精品解析：四川省成都市第二中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年四川省成都市第二中学高三上期期末考试 数学 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】直接用空间向量的数量积公式计算即可求解. 【详解】已知 ，， 因为，所以， 即，化简得 故选：A 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 3. 已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 1013 B. C. 2023 D. 1022 【答案】A 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 4. 如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用三角形面积公式计算求解. 【详解】正九边形每条边长所对的圆心角为，正九边形面积为， 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 5. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知条件求出，，利用余弦定理得到与的关系，进而求出离心率. 【详解】由双曲线的定义知，，又， 所以，. 在中，，， 由余弦定理得，， 即，整理得，即. 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 6. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 11 C. 21 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】应用三角换元，结合辅助角公式及三角函数值域计算求解. 【详解】因为，则设， 则，其中， 则， 当时，取最大值为. 故选：C. 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得，构造，利用判断是否单调，得出关于的关系式，最后利用基本不等式得出答案 【详解】令，对求导得. ，恒成立 在上单调递增 整理得， 由在上单调递增知，即 又 故选：D 8. 已知函数，存在，，满足，令，若，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数的范围可得的范围，从而得到，由，令, 将问题转化为求的最大值，结合导数研究即可求解. 【详解】函数，则，,所以, 若存在，，满足，则， 则,即， 则,即， 所以令， 由， 因为 所以，令, 则, 则, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以在上的最大值为, 故选：C 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23 B. 二项式的展开式中各项系数的和为1，则 C. 已知相互独立，且，则 D. 若已知数据的方差为3，则数据的方差为27 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据将数据从小到大排列后按百分位数的定义即可判断A选项；结合赋值法对二项式进行赋值即可求解B选项；根据独立事件的概率公式和条件概率的公式即可判断C选项；根据样本数据的方差公式即可求解D选项. 【详解】对于A，将个数据从小到大排列为，由，所以分位数是，所以A错误； 对于B，因为二项式的展开式中各项系数的和为1，所以令，则，解得，所以B正确； 对于C，因为相互独立，所以，所以； 又，所以，所以C正确； 对于D，设，记数据的方差为，数据的方差为，则，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据对数不等式得出，再根据指数单调性及对数单调性判断B，D，应用指数幂运算判定A，应用特殊值判断C. 【详解】因为，所以， 所以，A选项正确； 因为单调递减，所以，B选项正确； 当时，，C选项错误； 因为，所以，所以，D选项正确； 故选：ABD. 11. 函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上升下降可得以及的解集.由此可判断A、D项；由图象分析可知，结合极值点代入计算后可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理即可判断C项. 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增， 所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为．又由图象知，函数在处取得极小值，所以有，故B项正确； 对于C项，由图象知，当时，单调递增，则； 当时，单调递减，则，当时，单调递减，则．所以的解集为，的解集为． 又为二次函数，根据二次函数的图象可知． 因为函数在以及处取得极值， 所以有，即，所以， 所以， 因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由可得或． 由图象知，当时，． 又的解集为，所以由，可得 由图象知，当时，，又的解集为． 所以由可得． 所以，的解集是，故D项错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算内层函数值，再将结果作为自变量代入函数计算外层函数值. 【详解】， ，. 故答案为：3 13. 如图，线段在平面内，，且，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再根据线面垂直的性质得，最后根据勾股定理即可得到答案. 【详解】连接，如图，在中，根据余弦定理有：， 因为，所以，所以. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，关于曲线：（），给出下列四个结论： ①曲线有且仅有一条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（横坐标与纵坐标都为整数的点，称为整点）； ③曲线所围成的区域面积； ④曲线上的点与原点的距离的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据解析式特点可判断①，代入整数点可判断②，利用正方形的面积可判断③，写出两点间距离公式，结合基本不等式可求最大值，进而可判断④. 【详解】用代替，代替，代入曲线方程，方程不变，所以曲线关于x 轴、y 轴对称， 用代替，代替，代入曲线方程，方程不变，所以曲线关于直线y=x均对称，①不正确. 当时，，解得，； 当时，，解得，（舍）； 当或时，，方程不成立， 得到整点：，共 8 个，②正确. 曲线经过整点，这些点构成一个边长为 2 的正方形（顶点为 ），该正方形面积为4， 当时，代入方程可得， 令，因为，所以必有一个大于1的零点， 即在该正方形外部还有点，故面积，③正确. 设点与原点距离为r，则，方程可化为， 解得或（舍去），又由，可得， 因此曲线上的点与原点的距离的最大值为​，当, 时取到最大值，④正确. 四、解答题：共5道题，77分．其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等比数列的前 项和为，已知，. （1）求和； （2）设，证明：. 【答案】（1）， （2），， ， 因为，所以，从而. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前 项和公式列式求解； （2）利用裂项相消法求前 项和即可证明. 【小问1详解】 由为等比数列，，可得， 即，，解得， 所以，，. 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】（1） 取中点，连接 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，先利用平行四边形性质证，再利用线面平行判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求两平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 不妨取，则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 17. 2025年“十一”黄金周期间，某市文旅局对五大热门景区的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（x，单位：万人次）与全市旅游综合收入（y，单位：亿元）的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 x 29 32 36 30 28 y 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入y关于游客接待量x的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，其中某一个景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．在黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为X，求X的分布列及数学期望． 参考数据、公式：，，，， 【答案】（1）；8.7亿元． （2）分布列为： X 0 1 2 3 P ． 【解析】 【分析】（1）根据所给条件求出线性回归方程，再由回归方程计算估计值即可； （2）根据二项分布概率公式求出分布列，再由二项分布期望公式求期望. 【小问1详解】 因为， 所以 所以回归方程为：，当时， 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． 【小问2详解】 由题意可知，， 则， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 18. 已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． （1）求的方程； （2）求面积的最小值． （3）过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【答案】（1） （2） （3）证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （3）结合（2）中的韦达定理，直线，双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； 【小问1详解】 由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； 【小问2详解】 设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对所有成立，求的最大值； （3）设，若有两个零点，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）证明：． ，且， 令，得， 由有两个零点结合函数的性质， 可得有唯一的正根，此时 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增． 所以是的极小值点，且，两个零点满足 因为，解得 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到 所以位于的递增区间内． ， 将代入得， 因为，所以 又与都在的递增区间内， 所以有，即． 【解析】 【分析】（1）求导得，由分子的符号，结合或分类，直接得单调区间； （2）变形为，则，利用得必要条件，再证该范围充分； （3）由极值点满足，推出，用代入，比较，结合递增区间得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增． 当时，令，解得， ，即在上单调递增． ，即在上单调递减． 综上， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 对所有成立，即对所有成立； 令，．则，即 再证充分性：则 令，当时，恒成立 在上单调递减．即 即成立． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市第二中学高三上期期末考试 数学 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 1013 B. C. 2023 D. 1022 4. 如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 11 C. 21 D. 31 7. 已知，若，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8. 已知函数，存在，，满足，令，若，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23 B. 二项式的展开式中各项系数的和为1，则 C. 已知相互独立，且，则 D. 若已知数据的方差为3，则数据的方差为27 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. C. 时，取得最大值 D. 的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 13. 如图，线段在平面内，，且，则_____ 14. 在平面直角坐标系中，关于曲线：（），给出下列四个结论： ①曲线有且仅有一条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（横坐标与纵坐标都为整数的点，称为整点）； ③曲线所围成的区域面积； ④曲线上的点与原点的距离的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题：共5道题，77分．其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等比数列的前 项和为，已知，. （1）求和； （2）设，证明：. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； 17. 2025年“十一”黄金周期间，某市文旅局对五大热门景区的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（x，单位：万人次）与全市旅游综合收入（y，单位：亿元）的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 x 29 32 36 30 28 y 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入y关于游客接待量x的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，其中某一个景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．在黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为X，求X的分布列及数学期望． 参考数据、公式：，，，， 18. 已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． （1）求的方程； （2）求面积的最小值． （3）过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对所有成立，求的最大值； （3）设，若有两个零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $