四川省成都市第二中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年四川省成都市第二中学高三上期期末考试 数学 （总分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.已知空间向量，，若，则x=（ ） A.6 B.2 C.-6 D.-2 2.已知命题，那么是（ ） A. B. C. D. 3.已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A.1013 B. C.2023 D.1022 4.如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计，在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性、生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为r，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 5.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6.已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A.1 B.11 C.21 D.31 7.已知，若，则的最小值为（ ） A.3 B. C.6 D. 8.已知函数，存在，满足，令，若，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D.1 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分. 9.下列说法正确的是（ ） A.数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的70%分位数是23 B.二项式的展开式中各项系数的和为1，则a=1 C.已知A，B相互独立，且，则 D.若已知数据的方差为3，则数据的方差为27 10.已知，则（ ） A. B. C. D. 11.函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（ ） A.的解集是（2，5） B. C.时，取得最大值 D.的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数，则______________. 13.如图，线段AB，BD在平面内，，且，则______________. 14.在平面直角坐标系xOy中，关于曲线，下列四个结论： ①曲线有且仅有一条对称轴； ②曲线恰好经过8个整点（横坐标与纵坐标都为整数的点，称为整点）； ③曲线所围成的区域面积 ④曲线上的点与原点的距离最大值为. 其中正确结论的序号是______________．（选不全不得分） 四、解答题：共5道题，77分．其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设等比数列的前项和为，已知，. （1）求和；（2）设，证明： 16.如图，在四棱锥中，平面，，，，，，M是PD的中点. （1）求证：平面PAB； （2）已知，求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； 17.2025年“十一”黄金周期间，某市文旅局对五大热门景区的游客数据进行了统计。已知前五日每日总游客接待量（x，单位：万人次）与全市旅游综合收入（y，单位：亿元）的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 x 29 32 36 30 28 y 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入y关于游客接待量x的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，其中某一个景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4。在黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为X，求X的分布列及数学期望. 参考数据、公式：，，，， 18.已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）求面积的最小值. （3）过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 19.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对所有成立，求的最大值； （3）设，若有两个零点，求证：. 2025-2026学年四川省成都市第二中学高三上期期末考试-数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C B C D C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 BCD ABD BC 3 ②③④ 7.D【详解】令，对求导得. ，恒成立 在R上单调递增 整理得 由在R上单调递增知，即 又 故选：D 8.C【详解】函数，则，，所以， 若存在，，满足，则， 则，即 则，即 所以令， 由， 因为 所以，令 则， 则， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以在上的最大值为，故选：C 11.BC【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增， 所以的解集是（1，3），故A项错误； 对于B项，因为。又由图象知，函数在处取得极小值， 所以有，故B项正确； 对于C项，由图象知，当时，单调递增，则； 当时，单调递减，则 当时，单调递减，则。 所以的解集为，的解集为. 又为二次函数，根据二次函数的图象可知. 因为函数在以及处取得极值， 所以有，即，所以， 所以 因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由可得或。 由图象知，当时，。 又的解集为，所以由，可得 由图象知，当时，。 又的解集为. 所以由可得. 所以，的解集是，故D项错误．故选：BC. 14.②③④【详解】用代替y，代替，代入曲线方程，方程不变，所以曲线关于轴、轴对称，用代替，代替，代入曲线方程，方程不变，所以曲线关于直线均对称，①不正确. 当时，，解得； 当时，，解得，（舍）； 当或时，，方程不成立， 得到整点：，，，共8个，②正确. 曲线经过整点，，，这些点构成一个边长为2的正方形（顶点为），该正方形面积为4， 当时，代入方程可得 令，因为，所以必有一个大于1的零点， 即在该正方形外部还有点，故面积，③正确 设点与原点距离为，则，方程可化为 解得或（舍去），又由，可得 因此曲线C上的点与原点的距离的最大值为，当，时取到最大值，④正确. 15.【详解】（1）由为等比数列，，可得 即，，解得， 所以，， （2），，因为，所以，从而 16.【详解】（1） 取PA中点N，为PD中点， ，且， 又，， ，且， ∴四边形BCMN为平行四边形，即，平面PAB，平面， 平面PAB； （2）平面ABCD，且， 则以点A为坐标原点，AB，AD，AP方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，得，，，，， ，，，， 因为平面ABCD，且平面PAB， 所以平面平面ABCD 又因为平面平面，，平面ABCD 所以平面PAB 所以平面PAB的一个法向量为 设平面PCD的法向量为， 则，令，则， ， ∴平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为； 17.【详解】（1）因为， 所以 所以回归方程为：，当时， 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元. （2）由题意可知， 则 。 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 。 18.【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由①得，解得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号，所以的最小值为 （3）由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线NQ所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以NQ过定点； 19.【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得， ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一：对所有成立，即对所有成立； 令，。则，即 再证充分性：则 令，当x>0时，恒成立 在上单调递减。即 即成立。 方法二：分离变量，洛比达法则可做。 （3）。 ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足 因为，解得 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到 所以位于的递增区间内. ， 将代入得， 因为，所以 又与都在的递增区间内， 所以有，即。 学科网（北京）股份有限公司 $