1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集的定义与符号，以及Venn图表示。通过复习1.1节元素与集合关系，结合具体集合实例引出集合间包含关系，搭建从元素到集合关系的学习支架。 以核心素养为导向，通过数学抽象从实例提炼概念，直观想象借助Venn图实现文字、符号、图形语言转化，逻辑推理验证包含关系性质。如例2区分∈与⊆突破难点，例3含参问题培养分类讨论能力，助力学生深化概念理解与逻辑思维，为教师提供清晰教学路径与难点突破策略。

高一 教学设计-2026-2027学年 数学 1.2 集合间的基本关系 必修第一册 人教A版 一、教学内容解析 本节课位于人教A版高中数学必修第一册第一章1.2节，承接1.1节集合的概念与表示，是研究集合运算与逻辑用语的基石。核心内容涵盖子集、集合相等、真子集、空集的定义与符号表示，Venn图的引入，以及集合间包含关系的传递性与自反性。教学重点在于子集、真子集、空集的概念与符号，集合相等的双向包含判定，以及Venn图的直观表示。教学难点在于∈与⊆的本质区别（元素与集合的关系对照集合与集合的关系），空集作为任何集合子集的规定的合理性，以及含参集合关系中端点取舍的分类讨论思想。 二、教学目标解析 1. 素养目标一（数学抽象）：学生能够从具体实例中抽象出子集、真子集、集合相等与空集的概念，准确使用符号⊆、⫋、=、∅表述集合间的基本关系，体会数学符号的精确性与简洁性。 2. 素养目标二（直观想象）：学生能够借助Venn图直观表示集合间的包含与相等关系，实现文字语言、符号语言与图形语言三种数学语言的相互转化，培养数形结合的意识。 3. 素养目标三（逻辑推理）：学生能够运用子集的定义进行集合相等的双向推理，掌握包含关系的传递性证明，并能区分属于关系∈与包含关系⊆在逻辑层面的差异。 4. 素养目标四（数学运算与分类讨论）：学生能够按元素个数有序写出给定集合的所有子集与真子集，在含参集合关系问题中识别空集情形并正确进行端点取舍的分类讨论。 三、学情分析 高一学生在1.1节已初步掌握集合的概念、元素与集合的属于关系∈，以及列举法与描述法表示集合，具备从具体到抽象的认识基础。但学生对集合间关系的符号体系尚属首次接触，易将元素与集合的属于关系∈同集合与集合的包含关系⊆混淆。空集作为一个不含任何元素的特殊集合，其规定的合理性及在分类讨论中的隐蔽性是学生的认知盲区。含参集合关系中端点值的取舍需要借助数轴与不等式综合分析，对学生的逻辑严谨性与运算能力提出较高要求。 四、教学过程 本节课教学过程按照复习引入、公式代换发现新知、课堂探究公式证明、几何解释加深理解、学以致用迁移内化、巩固运用深化理解、回顾反思提高升华的顺序展开，共11个一级栏目，各环节层层递进，确保概念建构的完整性与逻辑性。 1.复习引入，温故知新 教师活动：教师回顾1.1节集合的概念与元素与集合的关系，提问“若集合A的元素全都在集合B中，这两个集合之间除了元素层面的属于关系外，是否存在整体层面的关系？”预设学生回答“存在，A被B包含”。设计意图：从已知的元素与集合关系自然过渡到集合与集合关系，降低新知门槛。 教师追问“设A={1,2}，B={1,2,3}，A的元素是否都是B的元素？B的元素是否都是A的元素？”预设学生回答“A的元素都是B的元素，但B的元素3不是A的元素”。设计意图：用具体数字集合引出子集与真子集的直观感知，为后续形式化定义铺垫。答案：A的元素都是B的元素，B的元素不全是A的元素。 2.公式代换，发现新知 教师活动：教师引导学生观察实例A={1,2}与B={1,2,3}，提问“能否用符号简洁表达A的所有元素都在B中这一事实？”预设学生回答“A⊆B”。教师板书子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 教师继续引导“若A⊆B同时B⊆A，两个集合关系如何？”预设学生回答“两集合相等”。教师板书集合相等定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。 教师提问“回到A={1,2}，B={1,2,3}，A⊆B成立，但B中是否存在不属于A的元素？”预设学生回答“存在，元素3”。教师板书真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。设计意图：通过实例层层递进，代换符号，自主发现三个核心概念。 3.课堂探究，公式证明 教师活动：教师引导学生探究包含关系的性质。提问“对于任意集合A，A⊆A是否成立？为什么？”预设学生回答“成立，因为A中任意一个元素显然是A自身的元素”。教师板书结论：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。 教师追问“若A⊆B且B⊆C，能否推出A⊆C？请说明理由。”预设学生回答“能，因为A的元素都是B的元素，B的元素都是C的元素，故A的元素都是C的元素”。教师板书结论：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。 教师提问“空集∅作为不含任何元素的集合，规定∅⊆A对任意集合A成立，这一规定是否合理？”预设学生回答“合理，因为空集中不存在不属于A的元素，无法反驳”。教师板书：空集是任何集合的子集。设计意图：通过逻辑推理验证性质，体会规定的自洽性。答案：A⊆A成立；传递性成立；空集规定合理。 4.几何解释，加深理解 教师活动：教师引入Venn图，板书定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师演示用矩形表示全集U，其内部画封闭曲线表示集合A与B，若A⊆B则将A的封闭曲线画在B的封闭曲线内部。 教师提问“Venn图中A的封闭曲线完全落在B的封闭曲线内部，这形象表达了何种关系？”预设学生回答“A⊆B”。教师追问“若A=B，两封闭曲线如何画？”预设学生回答“重合”。设计意图：借助图形直观深化概念理解。答案：表达A⊆B；A=B时两曲线重合。 5.学以致用，迁移内化 例1：写出集合A={a,b}的所有子集和真子集。 教师活动：教师引导学生按元素个数从少到多有序写出，提问“子集应从几个元素开始列举？”预设学生回答“从0个元素即空集开始”。教师板书：子集为∅，{a}，{b}，{a,b}；真子集为∅，{a}，{b}。 教师追问“{a,b}的子集共有几个？真子集共有几个？与元素个数有何规律？”预设学生回答“子集4个，真子集3个，2个元素的集合子集数为2²=4”。设计意图：训练有序列举方法，发现子集个数规律。答案：子集为∅，{a}，{b}，{a,b}；真子集为∅，{a}，{b}；子集4个，真子集3个。 例2：判断下列关系是否正确，并说明理由。（1）∅⊆{0}；（2）0∈{0}；（3）∅∈{0}。 教师活动：教师引导学生区分∈与⊆。提问“第（1）题空集与{0}是什么关系？”预设学生回答“空集是任何集合的子集，故∅⊆{0}正确”。教师追问“第（2）题0与{0}是什么关系？”预设学生回答“0是{0}的元素，故0∈{0}正确”。教师再问“第（3）题空集是否是{0}的元素？”预设学生回答“{0}只含元素0，不含∅，故∅∈{0}错误”。设计意图：突破∈与⊆混淆的难点。答案：（1）正确；（2）正确；（3）错误。 例3：已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|a≤x≤a+2}，若A⊆B，求实数a的取值范围。 教师活动：教师引导学生画数轴分析。提问“A⊆B意味着A的区间在B的区间内，端点需满足什么条件？”预设学生回答“a≤1且a+2≥3”。教师板书：由A⊆B，得≤1且≥3，解得a≤1且a≥1，故a=1。 教师追问“若将条件改为A⫋B，结果是否变化？”预设学生回答“区间端点重合时A=B，故A⫋B时无解”。设计意图：突破含参集合端点取舍难点。答案：A⊆B时a=1；A⫋B时a无解。 6.巩固运用，深化理解 练习1：写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出真子集的个数。 教师活动：学生独立完成后汇报。预设学生回答“子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，真子集7个”。设计意图：巩固有序列举方法。答案：子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}；真子集7个。 练习2：已知集合A={x|x²−3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，求实数a的值。 教师活动：教师引导学生先化简A。提问“方程x²−3x+2=0的解是什么？”预设学生回答“x=1或x=2，故A={1,2}”。教师追问“B⊆A意味着B的元素只能在1和2中，B可能是什么集合？”预设学生回答“B可能是∅，{1}，{2}”。 教师引导学生分类讨论：若B=∅，则方程ax=1无解，故a=0；若B={1}，则=1，故a=1；若B={2}，则=，故a=。设计意图：强化分类讨论与空集意识。答案：a=0或a=1或a=。 练习3：判断下列命题的真假。（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）若A⊆B且B⊆A则A=B。 教师活动：学生判断并说明理由。预设学生回答“（1）假，空集是自身的子集；（2）假，空集只有一个子集即自身；（3）真，这是集合相等的定义”。设计意图：深化空集与集合相等性质理解。答案：（1）假；（2）假；（3）真。 7.回顾反思，提高升华 教师活动：教师引导学生总结本节课核心概念。提问“本节课学习了哪些集合间的基本关系？”预设学生回答“子集、真子集、集合相等、空集”。教师追问“子集与真子集的区别是什么？”预设学生回答“真子集要求B中存在不属于A的元素”。 教师提问“∈与⊆的区别是什么？”预设学生回答“∈表示元素与集合的关系，⊆表示集合与集合的关系”。教师补充“空集是任何集合的子集，含参讨论时勿忘空集情形”。设计意图：梳理知识脉络，升华数学思想。答案：学习了子集、真子集、集合相等、空集；真子集要求B中存在不属于A的元素；∈是元素与集合关系，⊆是集合与集合关系。 学科网（北京）股份有限公司 $