第二章 有理数的运算 单元小测 2026-2027学年人教版数学 七年级上册

**基本信息** 人教版数学七年级上册第二章“有理数的运算”单元卷，融合知识点总结与分层测评，覆盖加减乘除、乘方、科学记数法等核心内容，通过基础巩固与能力提升训练，培养运算能力、应用意识与创新思维，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数加法（如(-7)+3）、乘方符号判断（如(-2)³）|聚焦基础运算规则，强化符号意识| |填空题|8/24|运算结果（如(-3)³）、科学记数法（149600000km）|突出易错点，考查数感与量感| |解答题|6/46|混合运算简算、实际问题（气温变化、检修队行程）|结合生活情境，培养应用意识与推理能力| |能力提升|4/选做|绝对值综合、新运算“※”|创新问题设计，发展创新意识与抽象能力|

人教版数学七年级上册 第二章　有理数的运算 本章知识点总结 + 单元小测（含答案与解析） 班级：__________　姓名：__________　学号：______　得分：______ 【使用说明】本文档分两部分：第一部分是本章知识点总结（可作复习提纲）；第二部分是单元小测，满分 100 分，建议用时 60 分钟。 小测题型分布：选择题 10 小题 × 3 分 = 30 分；填空题 8 小题 × 3 分 = 24 分；解答题 6 小题共 46 分，另附能力提升训练（选做）。 本章范围：2.1 有理数的加法与减法；2.2 有理数的乘法与除法；2.3 有理数的乘方（含科学记数法、近似数）。全部内容不超出本章教学要求。 第一部分　本章知识点总结 一、有理数的加法 1. 加法法则： ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 互为相反数的两个数相加得 0； ④ 一个数同 0 相加，仍得这个数。 2. 运算步骤：先定符号，再算绝对值。 在数轴上理解 (-3) + 5 = 2 3. 加法运算律： 交换律：a + b = b + a；　结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。 4. 简便运算的常用技巧： ① 互为相反数的先加；② 同号的先加；③ 分母相同的先加；④ 能凑成整数的先加。 二、有理数的减法 1. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 用式子表示：a - b = a + (-b)。 2. 减法的意义：减法运算可以统一转化为加法运算，因此有理数的加减混合运算可以写成省略加号的和的形式。 例如：(-8) - (-5) + (-3) - 4 = -8 + 5 - 3 - 4，读作「负 8、正 5、负 3、负 4 的和」。 3. 加减混合运算的步骤：统一为加法 → 写成省略加号的和 → 用运算律简便计算。 三、有理数的乘法 1. 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，都得 0。 2. 多个数相乘的符号法则： ① 几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时积为正，有奇数个时积为负； ② 只要有一个因数为 0，积就为 0。 3. 倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数。a（a ≠ 0）的倒数是 。 注意：0 没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 4. 乘法运算律： 交换律：ab = ba；　结合律：(ab)c = a(bc)； 分配律：a(b + c) = ab + ac。 四、有理数的除法 1. 除法法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 用式子表示：a ÷ b = a × （b ≠ 0）。 2. 除法法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 3. 注意：0 不能作除数；分数的分母不能为 0。 4. 乘除混合运算：统一化为乘法，再确定符号、算绝对值。 五、有理数的乘方 1. 定义：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 乘方各部分的名称 2. 各部分的名称：在 aⁿ 中，a 叫做底数，n 叫做指数，aⁿ 读作「a 的 n 次方」，它的结果叫做幂。 3. 符号法则： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0 的任何正整数次幂都是 0。 4. 易混的几组式子： (-2)³ = -8，-2³ = -8（两者相等）； (-2)² = 4，而 -2² = -4（两者不相等，注意括号）； (-)² = ，而 - 的含义完全不同。 六、有理数的混合运算 运算顺序： 有理数混合运算的顺序 简记为：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。 提高准确率的三个习惯：① 先观察能否用运算律简算；② 每一步先定符号；③ 算完检查括号与符号有没有抄错。 七、科学记数法与近似数 1. 科学记数法：把一个绝对值大于 10 的数记成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n 是正整数。 科学记数法 2. 确定 n 的方法：n 等于原数的整数位数减 1。 例如：308000 有 6 位整数，n = 6 - 1 = 5，故 308000 = 3.08 × 10⁵。 3. 近似数与精确度： ① 精确到哪一位，就看它后面一位，按四舍五入处理； ② 近似数 3.60 精确到百分位，不能写成 3.6，末尾的 0 不能去掉； ③ 用科学记数法表示的近似数，精确度由 a 中的最后一位决定。 【本章高频易错点】 ① 异号两数相加时，符号取绝对值较大的那个加数的符号，容易取反。 ② -2² 与 (-2)² 不同：前者只对 2 平方再取负，等于 -4；后者等于 4。 ③ 除法不满足交换律与结合律，不能随意交换除数与被除数的位置。 ④ 分配律去括号时，括号里的每一项都要乘，且负号要跟着乘。 ⑤ 科学记数法中 a 必须满足 1 ≤ |a| < 10，写成 30.8 × 10⁴ 是错误的。 八、典型例题精讲 例 1　加减混合运算的简算 题目：计算 (-3.5) + 4.2 + (-6.5) + (-4.2)。 分析：观察发现 4.2 与 -4.2 互为相反数，(-3.5) 与 (-6.5) 同号且能凑整。 解答：原式 = [(-3.5) + (-6.5)] + [4.2 + (-4.2)] = (-10) + 0 = -10。 方法总结：加法简算的三个「优先」——相反数优先、同号优先、凑整优先。 例 2　多个数相乘的符号判断 题目：计算 (-2) × 3 × (-) × (-5)。 分析：先数负因数的个数：-2、-、-5 共 3 个（奇数），积为负。 解答：负因数有 3 个，积为负； 绝对值：2 × 3 × × 5 = = ， 所以原式 = -。 方法总结：多个数相乘，先定符号再算绝对值，把符号问题和数值问题分开处理，出错率最低。 例 3　分配律的灵活运用 题目：计算 (- + ) × 24。 分析：直接通分较麻烦，用分配律把 24 分别乘进括号更快。 解答：原式 = (-) × 24 + × 24 = -20 + 9 = -11。 方法总结：括号里是分数、括号外是它们分母的公倍数时，用分配律最简便。注意每一项都要乘，且要连同符号一起乘。 例 4　含乘方的混合运算 题目：计算 -3² + (-2)³ × (-) - |-4|。 分析：按「先乘方 → 再乘除 → 最后加减」的顺序；注意 -3² 与 (-3)² 的区别，以及绝对值要先算出来。 解答：原式 = -9 + (-8) × (-) - 4 = -9 + 4 - 4 = -9。 方法总结：-3² 中乘方只作用于 3，结果是 -9；(-2)³ 中底数是 -2，负数的奇次幂为负，结果是 -8。 例 5　科学记数法 题目：（1）把 4560000 用科学记数法表示；（2）把 2.03 × 10⁶ 还原成原数。 分析：（1）数整数位数；（2）小数点向右移 n 位。 解答：（1）4560000 共有 7 位整数，n = 7 - 1 = 6，故 4560000 = 4.56 × 10⁶； （2）2.03 × 10⁶ 即把 2.03 的小数点向右移动 6 位，得 2030000。 方法总结：写成 a × 10ⁿ 时，a 只能有一位整数；还原时小数点向右移 n 位，位数不够用 0 补齐。 例 6　用有理数运算解决实际问题 题目：某天股票开盘价为 20 元，上午先涨了 1.5 元，后跌了 2.3 元；下午又涨了 0.8 元，最后跌了 1.2 元。求收盘价。 分析：涨记作正、跌记作负，把四次变化相加，再加上开盘价。 解答：四次变化的总和为 1.5 + (-2.3) + 0.8 + (-1.2) = (1.5 + 0.8) + [(-2.3) + (-1.2)] = 2.3 + (-3.5) = -1.2（元）。 收盘价 = 20 + (-1.2) = 18.8（元）。 方法总结：实际问题先规定正方向，把文字转化为有理数的加法，再用运算律简算。 第二部分　第二章　有理数的运算　单元小测 满分 100 分　　建议用时 60 分钟 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 计算 (-7) + 3 的结果是（　　） A. 10　　B. -10　　C. 4　　D. -4 2. 计算 (-5) - (-8) 的结果是（　　） A. 3　　B. -3　　C. 13　　D. -13 3. 下列各式中，计算结果为负数的是（　　） A. (-2) × (-3)　　B. (-2)⁴　　C. (-2)³　　D. |-2| 4. 计算 -2² 的结果是（　　） A. 4　　B. -4　　C. 2　　D. -2 5. - 的倒数是（　　） A. 　　B. -　　C. 　　D. - 6. 下列运算中，正确的是（　　） A. 0 ÷ (-5) = -5　　　　　　　　　　 B. (-6) ÷ (-2) = -3 C. (-6) ÷ 2 = -3　　　　　　　　　　 D. 5 ÷ 0 = 0 7. 计算 (-1)²⁰²⁵ + (-1)²⁰²⁶ 的结果是（　　） A. 2　　B. -2　　C. 0　　D. 1 8. 把 78000 用科学记数法表示为（　　） A. 78 × 10³　　B. 7.8 × 10⁴　　C. 7.8 × 10³　　D. 0.78 × 10⁵ 9. 计算 (- + ) × 12 的结果是（　　） A. -2　　B. 2　　C. -10　　D. 10 10. 若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 (a + b) - cd 的值是（　　） A. 0　　B. 1　　C. -1　　D. 2 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11. 计算：(-3) + (-9) = ________；(-3) - (-9) = ________。 12. 计算：(-4) × 2.5 = ________；(-12) ÷ (-3) = ________。 13. (-3)³ = ________；-(-3)² = ________；(-)⁴ = ________。 14. 把 (-8) - (+5) + (-3) - (-6) 写成省略加号的和的形式：____________________。 15. 2.5 的倒数是 ________，-1 的倒数是 ________，________ 没有倒数。 16. 用科学记数法表示：地球到太阳的平均距离约为 149600000 km，记作 ________ km（保留三个有效数字）。 17. 把 3.1496 精确到百分位的近似数是 ________。 18. 若 |a| = 3，b = -2，且 a < 0，则 a × b = ________，a ÷ b = ________。 三、解答题（共 46 分） 19.（12 分）计算下列各题（能简算的要简算）。 (1) (-12) + 8 + (-6) + 12； (2) (-2.5) - (-3.7) + (-1.5) - 3.7； (3) (-) × × (-)； (4) (- + - ) × (-24)。 20.（10 分）计算下列各题。 (1) -2² + (-3)² × (-)； (2) (-1)³ - [2 - (-3)²] ÷ (-7)； (3) -1⁴ - (1 - 0.5) × × [2 - (-3)²]。 21.（6 分）某地一周内每天的最高气温与前一天相比的变化情况如下（上升记为正，下降记为负，单位：℃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化 +2 -3 +1 -4 +2 +5 -1 (1) 若上周日的最高气温是 18 ℃，求本周三的最高气温； (2) 本周内最高气温最高的是星期几？最低的是星期几？ 22.（6 分）已知 a = -2，b = 3，c = -。 (1) 求 a + b + c 的值； (2) 求 abc 的值； (3) 求 a² - b ÷ c 的值。 23.（6 分）某检修队沿一条南北方向的公路作业，规定向北为正、向南为负，某天的行驶记录（单位：km）依次为： +8、-5、+6、-9、+4、-7。 (1) 收工时，检修队在出发地的哪个方向？距离出发地多远？ (2) 若汽车每千米耗油 0.3 L，求这一天共耗油多少升？ 24.（6 分）阅读与探究：观察下列等式 = 1 - ， = - ， = - ，…… (1) 请写出 的类似表示； (2) 用你发现的规律计算： + + + … + 。 四、能力提升训练（选做，不计入总分） 25. 已知 |a| = 5，|b| = 3，且 a + b < 0，求 a - b 的值。 26. 计算：(-1) + 2 + (-3) + 4 + (-5) + 6 + … + (-99) + 100。 27. 若 (a - 2)² + |b + 3| = 0，求 a·b 与 a - b 的值。（提示：平方与绝对值都是非负数） 28. 定义一种新运算「※」：a ※ b = a × b - a - b。 (1) 计算 3 ※ (-2)；　(2) 计算 (-2) ※ 3； (3) 由(1)(2)判断这种运算是否满足交换律，并说明理由。 参考答案与解析 一、选择题 1. D　【解析】异号两数相加，取绝对值较大的加数（-7）的符号，再用 7 - 3 = 4，故结果为 -4。 2. A　【解析】减去一个数等于加上它的相反数：(-5) - (-8) = (-5) + 8 = 3。 3. C　【解析】A 同号得正为 6；B 负数的偶次幂为正，(-2)⁴ = 16；C 负数的奇次幂为负，(-2)³ = -8；D |-2| = 2。 4. B　【解析】-2² 表示 2 的平方的相反数，即 -(2 × 2) = -4。注意与 (-2)² = 4 区分。 5. B　【解析】乘积为 1 的两数互为倒数，(-) × (-) = 1，故倒数是 -。 6. C　【解析】A 错，0 除以非零数得 0；B 错，同号得正，应为 3；D 错，0 不能作除数。C 异号得正负，(-6) ÷ 2 = -3，正确。 7. C　【解析】(-1) 的奇次幂为 -1，偶次幂为 1，故原式 = (-1) + 1 = 0。 8. B　【解析】78000 共 5 位整数，n = 5 - 1 = 4，且 a 必须满足 1 ≤ |a| < 10，故为 7.8 × 10⁴。 9. A　【解析】用分配律：(-) × 12 + × 12 = -6 + 4 = -2。 10. C　【解析】a、b 互为相反数则 a + b = 0；c、d 互为倒数则 cd = 1；故原式 = 0 - 1 = -1。 二、填空题 11. -12；6 【解析】同号相加取相同符号并把绝对值相加，得 -12；(-3) - (-9) = (-3) + 9 = 6。 12. -10；4 【解析】异号得负，4 × 2.5 = 10，故为 -10；同号得正，12 ÷ 3 = 4。 13. -27；-9； 【解析】(-3)³ 底数是 -3，奇次幂为负，得 -27；-(-3)² 先算 (-3)² = 9，再取相反数得 -9； (-)⁴ 偶次幂为正，等于 。 14. -8 - 5 - 3 + 6 【解析】先把减法统一为加法：(-8) + (-5) + (-3) + 6，再省略加号和括号。 15. ；-1；0 【解析】2.5 = ，倒数是 ；(-1) × (-1) = 1，故 -1 的倒数还是 -1；0 与任何数相乘都得 0，不可能得 1，所以 0 没有倒数。 16. 1.50 × 10⁸ 【解析】149600000 共 9 位整数，n = 8；保留三个有效数字，1.496 ≈ 1.50，末尾的 0 不能省略。 17. 3.15 【解析】精确到百分位就看千分位上的 9，9 ≥ 5，向前进 1，得 3.15。 18. 6； 【解析】由 |a| = 3 且 a < 0 得 a = -3。a × b = (-3) × (-2) = 6；a ÷ b = (-3) ÷ (-2) = 。 三、解答题 19.（1）原式 = [(-12) + 12] + [8 + (-6)] = 0 + 2 = 2。 （先把互为相反数的 -12 与 12 结合） （2）原式 = (-2.5) + 3.7 + (-1.5) + (-3.7) = [(-2.5) + (-1.5)] + [3.7 + (-3.7)] = -4 + 0 = -4。 （3）负因数有 2 个，积为正； 原式 = × × = = 2。 （4）用分配律： 原式 = (-) × (-24) + × (-24) + (-) × (-24) = 14 + (-20) + 6 = 0。 20.（1）原式 = -4 + 9 × (-) = -4 + (-3) = -7。 （注意 -2² = -4，而 (-3)² = 9） （2）原式 = -1 - [2 - 9] ÷ (-7) = -1 - (-7) ÷ (-7) = -1 - 1 = -2。 （3）原式 = -1 - 0.5 × × (2 - 9) = -1 - × (-7) = -1 + = @f{1|6}。 （注意 -1⁴ = -1，底数是 1 不是 -1） 21.（1）本周三的最高气温是 18 ℃。 【解析】18 + 2 + (-3) + 1 = 18（℃）。 （2）先算出每天的最高气温（以上周日 18 ℃ 为基准）： 一 20，二 17，三 18，四 14，五 16，六 21，日 20。 所以星期六最高（21 ℃），星期四最低（14 ℃）。 22.（1）a + b + c = (-2) + 3 + (-) = 1 - = @f{1|2}。 （2）abc = (-2) × 3 × (-)。负因数有 2 个，积为正， 绝对值 2 × 3 × = 3，故 abc = 3。 （3）a² - b ÷ c = (-2)² - 3 ÷ (-) = 4 - (-6) = 10。 （3 ÷ (-) = 3 × (-2) = -6） 23.（1）在出发地的南方向，距离出发地 3 km。 【解析】把六次记录相加：8 + (-5) + 6 + (-9) + 4 + (-7) = (8 + 6 + 4) + [(-5) + (-9) + (-7)] = 18 + (-21) = -3。 结果为负，说明收工时在出发地以南 3 km 处。 （2）共耗油 11.7 L。 【解析】总路程是各次记录的绝对值之和： 8 + 5 + 6 + 9 + 4 + 7 = 39（km），39 × 0.3 = 11.7（L）。 24.（1） = - 。 （2）原式 = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( - ) 中间的项两两抵消，只剩首尾两项： = 1 - = @f{9|10}。 【方法总结】这种「中间项相消」的方法叫做裂项相消法，关键是发现 = - 。 能力提升训练　参考答案 25. a - b = -8 或 a - b = -2。 【解析】由 |a| = 5 得 a = 5 或 a = -5；由 |b| = 3 得 b = 3 或 b = -3。 再用 a + b < 0 筛选： a = 5 时，5 + 3 = 8 > 0，5 + (-3) = 2 > 0，都不满足，舍去； a = -5 时，-5 + 3 = -2 < 0 满足，-5 + (-3) = -8 < 0 也满足。 所以：当 a = -5，b = 3 时，a - b = -5 - 3 = -8； 当 a = -5，b = -3 时，a - b = -5 - (-3) = -2。 26. 原式 = 50。 【解析】把相邻两项配成一组： 原式 = [(-1) + 2] + [(-3) + 4] + [(-5) + 6] + … + [(-99) + 100] 每一组的和都是 1，从 1 到 100 共 100 个数，配成 50 组， 所以原式 = 1 × 50 = 50。 27. a·b = -6，a - b = 5。 【解析】(a - 2)² ≥ 0，|b + 3| ≥ 0，两个非负数的和为 0，则每个都必须为 0。 由 a - 2 = 0 得 a = 2；由 b + 3 = 0 得 b = -3。 故 a·b = 2 × (-3) = -6；a - b = 2 - (-3) = 5。 28.（1）3 ※ (-2) = 3 × (-2) - 3 - (-2) = -6 - 3 + 2 = -7。 （2）(-2) ※ 3 = (-2) × 3 - (-2) - 3 = -6 + 2 - 3 = -7。 （3）满足交换律。 【解析】由(1)(2)可见 3 ※ (-2) = (-2) ※ 3。一般地，a ※ b = ab - a - b，b ※ a = ba - b - a， 因为乘法满足交换律 ab = ba，且 -a - b = -b - a，所以 a ※ b = b ※ a，这种运算满足交换律。 【复习建议】本章的关键是「先定符号，再算绝对值」这八个字。计算失分往往不是不会，而是符号看错、括号漏乘、运算顺序搞反。建议每做完一道计算题，回头只检查两件事：符号对不对，顺序对不对。 — 1 — — 1 — 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $