重难点培优02 基本不等式求最值核心题型全解（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式求最值核心考点，以核心结论、三大前提条件、五类解题方法为知识框架，通过知识精讲梳理重难要点，题型深研剖析9类通法变式，分层进阶设置双阶训练，帮助学生系统构建解题思路，突破高考高频难点。 资料创新采用题型分类突破策略，如配凑法构造定值、乘“1”法转化分式等，培养学生数学思维与运算能力。设置巩固过关与创新提升分层练习，配合方法技巧总结，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

重难点培优02 基本不等式求最值核心题型全解内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 基本不等式常用核心结论 1 知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件 1 知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法 2 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 直接法求最值 2 题型2 配凑法求最值 3 题型3 分式分离法求最值 3 题型4 消元法求最值 4 题型5 乘“1”法求最值 4 题型6 双换元法求最值 5 题型7 构造不等式法求最值 5 题型8 多次使用基本不等式求最值 6 题型9 多元均值不等式求最值 6 分层进阶·双阶训练验成效 7 巩固过关 7 创新提升 7 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 基本不等式常用核心结论 1、若实数，，则，当且仅当时等号成立。 由此可推出常用变形：，该式子同样要求、均为正数。 2、对于任意实数，，都满足，当且仅当时取等号。 拓展衍生结论：；还有恒成立关系。 完整的均值链不等式：对正数，有。 知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件 第一条为一正：参与运算的每一项数值都必须是正数，若存在负数，不能直接套用基本不等式，需要先变形处理符号。 第二条为二定：分为两种情况，求两式相加的最小值，需要保证两项乘积是固定常数；求两式相乘的最大值，需要保证两项相加为固定常数，没有定值则无法直接求出最值。 第三条为三相等：计算结束后一定要检验等号能否取到，也就是存在实数能让成立，若无法取等，计算出的定值不具备参考意义，这是高频易错点。 知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法 1、直接法 适用于题干给出的式子本身就满足一正二定三相等，无需额外变形，直接套用均值不等式就能求出最值。 2、配凑法 核心思路是对原式拆分、添项，人为构造出和定值或者积定值的形式，构造完成后再使用基本不等式计算最值，是考试最常用的方法。 3、代换法 多用于带分式的条件最值题目，分为两种题型。第一种是分母为单项式，采用乘1代换法，借助已知等式整体乘1拆分求解；第二种是分母为多项式，简单题型可用观察法，观察两个分母相加和分子是否存在倍数关系，复杂题型统一使用待定系数法，设参数配凑分母，解出参数后拆分式子计算。 4、消元法 适合含有多个变量的题型，借助题干给出的等量关系减少变量数量，把多元式子转化为二元甚至一元函数，再结合基本不等式求解。 5、构造不等式法 需要梳理已知条件与所求代数式之间的联系，通过拆分、重组式子构造出含目标式的不等式，解不等式得到目标式取值范围，进而确定最大、最小值。 题型深研·通法变式提能力 题型1 直接法求最值 方法技巧 题目给出的代数式本身能够直接套用基本不等式，解题时严格遵循“一正、二定、三相等”三大使用条件。 如果式子中变量对应的项为负数，不能直接使用公式，需要先提取负号，把式子转化为正数形式后，再借助基本不等式计算最值。 例1．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则的最大值为__________． 变式1-2．已知，则的最小值为________. 变式1-3．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 题型2 配凑法求最值 方法技巧 配凑的核心是对整式进行等价变形，通过调整系数、拆分常数项等方式改变式子结构，全程保证变形前后代数式数值不变。 所有配凑操作都围绕构造和定值或积定值展开，常用拆项、添项的手段，让式子满足基本不等式的使用要求。完成配凑后需要逐项检验，确认各项均为正数、存在定值、等号能够成立，防止配凑失误造成答案出错。 例2．若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 变式2-1．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．若，则函数的最小值为_____. 变式2-3．已知，则的最大值为__________. 题型3 分式分离法求最值 方法技巧 该方法多用于分式型代数式，常见操作有两种，一是对分子配凑后拆分分式，二是对分母换元分解，最终将原式转化成对勾函数标准形式。 整理后式子为会呈现出常数加恒正或恒负分式的结构，在此基础上就能直接运用基本不等式求解最值。 例3．设，则的最小值为_____________． 变式3-1．已知，求的最小值 变式3-2．函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______ 变式3-3．，则的最小值是__，此时a＝__． 题型4 消元法求最值 方法技巧 当题目存在多个变量时，可以借助题干给出的等量关系消去其中一个变量，把多元问题简化为单变量函数，再结合基本不等式求最值。 解题过程中不能忽略剩余变量本身自带的取值范围限制，避免求出的最值对应变量不在有效定义域内。 例4．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 变式4-1．已知，均为正数，若，则最小值为________. 变式4-2．设，且，则的最小值为______. 变式4-3．已知，，且，则的最小值为________. 题型5 乘“1”法求最值 方法技巧 分母为单项式时，采用乘“1”代换法，利用题干等式构造数值1，再与所求式子相乘拆分计算 例5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 变式5-1．已知，，且，则的最小值是______. 变式5-2．若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 变式5-3．函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 题型6 双换元法求最值 方法技巧 分母为多项式时可使用待定系数法，设参匹配分母结构，解出参数后拆分式子求解。 例：如分母为与，条件等式为， 设 ∴，解得：，则 例6．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 变式6-1．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 变式6-2．已知，，，则的最小值为______. 变式6-3．已知，，，则的最小值为________. 题型7 构造不等式法求最值 方法技巧 梳理已知条件与待求代数式之间的等量、大小关系，对式子重新拆分重组，利用基本不等式建立包含目标式的不等式。 通过解不等式得到目标代数式的取值区间，以此确定最大值或最小值，计算完成后依旧要验证等号成立的条件是否满足。 例7．已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 变式7-2．（多选）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 变式7-3．若正数满足，则的最小值是___________. 题型8 多次使用基本不等式求最值 方法技巧 同一道题目需要反复多次使用基本不等式时，每一次套用公式都要单独验证等号成立条件。 所有不等式取等的条件必须完全统一，若前后等号成立的约束互相冲突，则无法同时取到最值，该解题思路失效。 例8．已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式8-1．若，则的最小值为____________． 变式8-2．已知，，且，则的最小值是______. 变式8-3．已知，，则的最小值为_______. 题型9 多元均值不等式求最值 方法技巧 针对三个及以上正数的求最值问题，可使用多元均值不等式。 多元均值不等式：，为正数，当且仅当时，取等号 例9．我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 变式9-1．已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．若，，求 的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．已知，，都是正实数，且，则的最大值是______. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（多选）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 2．当时，则的最小值是______. 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 4．若，，则的最小值为______． 5．已知，则的最小值为_____． 6．已知，，且，则的最小值为________． 7．已知，且，则的最小值为_____________． 8．已知，且，则的最小值为_____． 9．已知为正数，，则的最小值为_________. 10．已知，则的最小值为__________． 11．若，且，则的最大值为_____． 12．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 创新提升 1．若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 3．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．设，则函数的最小值为________. 5．已知正实数满足，则的最小值为___________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 基本不等式求最值核心题型全解内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 基本不等式常用核心结论 1 知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件 1 知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法 2 题型深研·通法变式提能力 2 题型1 直接法求最值 2 题型2 配凑法求最值 3 题型3 分式分离法求最值 5 题型4 消元法求最值 7 题型5 乘“1”法求最值 8 题型6 双换元法求最值 10 题型7 构造不等式法求最值 12 题型8 多次使用基本不等式求最值 13 题型9 多元均值不等式求最值 15 分层进阶·双阶训练验成效 15 巩固过关 17 创新提升 17 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 基本不等式常用核心结论 1、若实数，，则，当且仅当时等号成立。 由此可推出常用变形：，该式子同样要求、均为正数。 2、对于任意实数，，都满足，当且仅当时取等号。 拓展衍生结论：；还有恒成立关系。 完整的均值链不等式：对正数，有。 知识点02 运用基本不等式求最值的三大前提条件 第一条为一正：参与运算的每一项数值都必须是正数，若存在负数，不能直接套用基本不等式，需要先变形处理符号。 第二条为二定：分为两种情况，求两式相加的最小值，需要保证两项乘积是固定常数；求两式相乘的最大值，需要保证两项相加为固定常数，没有定值则无法直接求出最值。 第三条为三相等：计算结束后一定要检验等号能否取到，也就是存在实数能让成立，若无法取等，计算出的定值不具备参考意义，这是高频易错点。 知识点03 利用基本不等式求最值的五类解题方法 1、直接法 适用于题干给出的式子本身就满足一正二定三相等，无需额外变形，直接套用均值不等式就能求出最值。 2、配凑法 核心思路是对原式拆分、添项，人为构造出和定值或者积定值的形式，构造完成后再使用基本不等式计算最值，是考试最常用的方法。 3、代换法 多用于带分式的条件最值题目，分为两种题型。第一种是分母为单项式，采用乘1代换法，借助已知等式整体乘1拆分求解；第二种是分母为多项式，简单题型可用观察法，观察两个分母相加和分子是否存在倍数关系，复杂题型统一使用待定系数法，设参数配凑分母，解出参数后拆分式子计算。 4、消元法 适合含有多个变量的题型，借助题干给出的等量关系减少变量数量，把多元式子转化为二元甚至一元函数，再结合基本不等式求解。 5、构造不等式法 需要梳理已知条件与所求代数式之间的联系，通过拆分、重组式子构造出含目标式的不等式，解不等式得到目标式取值范围，进而确定最大、最小值。 题型深研·通法变式提能力 题型1 直接法求最值 方法技巧 题目给出的代数式本身能够直接套用基本不等式，解题时严格遵循“一正、二定、三相等”三大使用条件。 如果式子中变量对应的项为负数，不能直接使用公式，需要先提取负号，把式子转化为正数形式后，再借助基本不等式计算最值。 例1．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 变式1-1．已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 变式1-2．已知，则的最小值为________. 【答案】 【详解】，. 由于，，则， 当且仅当时取等号. 变式1-3．已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立. 题型2 配凑法求最值 方法技巧 配凑的核心是对整式进行等价变形，通过调整系数、拆分常数项等方式改变式子结构，全程保证变形前后代数式数值不变。 所有配凑操作都围绕构造和定值或积定值展开，常用拆项、添项的手段，让式子满足基本不等式的使用要求。完成配凑后需要逐项检验，确认各项均为正数、存在定值、等号能够成立，防止配凑失误造成答案出错。 例2．若，则的（   ） A．最小值为4 B．最小值为6 C．最大值为4 D．最大值为6 【答案】B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号成立， 所以的最小值为6，无最大值. 变式2-1．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 变式2-2．若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 变式2-3．已知，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 题型3 分式分离法求最值 方法技巧 该方法多用于分式型代数式，常见操作有两种，一是对分子配凑后拆分分式，二是对分母换元分解，最终将原式转化成对勾函数标准形式。 整理后式子为会呈现出常数加恒正或恒负分式的结构，在此基础上就能直接运用基本不等式求解最值。 例3．设，则的最小值为_____________． 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 变式3-1．已知，求的最小值 【答案】6 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 变式3-2．函数的最小值是，则当时，a的值为________，当时，a的值为______ 【答案】 【详解】当时， 当时：，当且仅当即时等号； 此时. 当时，， 当且仅当即时等号；此时. 综上： 若，则，由题，所以. 若，则，由题，所以. 故答案为：1；−1. 变式3-3．，则的最小值是__，此时a＝__． 【答案】 2； 0 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 题型4 消元法求最值 方法技巧 当题目存在多个变量时，可以借助题干给出的等量关系消去其中一个变量，把多元问题简化为单变量函数，再结合基本不等式求最值。 解题过程中不能忽略剩余变量本身自带的取值范围限制，避免求出的最值对应变量不在有效定义域内。 例4．已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 变式4-1．已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 变式4-2．设，且，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为，且， 所以，即，所以， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 变式4-3．已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 题型5 乘“1”法求最值 方法技巧 分母为单项式时，采用乘“1”代换法，利用题干等式构造数值1，再与所求式子相乘拆分计算 例5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 变式5-1．已知，，且，则的最小值是______. 【答案】8 【详解】， 当且仅当时等号成立，即时，的最小值为8. 变式5-2．若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 【答案】C 【详解】由，可得，所以， 故， 当且仅当,即，也即时取等号， 联立，解得，时，等号成立． 故最小值为. 变式5-3．函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 题型6 双换元法求最值 方法技巧 分母为多项式时可使用待定系数法，设参匹配分母结构，解出参数后拆分式子求解。 例：如分母为与，条件等式为， 设 ∴，解得：，则 例6．已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 变式6-1．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 变式6-2．已知，，，则的最小值为______. 【答案】/ 【详解】因为 ， 当且仅当，又，，，即时取等号. 故答案为： 变式6-3．已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 题型7 构造不等式法求最值 方法技巧 梳理已知条件与待求代数式之间的等量、大小关系，对式子重新拆分重组，利用基本不等式建立包含目标式的不等式。 通过解不等式得到目标代数式的取值区间，以此确定最大值或最小值，计算完成后依旧要验证等号成立的条件是否满足。 例7．已知，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，得：， 设（），则，不等式变为：， 整理得： ， 因为，所以，不等式等价于，解得， 因为，所以. 故选：C. 变式7-1．已知实数，满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得， 所以，所以，当且仅当时等号成立，即当或时取等号， 当时，所以的最大值为2. 故选：A. 变式7-2．（多选）已知实数满足，则（   ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为1 D．有最大值为2 【答案】ABD 【详解】对于A，因为且，所以，即，当且仅当或 时取等号，有最大值为，故A正确； 对于B，设，则， 所以，由，所以， 所以，即，所以， 当且仅当时，有最小值为故B正确； 对于C，因为且，所以， 当且仅当或时取等号，有最小值为，故C 错误； 对于D，因为且，所以，所以， 当且仅当或时，有最大值为2，故D正确； 故选：ABD. 变式7-3．若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是4. 故答案为：4. 题型8 多次使用基本不等式求最值 方法技巧 同一道题目需要反复多次使用基本不等式时，每一次套用公式都要单独验证等号成立条件。 所有不等式取等的条件必须完全统一，若前后等号成立的约束互相冲突，则无法同时取到最值，该解题思路失效。 例8．已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 变式8-1．若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式8-2．已知，，且，则的最小值是______. 【答案】24 【详解】解：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，，时等号成立， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题． 变式8-3．已知，，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】由，， ， 当且仅当，时取等号， 故答案为： 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题. 题型9 多元均值不等式求最值 方法技巧 针对三个及以上正数的求最值问题，可使用多元均值不等式。 多元均值不等式：，为正数，当且仅当时，取等号 例9．我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由题中的推广可得， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为， 由恒成立，可得， 故的最小值为. 变式9-1．已知正数满足,则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解:由题知, , 当且仅当时取等号, 所以． 故选:C． 变式9-2．若，，求 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， , 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 故选：． 变式9-3．已知，，都是正实数，且，则的最大值是______. 【答案】 【详解】解：，，是正实数，且，， 当且仅当，即时，等号成立 ，，即的最大值为． 故答案为：． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（多选）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 2．当时，则的最小值是______. 【答案】 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 4．若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】由题设， 则. 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 5．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 6．已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 7．已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 8．已知，且，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由，得：，即，则， 由且，可知、，因此、. 所以 当且仅当，即，结合， 解得，时取等号. 因此，的最小值为. 9．已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 10．已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 11．若，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】由对数的运算性质得， 由三元基本不等式得， 当且仅当时取等，而在上单调递增， 则，故的最大值为． 故答案为： 12．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 创新提升 1．若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 2．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【详解】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 3．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4．设，则函数的最小值为________. 【答案】/ 【详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 5．已知正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】/ 【详解】，可得， 则. 又因为，即， 所以， 故， 即（当且仅当，即时取等）， 所以， 故答案为：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $