1.3 集合的基本运算 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理交集、并集、补集的定义、性质及运算律，构建从概念理解到性质应用再到不同题型解题的学习支架。 资料以题型分类与方法提炼为特色，通过列举法、数轴辅助描述法运算培养几何直观的数学眼光，结合参数求解题型锻炼逻辑推理的数学思维，Venn图综合运算提升数学语言表达能力，课中助力教师系统教学，课后便于学生查漏补缺。

§1.3 集合的基本运算 目录 题型1：交集与并集运算 3 题型2：补集运算 3 题型3：根据集合运算求参数 4 题型4：图与集合的综合运算 6 1. 交集 (1) 一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即． (2) 性质：;;;;;若，则. 2. 并集 (1) 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即． (2) 性质：；；；；；若，则. 3. 全集和补集 (1) 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. (2) 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.即. (3) 性质：，，. 4. 运算律 (1) 分配律：，. (2) 德•摩根律：，. 题型1：交集与并集运算 方法提炼 (1) 列举法集合：直接取公共元素（交集）或合并元素去重（并集）。 (2) 描述法/区间集合：利用数轴辅助，取重叠部分（交集）或合并范围（并集）。 (3) 利用运算律化简后再求。 【例1.1.】 已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例1.5.】 设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 题型2：补集运算 方法提炼 (1) 明确全集的范围。 (2) 根据补集定义 ，即中不属于的部分。 (3) 利用数轴或Venn图辅助。 【例2.1.】 已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 题型3：根据集合运算求参数 方法提炼 (1) 将集合间的运算关系转化为两集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系. (2) ；；. 【例3.1.】 已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【例3.2.】 已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【例3.3.】 已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【例3.4.】 （多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例3.5.】 设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【例3.6.】 设 ，若 ，求 的值． 【例3.7.】 已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【例3.8.】 已知全集为R，集合. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【例3.9.】 已知集合，，，，求： (1)若，，求集合，并求； (2)若，，求集合． 题型4：图与集合的综合运算 方法提炼 Venn图是处理有限集运算的利器。步骤：(1)画图并标注各区域;(2)根据已知条件填写区域元素数。(3)利用容斥原理求解。 【例4.1.】 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【例4.2.】 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 （多选）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例4.6.】 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.3 集合的基本运算 目录 题型1：交集与并集运算 3 题型2：补集运算 5 题型3：根据集合运算求参数 7 题型4：图与集合的综合运算 13 1. 交集 (1) 一般地，由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即． (2) 性质：;;;;;若，则. 2. 并集 (1) 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即． (2) 性质：；；；；；若，则. 3. 全集和补集 (1) 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. (2) 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作.即. (3) 性质：，，. 4. 运算律 (1) 分配律：，. (2) 德•摩根律：，. 题型1：交集与并集运算 方法提炼 (1) 列举法集合：直接取公共元素（交集）或合并元素去重（并集）。 (2) 描述法/区间集合：利用数轴辅助，取重叠部分（交集）或合并范围（并集）。 (3) 利用运算律化简后再求。 【例1.1.】 已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据一元二次方程的解法及交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 【例1.2.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】并集的概念及运算 【分析】由集合并集定义结合题设可得答案. 【详解】因为， 则. 【例1.3.】 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由集合， 所以． 【例1.4.】 已知集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合元素个数 【分析】求出集合A、B即可由交集定义得解. 【详解】由题可得集合， ， 所以， 所以中的元素个数为4. 故选：C 【例1.5.】 设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断两个集合是否相等、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【详解】由题意，故A错误； 因，故B错误； 又，故C正确； 因，故D错误． 题型2：补集运算 方法提炼 (1) 明确全集的范围。 (2) 根据补集定义 ，即中不属于的部分。 (3) 利用数轴或Venn图辅助。 【例2.1.】 已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据集合的交集及补集运算求解即可. 【详解】根据补集的定义， ， 所以 . 【例2.2.】 设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算 【详解】因为， 所以，所以. 【例2.3.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据补集、交集的定义进行计算. 【详解】集合，， ∴，则． 故选：C. 【例2.4.】 设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】交并补混合运算 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 【例2.5.】 已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 【例2.6.】 （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【难度】0.92 【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）利用交集和补集的定义可求得集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合. 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 题型3：根据集合运算求参数 方法提炼 (1) 将集合间的运算关系转化为两集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系. (2) ；；. 【例3.1.】 已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据交集结果求集合或参数 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 【例3.2.】 已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 【例3.3.】 已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【难度】0.82 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 【例3.4.】 （多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【难度】0.7 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 【例3.5.】 设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.7 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合 【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案； （2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案. 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. 【例3.6.】 设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 【例3.7.】 已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.74 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 【例3.8.】 已知全集为R，集合. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；或 (2)或 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】（1）利用补集与并集的概念运算即可. （2）根据交集的概念分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题意易知，或， 所以或； （2）显然，要使，需使或， 综上，的取值范围为或. 【例3.9.】 已知集合，，，，求： (1)若，，求集合，并求； (2)若，，求集合． 【答案】(1)；或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）由，即可求出集合，利用集合的补集运算求，根据集合的交集运算即可求解； （2）先求集合，由，，即可求解. 【详解】（1）由，，， 所以，又，所以， 所以， 所以或，或， 所以或； （2）由， 解得或，所以或， 由，，故. 题型4：图与集合的综合运算 方法提炼 Venn图是处理有限集运算的利器。步骤：(1)画图并标注各区域;(2)根据已知条件填写区域元素数。(3)利用容斥原理求解。 【例4.1.】 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 【例4.2.】 已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 【例4.3.】 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案. 【详解】根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是, 故选：D 【例4.4.】 （多选）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.95 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 【例4.5.】 学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、根据并集结果求集合元素个数、容斥原理的应用 【分析】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”，结合容斥原理，列式计算，即可求解. 【详解】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”， 根据题意，可得，， 参加社团的总人数为， 因为有10名学生同时参加了两个社团，且没有学生同时参加三个社团， 可得， 所以， 所以三个社团都不参加的学生人数为人. 故选：C 【例4.6.】 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【难度】0.4 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $