率求解即可. 【详解】设表示掷两次骰子前一次出现点数为，后一次出现点数为， 则所有情况为： ， ， ， ， ， ，共36种情况； 其中后一次所得点数不小于前一次所得点数的情况有： ， ，共21种情况； 所以所求概率为：， 故答案为：. 方法技巧 古典概型解题三步策略 1.判模型：先判断试验是否同时具备有限性、等可能性，不满足则不能套用古典概型公式； 2.数样本：写出样本空间，确定总样本点数；再统计事件A包含样本点数；优先列举（列表、树状图），复杂情况再用排列组合；分清有序、无序；分清有放回、无放回； 3.代公式：计算概率。 【考法预测1】随机地掷出三枚质地均匀点数分别为的正方体骰子，所得点数之和为素数的概率为_____． 【答案】 【分析】找出符合条件的和，每组和优先按照最大点数分情况列举，基于古典概型计算对样本点等可能性的要求，进一步考虑顺序求解即可. 【详解】符合条件的和为，每组和优先按照最大点数分情况列举，在不计顺序时对应的数组为 ； ； ； ； ； ． 基于古典概型计算对样本点等可能性的要求，进一步考虑顺序：按照3个骰子出现的点数分别是1个数，2个数和3个数分类后记个数，得所求概率为，故答案为： 【考法预测2】（2026·湖南长沙高一下·期末）一个盒子中装有6个小球，其中3个红球，2个黑球和1个白球． (1)采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，求这2个球颜色相同的概率； (2)采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，求第二次取到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）一个盒子中装有6个小球， 其中3个红球记为，2个黑球记为和1个白球记为， 采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共36种， 记这2个球颜色相同为事件A，它包含的基本事件为：，共14种， 故． （2）采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件为： ，共30种， 记第二次取到红球为事件B,它包含的基本事件为：共15种， 故． 考点02 概率基本性质的应用 典例1.（2026·河南高一下·期末联考）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 【答案】C 【分析】结合对立事件概率性质、事件包含关系的概率特点、概率加法公式逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，根据对立事件的概率公式，得，故选项A正确； 对于选项B，因为，所以，故选项B正确； 对于选项C，根据概率的加法公式， 得，故选项C错误； 对于选项D，因为事件互斥，所以， 因此，故选项D正确. 典例2．（2026·湖北武汉·期末）已知随机事件、满足，，，则__________． 【答案】. 【详解】事件可拆分为互斥事件与，即, 由互斥事件加法公式 ,所以 解得： 事件可拆分为互斥事件与，即 , 同理 所以，. 方法技巧 概率性质解题策略 1. 看到 “至少、至多” 优先思考对立事件，减少分类计算量； 2. 使用互斥加法公式，必须先确认事件互斥；不互斥不能直接相加； 3. 区分：互斥（交为空）；对立（交为空，并且并为全集）； 4. 子集关系：A发生则B一定发生，则。 【考法预测1】（2026·山东烟台·期末）已知一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子两次，观察并记录它每次落地时朝上的面的数字.记事件“两次数字之和为偶数”，事件“第次的数字为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，以及概率加法公式、独立事件概率乘法公式，古典概型概率计算规则逐一判断选项正误即可. 【详解】∵ 抛掷两次骰子，每次出现奇数、偶数的概率均为，且两次抛掷结果相互独立. 事件为两次数字之和为偶数，等价于两次均为奇数或两次均为偶数， ∴ . 事件为第次数字为奇数，故. 对于选项A，当第一次数字为奇数、第二次数字也为奇数时，事件与同时发生， ∴ 事件与不互斥，A错误. 对于选项B，对立事件要求两事件不能同时发生，且并集为样本空间、概率和为1， 当两次数字均为奇数时，与同时发生， ∴ 与不是对立事件，B错误. 对于选项C，由概率加法公式： ，其中表示第一次为奇数且两次和为偶数，即第二次也为奇数， 故， ∴ . 同理， ∴ ，C错误. 对于选项D，，表示两次均为奇数，概率为， ∴ ，D正确. 【考法预测2】（2026·安徽六安·期末）已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】利用概率的性质结合已知即可推出①正确；再利用和事件的概率公式，即可得出判断． 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 【考法预测3】甲、乙、丙、丁四人参加米接力赛，他们跑每一棒的概率均为．求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率． 【答案】 【分析】设事件“甲跑第一棒”，事件“乙跑第四棒”，则，．然后运用古典概型，结合列举法求出.再用并事件概率公式计算即可. 【详解】设事件“甲跑第一棒”，事件“乙跑第四棒”， 则，． 记甲跑第棒，乙跑第棒为，则共有12个样本点，样本空间． 甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即，故． 所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率 考点03 古典概型的综合应用 典例1．（2026·广东广州·期末）甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．第1次由甲将球传出，则3次传球后球在丙手中的概率为______． 【答案】 【详解】每次传球时，传球者有2种可选的传球对象， 因此3次传球的所有等可能基本事件总数为， 列举得第3次传球后球在丙手中的基本事件为： ①甲→乙→甲→丙；②甲→丙→甲→丙；③甲→丙→乙→丙，共3种． 根据古典概型概率公式得：． 典例2．（2026·广东梅州·期末）已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合A，B中随机抽取2个不同的元素各构成最大的两位数X和Y，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______． 【答案】 【详解】甲的最大两位数：所有2元子集对应21，31，41，32，42，43，（共6种）； 乙的最大两位数Y：21，31，32（共3种）． 甲获胜的情况共12种，总情况，概率为． 典例3．设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中任意摸出2个球． （1）求这两只球都是白球的概率． （2）求这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）用，，，表示4个白球，用，表示2个黑球，利用列举法能求出这两只球都是白球的概率； （2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件B，利用列举法能求出这两只球中一只是白球另一只是黑球的概率. 【详解】（1）用，，，表示4个白球，用，表示2个黑球， 取2个球的所有可能情况有：，，，，，，，，，，，，，，共15种不同的结果． 设取出的两球都是白球为事件，则事件包含其中的6种结果，所以 （2）设取出的两球中一只是白球另一只是黑球为事件， 由（1）可知事件包含其中的8种结果， 所以. 方法技巧 古典概型综合题解题策略 1. 复杂事件可以拆解为若干互斥子事件，分别求概率再相加； 2. “至少、至多” 优先考虑对立事件，避免多组分类漏算； 3. 新高考文字情境长，先把文字翻译成样本、事件； 4. 注意：如果题目为后续大题铺垫，求出各个事件概率，为写分布列做准备。 【考法预测1】（2026·黑龙江大庆·期末）我省高考实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生需在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均相等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为_________． 【答案】 【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法；由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有36种，由此利用对立事件概率计算公式能求出她们的选科至少有一科不相同的概率． 【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有： {化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}， {生物，地理}，{政治，地理}共6种选法， 由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种， 其中两人的选科完全相同的选法有6种， 所以她们的选科至少有一科不相同的概率为． 【考法预测2】（2026·河南新乡·期末）某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动．活动结束后，学校根据学生的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分．现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践积分数据，整理如下表： 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 (1)从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率． (2)假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生． （ⅰ）估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ）估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）应用频率计算求解； （2）（ⅰ）应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解；（ⅱ）古典概型及独立事件概率乘积公式，对立事件概率公式计算解题. 【详解】（1）由题表可知从样本中随机抽取1名学生， 其劳动实践积分不低于2分的频率为， ∴估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率为． （2）由题可知，劳动实践积分为0分、1分、2分、3分的概率分别为 ，，，．          （ⅰ）这2名学生的劳动实践积分之和为2分的情况有2人都是1分或1人0分、1人2分，共2种． ∴估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率为．    （ⅱ）随机抽取2名学生，其积分之差的绝对值不低于1分的对立事件是积分之差的绝对值低于1分，即为 0分，所有的情况为，，，， 概率为，       ∴估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率为． 拔高・分层集训 基础演练 1．下列试验中符合古典概型研究的试验是（   ） A．抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，正面向上的点数 B．抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、……、命中0环 【答案】B 【分析】根据古典概型的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】在选项A中，因为骰子各个面材质不一样，所以每一面出现的可能性是不均等的，故不是古典概型； 在选项B中，球的数量有限，且每次试验中，每个球被抽中的可能性相同，故B项是古典概型； 在选项C中，试验的结果是无穷的，故不是古典概型； 在选项D中，因为各环的大小不均等，不满足各个样本点出现的可能性相等，故不是古典概型. 故选：B 2．（2026·安徽高一下·期末）众所周知，“石头、剪刀、布”游戏规则是比赛时双方任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种.石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若双方出相同手势，则算打平.小明和小泽玩这个游戏，他们随机出一种手势，则小明获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别写出所有结果，找出小明获胜的结果，即可得出答案. 【详解】小明和小泽随机出一种手势，可能的结果为： 石头-石头，石头-剪刀，石头-布，剪刀-石头，剪刀-剪刀，剪刀-布，布-石头，布-剪刀，布-布，共9种. 其中小明获胜的为：石头-剪刀，剪刀-布，布-石头，共3种. 所以小明获胜的概率为. 3．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶，即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次， 选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类，剩余2个位置分别给另外两种：种，总符合条件的情况数：种， 因此，总概率为. 故选：C． 4．（2026·天津高一下·期末）下列说法错误的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】C 【分析】A选项根据互斥事件的定义进行判断；B选项，根据古典概型的计算公式进行判断；C选项，利用百分位数的求法计算；D选项，根据分层抽样中抽样比计算某一层的总数． 【详解】A选项，根据“甲站正中间”与“乙站正中间”不同时发生可知为互斥事件，故A正确； B选项，根据古典概型可知，抛掷一枚质地均匀的骰子一次共有6种结果，其中向上面的点数是3的整数倍的有3，6两个数，故概率为，故B正确； C选项，一共有8个数，则，故25%分位数为，故C错误； D选项，根据一共抽取10人可知，女生抽了4人，男生抽了6人，抽样比为，故男生人数为人． 5．（2026·山西长治·期末）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件与事件相互独立 C． D．事件与事件为互斥事件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用古典概型的概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A错误； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件与事件不为互斥事件，D错误. 6．（多选）（2026·山东济南·期末）在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是（    ） A．抛掷次，事件“正面朝上”发生的次数可能是 B．抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥 C．抛掷次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为 D．抛掷次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立 【答案】ACD 【详解】对于A，抛掷10次硬币，每次都有可能正面朝上，所以“正面朝上次数为10”是随机事件，有可能发生，A正确； 对于B，互斥事件是指两个事件不能同时发生，抛掷2次时，第一次正面朝上、第二次也可以正面朝上，两个事件能同时发生，不互斥，B错误； 对于C，抛掷次硬币，所有等可能结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种；“一次正面一次反面”包含2种情况，概率为，C正确； 对于D，第一次抛掷的结果不会影响第二次抛掷的结果，所以“第一次正面朝上”和“第二次正面朝上”相互独立，D正确． 7．（多选）（2026·广东广州·期末）盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（    ） A． B． C． D．事件与相互独立 【答案】ABD 【分析】先计算不放回抽取个球的总基本事件数，再分别计算各事件对应的基本事件数，结合古典概型公式、事件包含关系、独立事件判定规则逐一分析选项. 【详解】根据题意，所有可能的组合为：(红1,红2),(红1,红3),(红1,白1),(红1,白2),(红2,红3),(红2,白1),(红2,白2),(红3,白1),(红3,白2),(白1,白2)，共种， 对于A，事件为两球颜色不同，对应共种组合，，故A正确； 对于B，事件为两球数字相同，仅(红1,白1),(红2,白2)种情况，且均满足颜色不同，即，故，，故B正确； 对于C，事件为数字之和小于，对应共种组合，，故C错误； 对于D，事件为两球颜色不同且数字和小于，对应共种组合，，而， 满足独立事件判定条件，故事件与相互独立，故D正确. 8．（2026·山西吕梁·期末）为弘扬科技创新精神，学校准备了2张航天主题、2张人工智能主题的科普宣传海报，现从中随机抽取2张，则抽到的两张海报为不同主题的概率是________. 【答案】 【详解】记2张航天主题科普宣传海报为，2张人工智能主题科普宣传海报为， 从中随机抽取2张，样本空间为，共包含6个基本事件， 记事件为抽到的两张海报为不同主题，事件包含4个基本事件， 所以. 9．（2026·山东烟台·期末）现有编号为1，3，5的三个大小质地完全相同的小球与编号为2，4，6的三个盒子.若从这三个小球中任取一个随机放入其中一个盒子，则该小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________.若将这三个小球全部随机放入三个盒子中，每个盒子均放入一个小球，则恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率为_________. 【答案】 【分析】①枚举每个小球，统计其编号大于可选盒子编号的情况数，除以总情况数；②考虑要恰有两个满足条件，则编号为4的盒子必须放5号球，编号为2的盒子必须放3号球，从而确定唯一的放法. 【详解】①由题意知共3个小球、3个盒子，总情况数为 . 符合小球的编号大于其所在盒子编号的情况有： 小球编号1：没有比1小的盒子编号，0种； 小球编号3：仅盒子编号2满足，1种； 小球编号5：盒子编号2、4满足，2种； 共种符合条件的情况. 因此该小球的编号大于其所在盒子编号的概率. ②三个球全排列放入三个盒子，总情况数为 . 由于盒子编号最大为6，所有小球最大编号为5， 因此放入编号6盒子的球一定不满足“编号大于盒子编号”. 要恰有两个球满足条件，只能是前两个盒子（编号2、4）的球都满足条件. 编号4的盒子要满足球编号大于4，只能放编号5的小球； 编号2的盒子要满足球编号大于2，只能放剩下的编号3的小球； 编号6的盒子放剩下的编号1的小球，仅这1种符合条件的情况. 因此恰有两个小球的编号大于其所在盒子编号的概率. 能力进阶 1．（2026·陕西高一下·期末）将四位数2026的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将2026的各个数字重新排列，包括自身可以得到9个四位数： 2206、2260、6220、6022、2026、2620、2062、2602、6202， 其中两个2不相邻的有5个：2026、2620、2062、2602、6202， 所求两个2不相邻的概率为 2．（2026·四川南充·模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9， 因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为． 故选：D． 3．一支军事特别任务部队由18名士兵组成，当中共有6名女士兵，其余的是男士兵．若从该部队中随机选出8名士兵，求选出不多于4名女士兵的概率．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据组合数求解名士兵中随机选出名士兵的总情况数，然后再计算名士兵中包含5名女士兵，3名男士兵或6名女士兵，2名男士兵情况数，通过总体排除法即可得到名士兵中选出不多于4名女士兵的情况数，进而根据古典概率进行求解即可. 【详解】从名士兵中随机选出名士兵共有种情况， 选出的名士兵中包含5名女士兵，3名男士兵有种情况； 选出的名士兵中包含6名女士兵，2名男士兵有种情况； 由此可得：选出的名士兵中不多于4名女士兵有种情况. 综上可得：从该部队随机选出8名士兵中选出不多于4名女士兵的概率. 故选：D 4．（2026·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】样本空间共包含个等可能基本事件. ，，事件包含共4个基本事件， 故；事件包含18个基本事件，分别为 ， 故. 事件包含基本事件，故与不互斥，A错误. 事件包含基本事件，，，故与不相互独立，B错误. 事件包含共3个基本事件，，， 故，故与相互独立，C正确. 事件包含基本事件，故，，D错误. 5．有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果. 【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 6．（多选）（2026·重庆渝中·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一组数据的方差大于另一组数据的方差 B．同时抛掷两枚大小相同、质地均匀的硬币，则出现一枚正面和一枚反面朝上的概率为 C．若事件发生的概率非零且为互斥事件，则为相互独立事件 D．若一组数据，则其第40百分位数为2.5 【答案】BD 【分析】根据古典概型、互斥事件、独立事件等综合判断各选项即可. 【详解】选项A，的方差为,的方差为,故A选项错误. 选项B, 设正面为正，反面为负，则基本事件为， 故出现一枚正面和一枚反面朝上的概率为,故B选项正确. 选项C, 若事件发生的概率非零且为互斥事件，则，故二者一定不是相互独立事件,故错误. 选项D，一组数据的第40百分位数为，故D正确. 7．（多选）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品数量可能有（    ） A．3件 B．4件 C．5件 D．6件 【答案】CD 【分析】利用对立事件求出一等品的概率，解不等式得出，即可得解. 【详解】设该批产品共有件，， 从中任取3件产品，均不是一等品的概率为， 则至少有1件一等品的概率为， 由题意，即，可得， 则该批产品中一等品至少有件， 故选：CD. 8．（多选）下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率为 B．一箱12罐的饮料中有2罐有奖券，从中任意抽取2罐，这2罐中有奖券的概率为 C．一个袋子中有4个红球，n个绿球，不放回地从中随机取出两个球，若取出的两球都是红球的概率为，则 D．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，相比3局2胜制，5局3胜制对甲更有利 【答案】ACD 【分析】根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式求解即可判断A；结合组合数的运算，根据古典概型概率公式求解判断B；结合分步计数原理，根据古典概型概率公式列方程求解判断C；分别计算采用“5局3胜制”和采用“3局2胜制”时甲获胜的概率，比较大小即可判断D. 【详解】对于A：因为各人能破译的概率分别为，， 所以密码被成功破译的概率为，故A正确； 对于B：依题意所求的概率为，故B错误； 对于C：由题意取出的两球都是红球的概率为，则， 解得或（舍去），故C正确； 对于D：采用“5局3胜制”甲获胜的概率为， 采用“3局2胜制”甲获胜的概率为， 因为，所以相比3局2胜制，5局3胜制对甲更有利，故D正确. 故选：ACD 9．（2026·青海西宁·期末）如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的运算性质求出事件包含的样本点数，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】由题意可知，，，，， 因为事件表示属于但不属于的样本点构成的集合， 根据集合的运算性质，有，所以， 根据古典概型的概率公式，可得. 10．（2026·甘肃白银·期末）九宫格填数游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上至中不重复的整数，小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 【答案】/ 【分析】根据题意，列出关于，，，，的表格，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，小王需要在个小格子中填上中不重复的整数， 小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字， 且，，，，这个数字未知，，为奇数， 这个试验的等可能结果用下表表示： 2 2 6 6 8 8 2 2 6 6 8 8 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 8 2 8 2 6 6 8 2 8 2 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 2 共有种情况，即基本事件的总数为， 其中包含着种，即， 所以的概率为. 真题实战 1．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 4．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】/0.5 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 7．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 / 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 8．（2026·上海·高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 【答案】(1)； (2)散点图； (3)的预测值与实际值之差的绝对值更小. 【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可； （2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间； （3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可. 【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. （2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上. （3）采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得. 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小. 9．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱． (1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率； (2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱； (3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量． 【答案】(1) (2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱 (3)方差克，平均数克，预估平均质量为克 【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案； （2）利用分层抽样的定义进行求解； （3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量. 【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱， 样本空间的样本点的个数， A事件的样本点的公式， 所以； （2）因为一级果箱数：二级果箱数， 所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱； （3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为， 总体样本平均质量为，方差为， 因为，，，， 所以克， 克． 预估平均质量为克． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $