重难点培优02 比较大小问题（8题型）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦比较大小核心考点，涵盖单调性法、中间值法、构造函数法等八大解题方法，按“基础方法-高阶技巧”逻辑分层，通过知识精讲梳理考点，题型深研指导方法，分层训练强化应用，构建系统复习体系。 资料以“数学思维”和“数学语言”为核心，创新设计构造函数同构切入、泰勒不等式近似计算等教学活动，通过典例变式突破难点，分层练习适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

重难点培优02 比较大小问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型01 函数的单调性法 ……………………………………………………………………03 题型02 中间值法 ……………………………………………………………………………04 题型03 比较法 ………………………………………………………………………………05 题型04 数形结合法 …………………………………………………………………………05 题型05 不等式法………………………………………………………………………………06 题型06 构造函数法……………………………………………………………………………06 （1）由数值特点切入 （2）由结构特点切入 （3）由指对同构切入 题型07 放缩法…………………………………………………………………………………07 题型08 泰勒不等式……………………………………………………………………………08 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 ……………………………………………………………………………………………09 创新提升 ……………………………………………………………………………………………10 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1比较大小的常用方法 1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； 根式：，，， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， 三角式：， (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 知识点2重要的结论不等式 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 泰勒不等式 （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 题型深研·通法变式提能力 题型1 单调性法 【典例1-1】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 单调性法比大小的策略 在比较数值的大小时，可以根据两个函数值的特点，将其视作同一个函数的两个函数值，再结合函数的单调性进行判断 （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； （4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小. 说明：对一些复杂一点的题目，需要对数值进行变形才能发现其共同点. 2、对抽象函数有关的比较大小问题，需要先判断函数的单调性，然后利用周期性、对称性比较函数值的大小. 题型2 中间值法 【典例2-1】已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 中间值法比大小的策略 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间值进行区分，常用的中间值为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 题型3 比较法 【典例3-1】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 【变式3-3】（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型4 数形结合 【典例4-1】（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·北京丰台·三模）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 题型5 不等式法 【典例5-1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知，且，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·云南昆明模拟预测）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 题型6 构造函数法 【典例6-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·河北保定·三模）已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-3】（2020·全国新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 【变式6-2】（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 【变式6-4】设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 【变式6-5】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-6】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 方法技巧 构造函数法比较大小 通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小。该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质。常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造等。 题型07 放缩法 【典例7-1】（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高三下·河北唐山·模拟）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（25-26高三下·河北衡水·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 放缩法比较大小 在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： ①指数型：,常用于处理含的式子： ②对数型：,常用于处理含的式子。 它们的变形形式也经常使用，如。 直接应用这些不等式可以快速放缩，将复杂超越式转化为简单代数式，从而比较大小。 题型08 泰勒不等式 【典例8-1】在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】 已知，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 泰勒不等式的应用技巧 泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似。在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小。该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形。 根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数。例如，比较可用在处展开。 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，则的大小关系为(参考数据∶) （    ） A．B．C． D． 4．（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）若则（　　） A． B． C． D． 7．（2026·四川攀枝花·二模）若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 创新提升 1．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）令，，，则下列大小排列正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）若、，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 比较大小问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型01 函数的单调性法 ……………………………………………………………………03 题型02 中间值法 ……………………………………………………………………………06 题型03 比较法 ………………………………………………………………………………07 题型04 数形结合法 …………………………………………………………………………09 题型05 不等式法………………………………………………………………………………13 题型06 构造函数法……………………………………………………………………………20 （1）由数值特点切入 （2）由结构特点切入 （3）由指对同构切入 题型07 放缩法…………………………………………………………………………………22 题型08 泰勒不等式……………………………………………………………………………25 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 ……………………………………………………………………………………………25 创新提升 ……………………………………………………………………………………………29 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1比较大小的常用方法 1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小. 2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定． 3．作差法、作商法： (1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小； (2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法. 4．估算法： (1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间； 根式：，，， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， 三角式：， (2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小. 5．构造函数法： 构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小. 6．放缩法： (1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； (2)指数和幂函数结合来放缩； (3)利用均值不等式的不等关系进行放缩. 知识点2重要的结论不等式 1. 两类经典超越不等式 ，，， 2. 泰勒不等式 （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 题型深研·通法变式提能力 题型1 单调性法 【典例1-1】（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 【典例1-2】已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案. 【详解】因为， 所以关于对称， 又因为为偶函数， 所以， 所以为周期函数，， 因为，且， 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以， 因为在上单调递减，为偶函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 故选：D. 【变式1-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 【变式1-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 【变式1-3】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，可得a的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c的范围，比较即可得答案. 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 【变式1-4】（2026·河南·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小. 【详解】由对数换底公式得： ， ， 因为是增函数，且， 所以： ，即， 指数函数是减函数，因此，即， 综上可得. 方法技巧 单调性法比大小的策略 在比较数值的大小时，可以根据两个函数值的特点，将其视作同一个函数的两个函数值，再结合函数的单调性进行判断 （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； （4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小. 说明：对一些复杂一点的题目，需要对数值进行变形才能发现其共同点. 2、对抽象函数有关的比较大小问题，需要先判断函数的单调性，然后利用周期性、对称性比较函数值的大小. 题型2 中间值法 【典例2-1】已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对函数的性质确定，，的范围，利用中间量比大小. 【详解】， ， ，． 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 且，即； ，即； ，即. 所以. 【变式2-2】（2026·天津河西·三模）设，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 【变式2-3】（（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 方法技巧 中间值法比大小的策略 对于不能直接利用函数的单调性比较大小的问题，可以借助于中间值进行区分，常用的中间值为0、1、-1,对于难度稍大的题目还需要结合题目的特点选择合适的中间值. 题型3 比较法 【典例3-1】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 时，由不等式得，，， ， ，，，， 综上，，故选：B. 【变式3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用作差法、对数的运算性质、对数函数的性质比较即可. 【解答过程】 ，则， ， 则，所以. 故选：B. 【变式3-2】已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．a<c<b 【答案】　B 【详解】＝＝<＝<1，得b<c，又∵c<1<a＝0.8－0.4， ∴b<c<a. 故选B 【变式3-3】（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 题型4 数形结合 【典例4-1】（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为在时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析判断. 【详解】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 【变式4-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】作出的函数图象，如图所示： 观察易知a，b的关系为或或． 【变式4-2】若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 【变式4-3】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示：      由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 【变式4-4】（2026·北京丰台·三模）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，分别作出函数、和的图象，易得点，关于直线对称，进而得到；对于B，联立，结合零点存在定理得到，结合图象得到，结合的单调性及放缩法证明即可；对于C，利用基本不等式证明即可；对于D，联系，结合零点存在定理得到，构造函数，结合导数与单调性证明即可. 【详解】对于A，作出函数、和的图象， 因为和互为反函数，所以它们的图象关于直线对称. 直线与垂直，即关于直线对称， 所以交点，关于直线对称，所以，， 又在直线上，所以，即，故A正确； 对于B，由，得，设，则单调递增， 因为，，所以由零点存在定理知，的零点在上， 所以，所以. 结合图象可知，，则，. 所以，故B错误. 对于C，易知，所以，故C正确； 对于D，由，得，设，， 则在上单调递增， 又，，所以. 因为，设，，则， 所以在上单调递增，所以，故D正确. 题型5 不等式法 【典例5-1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知，且，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，此时，A正确； 由已知得，，所以，又，所以，所以，B错误； 由，得，因此，C正确． 因为，所以，所以，D错误； 【变式5-1】已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误， 故选：A. 【变式5-2】（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式可得，，由对数的单调性求得，即可比较的大小. 【详解】， 因为，所以， 所以， ，， 因为，所以， 综上. 【变式5-3】（2026·云南昆明模拟预测）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 题型6 构造函数法 【典例6-1】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察，找到三个数的相关性：发现它们均与0.1有关，即 ， ， ，然后确定构造函数这个思路，分别构造指数型函数,分式函数,对数型函数，接着用作差法，通过指数不等式和对数不等式,以及求导和用单调性解决问题 【详解】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 【典例6-2】（2026·河北保定·三模）已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，判断其奇偶性并利用导数研究其单调性，然后利用反例法判断ABD，利用对数函数的单调性判断C. 【详解】因为，所以， 对于函数，定义域为R，且， 所以函数为偶函数， ，令，则， 所以单调递减，又 所以当时，，故在上递减； 当时，，故在上递增. 由即得，，所以，即， 对于A，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于B，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于C，因为，所以，根据在定义域上单调递增， 所以，正确； 对于D，当时，满足，此时， 故不成立，错误. 【典例6-3】（2020·全国新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】条件中的等式含有两个变量，等式的两边都同时含有指数和对数，然后考虑能否化为相同的结构，由，可设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 【变式6-1】已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　) A.b＜c＜a B.c＜a＜b C.a＜c＜b D.c＜b＜a 【答案】C 【解析】设f(x)＝，则f′(x)＝， 当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 则当x＝e时，f(x)max＝＝， 即b＞a，b＞c； a－c＝－＝＝＜0，则c＞a，所以b＞c＞a. 【变式6-2】（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，比较出，再利用中间值“2”比较的大小. 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 【变式6-3】若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 【答案】　B 【解析】　由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b， ∴2a＋log2a<22b＋log22b， 即f(a)<f(2b)，∴a<2b. 【变式6-4】设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 【答案】　B 【解析】　由已知aea<bln b，则ealn ea<bln b. 设f(x)＝xln x，则f(ea)<f(b)． 因为a>0，则bln b>0，则b>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0， 则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以ea<b. 【变式6-5】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 【变式6-6】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的单调性比较，构造函数，由导数得到函数单调性，然后比较，从而求得结果. 【详解】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 方法技巧 构造函数法比较大小 通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小。该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质。常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造等。 题型07 放缩法 【典例7-1】（25-26高三下·安徽·阶段检测）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据放缩比较大小即可. 【详解】根据可知 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 【变式7-1】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，则，根据单调性得出为函数的最小值，，，结合对数函数的性质解不等式，即可得出的大小关系. 【详解】令，则， 若，则，故在上单调递减， 若，则，故在上单调递增， 所以为函数的最小值. 所以，，即： ，得，即. ，即. 所以，． 故选：D. 【变式7-2】（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 【变式7-3】（25-26高三下·河北唐山·模拟）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小. 【详解】令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，； 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即， 所以. 故选：A 【变式7-4】（25-26高三下·河北衡水·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别构造函数，，利用导数判断函数单调性，由单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则. 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 所以当时，，即. 令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为，而，所以，所以，即，整理得，故. 所以 方法技巧 放缩法比较大小 在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： ①指数型：,常用于处理含的式子： ②对数型：,常用于处理含的式子。 它们的变形形式也经常使用，如。 直接应用这些不等式可以快速放缩，将复杂超越式转化为简单代数式，从而比较大小。 题型08 泰勒不等式 【典例8-1】在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中，. 通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知，，.根据以上公式，则这三个数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简，再利用泰勒公式近似求出的值，再比大小即可. 【详解】由题意可得，， ， 又，则. 故选：C 【变式8-1】英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可. 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. 【变式8-2】已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用泰勒放缩，即可比较大小. 【详解】， ， ， ∴. 故选：D. 【变式8-3】 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过将，变形，构造函数比较，，将泰勒展开，再与进行比较即可. 【详解】由已知，，， 设，， 则， 其中， 令，则， 当时，，∴在上单调递减，， ∴当时，，， 在上单调递增， ∴，即，∴有. 对于与，， 将泰勒展开，得， ， ∴. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. 方法技巧 泰勒不等式的应用技巧 泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似。在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小。该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形。 根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数。例如，比较可用在处展开。 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合比较法逐一判断即可. 【详解】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对数函数在定义域上单调递减， 由于，因此，即； 对数函数在定义域上单调递增， 由于，因此，即； 指数函数在定义域R上单调递减，由，因此， 综上可得. 3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，则的大小关系为(参考数据∶) （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数并探讨单调性，再结合给定数据比较大小. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，由， 所以. 故选：A 4．（2026·北京丰台·一模）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过比较与的大小关系，结合指数函数，三角函数，对数函数的性质，即可判断. 【详解】，因为在上单调递增，故，故； ，因为，在单调递减，故，故； ，因为在单调递增，故，故； 综上所述：. 5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过，确定是最小的，然后通过变换，，构造函数，利用导数求解函数的单调性，从而确定的大小，从而得到答案. 【详解】，，， 又，，令，则， 当时，，单调递减， 所以，即， 所以，所以，所以， 又，．所以，所以，故A正确. 6．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）若则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求得，存在，使，得到在上不是单调函数，可判定A、B错误；再设，求得，得到在上单调递减，得到，进而可判定C不正确，D正确. 【详解】设，可得，令，则， 所以在上单调递增，且， 所以存在，使， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上不是单调函数，无法判断与的大小，故选项A、B错误； 设，可得， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以， 所以C不正确，D正确. 故选：D. 7．（2026·四川攀枝花·二模）若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到或，再结合函数单调性，作差法，举出反例进行判断，得到答案. 【详解】当，即， 又，故， 当，即时，又，故， A选项，若，则，A错误； B选项，， 当时，，，，B错误； C选项，， 不论，，均有， 即，又在R上单调递增，故，C正确； D选项，当时，不妨设，此时， 显然，D错误. 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意构造函数，利用导数求出函数单调性，再由单调性比较大小即可. 【详解】由可得， 令，则有，，， 又， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 且时，，时，， 由单调性知，，且， 所以，即，再由单调性知，. 故选：D 创新提升 1．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出关于直线对称，通过求导得到的单调性，根据函数的单调性即可判断. 【详解】，故关于直线对称， 求导得， 当时，，故，即，在上单调递增； 当时，即，在上单调递减， 又，， 即，， 所以，， 即， 根据函数的对称性和单调性可知， 又，， 所以， 所以. 2．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，，， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则，即. 3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于，通过构造函数，求导确定单调性可判断，对于，通过构造，求导确定单调性可判断，进而可解题. 【详解】由，构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 由， 构造， 则，， 所以在上单调递增， 故，即，故. 综上，. 4．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 5．（2026·四川广元·三模）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数研究其单调性后可得，再利用三角函数性质合理放缩可得，即可得. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故当时，， 则，即，故， ， ，故； 综上可得. 6．（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出，，，变形，构造函数，比较出，得到答案 【详解】，，， 其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， 所以. 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）令，，，则下列大小排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 所以在上单调递增，所以， 令，则，即，所以， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即（当且仅当取等号）， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，即， 令，得，即， 所以，即， 综上． 8．（25-26高二下·河南·阶段检测）若、，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，，其中，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出，再结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，据此可判断D选项. 【详解】因为，则，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，即当时，，即， 因为，则，所以， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 由题意可知，，故， 因为，，故， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，且， 因为，则， 所以， 又因为，所以，故，D错. 9．（2026·云南·模拟预测）已知函数在上的导函数为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数的中心对称性可得原函数的轴对称性，再结合指对数运算，进行估值可得，最后利用单调性即可作出判断. 【详解】由指数式化对数得：， ， ， 所以可得大小关系：， 已知：在上单调递增，且是奇函数， 由奇函数性质可得：， 即关于中心对称，则， 又因为单调递增：所以当时，，则在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增； 即在处取得最小值， 再由导函数关于中心对称，可得原函数关于直线对称， 所以自变量距离越远，越大， 因为，， 所以，即 因此函数值大小为：. 10．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而可得，再判断与零的大小即可． 【详解】，， 则， 设， ， 令，， 在上单调递增，则时，， 即，则， 在上单调递减， ，即， ， ，， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $