微专题 对幂与指数的理解与例析（含十一种题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义以“幂与指数”为核心，通过知识框架图系统梳理从初中整数指数幂到高中实数指数幂的拓展脉络，用对比表格呈现不同指数幂的定义及运算性质，清晰标注底数限制等重难点，构建完整知识体系。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖化简求值、证明、应用题等11类题型，如结合薇甘菊侵害面积的指数模型应用题培养数学应用意识，新定义问题发展创新思维。每题附解析与方法总结，基础生可掌握运算法则，优秀生能深化逻辑推理，助力教师精准教学与学生自主复习。

【原卷版】 微专题 对幂与指数的理解与例析 【沪教版】高中数学必修一《第3章 幂、指数与对数》3.1 幂与指数是实数运算的重要拓展，是学习指数函数的基础。初中只学习整数指数幂，高中将指数范围扩充到分数、无理数，完善了幂的运算体系； 中，为底数，是指数，整体叫幂；当指数为正整数，代表相同因数相乘；零指数幂要求底数不为零，结果为；负整数指数幂转化为正指数幂的倒数；分数指数幂实现根式与幂的互化，正分数指数，负分数指数取其倒数，要注意底数的限制，避免无意义； 实数指数幂保留整数指数幂全部运算性质：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，不管指数是分数还是无理数，法则依然成立。把指数拓展到全体实数后，底数大于时，对任意实数都有意义； 这部分核心是完成从有限次乘法到实数指数运算的跨越，不再局限于直观乘方，依靠运算法则进行计算；它既是根式运算的简化工具，也为后续指数函数、对数的学习搭建运算基础，做题要时刻留意底数取值范围，防止出现增根或者无意义的式子。 1、初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 2、指数幂的拓展 正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂. 3、相关性质与定理（沪教版2020） 性质 对任意给定的正数、及实数、，有 ，， 【注意】1、上述等式均在有意义的条件下才能成立，否则有一定成立，如：不一定等于，因为有可能没有意义（当时）；2、实数指数幂运算的注意事项：①实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的，有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用。②在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则有可能不成立。 4、定理 当，时，； 5、的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 的次方根用符号表示，这里叫做根指数，叫做被开方数。 是奇数 正数的次方根是一个正数 的次方根用符号表示 负数的次方根是一个负数 是偶数 正数的次方根有两个，这两个数互为相反数 正数的次方根用符号表示, 负数的次方根用符号表示。正的次方根与负次方根可以合并写成 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0，记作 【注意】开方与乘方：求的次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，这两种运算不能混淆。 题型1、有关指数幂的化简、求值等运算 例1、下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、计算： 题型2、带有条件的有关指数幂运算 例3、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 例4、已知，且，则最小值为 题型3、有关根式的化简求值 例5、把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（     ） A． B． C． D． 例6、当时，化简______． 题型4、分数指数幂与根式的互化 例7、下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（     ） A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y（y＜0） C．xy＝ （x＞0，y＞0） D．x＝－ （x≠0） 例8、计算____________ 题型5、与幂与指数相关的证明 例9、已知实数，且，求证：. 例10、已知，且；求证：； 题型6、涉及幂与指数的不等式证明 例11、如果a，b都是正数，且，求证：； 例12、设，，且，试比较，，三者的大小. 题型7、有关幂的基本不等式 例13、根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（     ） A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 例14、当，且时，比较与的大小； 题型8、含幂与指数的方程 例15、方程的解集为__________. 例16、已知集合，，且，则______. 题型9、幂与指数的综合应用 例17、计算下列各式的值： （1）化简：； （2）已知，求的值. 例18、（1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【说明】本题综合考查了指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值； 关于指数式的化简、求值问题 （1）无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减； （2）仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错； 题型10、有关指数幂的简单应用题 例19、我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是一部介绍西方符号代数的数学著作，《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“”来表示“”，用“（甲⊥乙）三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“”．那么下列表述中所有正确的序号是（     ） ①“”表示“”； ②“”表示“”． ③“（甲⊥乙）二=甲二⊥二甲乙⊥乙二”表示“”． A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 例20、薇甘菊，翠绿的叶子，清新的花朵加上曼妙的名称，让人觉得它是一种很友好、人畜无害的植物.殊不知，它却是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零.某省是受薇甘菊侵害的“重灾区”，2017年该省受薇甘菊侵害的面积为公顷，2018年该省受薇甘菊侵害的面积进一步蔓延至公顷.经测算，该省受薇甘菊侵害的面积（单位：公顷）与年数满足关系式，其中（单位：公顷）为该省受薇甘菊侵害的面积的初始值，2017年，2018年对应的年数分别为0，1. （1）求的值； （2）试估计2024年该省受薇甘菊侵害的面积达到多少个单位？（参考数据：取，结果保留两位小数，1个单位公顷） 题型11、有关幂与指数的创新题 例21、若为方程的两个根，则___________． 例22、若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例23、设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是________． 例24、已知，求的值. 1、整数指数幂的概念及运算性质： 经历了由“正整数”到“整数”到“分数”到“有理数”到“实数”的发展与规定、拓展；比如： （1）整数指数幂的概念： （2）规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N，且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义； （3）运算法则 对任意给定的正数、及实数、，有 ①；②；③；④. 【说明】有括号先算括号里的；无括号先做指数运算；负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质；在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算； 2、根式的概念、运算及其相关 （1）概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. （2）性质： (a使有意义)； 当n为奇数时，，当n为偶数时，＝； 【说明】①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误。 1．下面四个等式运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的个数是（    ） ①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．的值为__________. 6．的分数指数幂表示为 7．化简的结果是 8．已知，则的值是 9．某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是___________万元.（结果保留整数） 10．已知集合，，且，则______． 11．（1）已知，求的值； （2）化简. 12．已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析版】 微专题 对幂与指数的理解与例析 【沪教版】高中数学必修一《第3章 幂、指数与对数》3.1 幂与指数是实数运算的重要拓展，是学习指数函数的基础。初中只学习整数指数幂，高中将指数范围扩充到分数、无理数，完善了幂的运算体系； 中，为底数，是指数，整体叫幂；当指数为正整数，代表相同因数相乘；零指数幂要求底数不为零，结果为；负整数指数幂转化为正指数幂的倒数；分数指数幂实现根式与幂的互化，正分数指数，负分数指数取其倒数，要注意底数的限制，避免无意义； 实数指数幂保留整数指数幂全部运算性质：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方，不管指数是分数还是无理数，法则依然成立。把指数拓展到全体实数后，底数大于时，对任意实数都有意义； 这部分核心是完成从有限次乘法到实数指数运算的跨越，不再局限于直观乘方，依靠运算法则进行计算；它既是根式运算的简化工具，也为后续指数函数、对数的学习搭建运算基础，做题要时刻留意底数取值范围，防止出现增根或者无意义的式子。 1、初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 2、指数幂的拓展 正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂. 3、相关性质与定理（沪教版2020） 性质 对任意给定的正数、及实数、，有 ，， 【注意】1、上述等式均在有意义的条件下才能成立，否则有一定成立，如：不一定等于，因为有可能没有意义（当时）；2、实数指数幂运算的注意事项：①实数指数幂的运算性质是由有理数指数幂、整数指数幂的运算性质推广而来的，有理数指数幂、整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用。②在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，若改变等式成立的条件，则有可能不成立。 4、定理 当，时，； 5、的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 的次方根用符号表示，这里叫做根指数，叫做被开方数。 是奇数 正数的次方根是一个正数 的次方根用符号表示 负数的次方根是一个负数 是偶数 正数的次方根有两个，这两个数互为相反数 正数的次方根用符号表示, 负数的次方根用符号表示。正的次方根与负次方根可以合并写成 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0，记作 【注意】开方与乘方：求的次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，这两种运算不能混淆。 题型1、有关指数幂的化简、求值等运算 例1、下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【提示】注意正确利用指数幂运算性质； 【答案】D； 【解析】A选项：由题意得，故选项A错误； B选项：由题意得，故选项B错误； C选项：由题意得，故选项C错误； D选项：由题意得，故选项D正确； 【说明】本题主要考查了数与式、指数幂的运算； 例2、计算： 【提示】注意：初中正整数指数幂运算性质的推广与“指数幂为0”、“负指数幂”、“分数指数幂”的等价转化； 【答案】； 【解析】原式； 【说明】1、指数幂的一般运算步骤：有括号的先算括号里面的，无括号的先算指数运算，负指数幂化为正指数幂，底数是分数，先要化成假分数，要尽可能用幂的形式表示，以便于用指数幂的运算性质；2、根式一般先转化成分数指数幂，再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，运用运算性质准确求解，例如：； 3、运算顺序：①能否应用公式；②指数为负先化正；③根式化为分数指数幂。 题型2、带有条件的有关指数幂运算 例3、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【提示】根据给定条件，利用指数运算化简求解； 【答案】C； 【解析】由，得，，则，因此， 所以. 【说明】本题考查了带有条件的指数幂的化简、求值； 例4、已知，且，则最小值为 【提示】注意结合条件与指数幂运算，借助定理：平均值不等式进行求最值； 【答案】； 【解析】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 【说明】本题主要考查了定理：平均值不等式求和的最小值与指数幂的运算的交汇； 解决条件求值的思路：在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值； 题型3、有关根式的化简求值 例5、把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（     ） A． B． C． D． 【提示】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可； 【答案】A； 【解析】因为， ，即 ， 所以， ， 所以， . 故选：A； 【说明】本题主要考查了根式的化简求值； 例6、当时，化简______． 【提示】根据根式的性质计算可得； 【答案】； 【解析】因为，所以. 故答案为：； 【说明】本题主要考查了根式的化简求值； 题型4、分数指数幂与根式的互化 例7、下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（     ） A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y（y＜0） C．xy＝ （x＞0，y＞0） D．x＝－ （x≠0） 【提示】根据根式和分数指数幂的转化关系判断选项； 【答案】C； 【解析】对于A，－＝－x，故A错误； 对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误； 对于C，xy＝ （x＞0，y＞0），故C正确； 对于D，x＝ （x≠0），故D错误. 故选：C 【说明】本题主要考查了分数指数幂与根式的互化； 例8、计算____________ 【答案】4； 【解析】． 【说明】本题综合考查了指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化、根式的化简求值 根式与分数指数幂互化的规律： （1）根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 题型5、与幂与指数相关的证明 例9、已知实数，且，求证：. 【提示】根据指数幂的运算法则，将左边式子化简整理，即可得出结果； 【证明】. 【说明】本题主要考查了有关指数幂的证明； 例10、已知，且；求证：； 【提示】令，结合指数运算，通过证明等式左边右边来证得等式成立； 【证明】令，则，，， 所以， ， 所以； 【说明】本题考查了指数幂的相关证明； 题型6、涉及幂与指数的不等式证明 例11、如果a，b都是正数，且，求证：； 【提示】作差分解因式即可证明； 【证明】由． 因为a，b都是正数，且， 所以， 所以． 【说明】本题考查了利用作差法证明含指数幂的不等式； 例12、设，，且，试比较，，三者的大小. 【提示】先分为和两种情形，利用作商法，结合，的符号，将其结果和1比较，综合即可得结果； 【答案】； 【解析】由题知，，且. 当时，，，， ∴， ∴； 当时，，，, ∴， ∴ ∴，且时，总有. 同理可得，，且时， 综上所述，. 【说明】本题主要考查了通过作商法将其结果和1的关系比较大小，分类讨论思想的应用； 题型7、有关幂的基本不等式 例13、根据“幂的基本不等式：当时，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（     ） A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 【提示】根据定理：幂的基本不等式判断即可. 【答案】B； 【解析】对于①，当时，函数在上单调递增， 若，则，故①错误； ②当时，函数在上单调递减， 若，则，故②正确. 故选：B. 【说明】本题主要考查了对定理：幂的基本不等式的理解； 例14、当，且时，比较与的大小； 【提示】先利用做商法得出，再分①和②两种情况判断和的大小即可得出结论； 【答案】； 【解析】由， ①当时， 即，时， ， ； ②当时， 即，时， ， . 综上所述，当，且时，. 【说明】本题主要考查了利用做商法与定理比较大小的问题； 题型8、含幂与指数的方程 例15、方程的解集为__________. 【提示】将方程两边化为同底数幂的形式，通过指数相等建立方程求解即可求得结果； 【答案】； 【解析】， 所以，，即. 故答案为：； 【说明】本题考查了含指数幂的简单的指数方程； 例16、已知集合，，且，则______. 【提示】根据集合，则所对应的元素相同，即可得到方程组，解得即可； 【答案】3； 【解析】因为集合，，且 所以，所以，所以集合，，满足 所以 故答案为：3 【说明】本题根据两个集合相等建立含指数幂的方程求参数； 题型9、幂与指数的综合应用 例17、计算下列各式的值： （1）化简：； （2）已知，求的值. 【提示】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算； （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以； 【说明】本题综合考查了指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化； 例18、（1）化简：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【提示】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为，所以， 所以 ； （2） ； （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以， 所以. 则. 【说明】本题综合考查了指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值； 关于指数式的化简、求值问题 （1）无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减； （2）仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错； 题型10、有关指数幂的简单应用题 例19、我国著名数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《代数学》是一部介绍西方符号代数的数学著作，《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则，如用“”来表示“”，用“（甲⊥乙）三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“”．那么下列表述中所有正确的序号是（     ） ①“”表示“”； ②“”表示“”． ③“（甲⊥乙）二=甲二⊥二甲乙⊥乙二”表示“”． A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【提示】根据题目信息，结合指数幂的运算及完全平方和的展开式求解即可； 【答案】A； 【解析】由题知，“”来表示“”，相当于同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以①②正确． 由“（甲⊥乙）三=甲三⊥三甲乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“（”可知⊥是加法，所以③是完全平方和公式,所以③正确. 故选：A. 【说明】本题主要考查了指数幂的化简、求值的实际应用； 例20、薇甘菊，翠绿的叶子，清新的花朵加上曼妙的名称，让人觉得它是一种很友好、人畜无害的植物.殊不知，它却是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零.某省是受薇甘菊侵害的“重灾区”，2017年该省受薇甘菊侵害的面积为公顷，2018年该省受薇甘菊侵害的面积进一步蔓延至公顷.经测算，该省受薇甘菊侵害的面积（单位：公顷）与年数满足关系式，其中（单位：公顷）为该省受薇甘菊侵害的面积的初始值，2017年，2018年对应的年数分别为0，1. （1）求的值； （2）试估计2024年该省受薇甘菊侵害的面积达到多少个单位？（参考数据：取，结果保留两位小数，1个单位公顷） 【提示】（1）根据和时，的值即可得解； （2）结合（1）代入公式即可得解； 【答案】（1）1.06；（2）66.93个单位； 【解析】（1）根据题意可得，当时，， 当时，， 所以； （2）由（1）可得， 则2024年该省受薇甘菊侵害的面积将达到 个单位； 【说明】本题主要考查了应用指数幂解决实际问题； 题型11、有关幂与指数的创新题 例21、若为方程的两个根，则___________． 【提示】根据韦达定理得出，再应用指数幂运算律计算求解； 【答案】4； 【解析】因为为方程的两个根， 则， 则. 故答案为：4. 【说明】本题综合考查了一元二次方程的解集及其根与系数的关系、指数幂的运算； 例22、若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【提示】根据根式的性质化简得解； 【答案】C； 【解析】，. 因为，故，所以. 故选：C 【说明】本题综合考查了根式的化简求值； 例23、设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是________． 【提示】根据给定定义，利用根式的性质求解即得； 【答案】； 【解析】由，得；由，得，则； 由，得，则；由，得，则， 而，， 所以的取值范围是. 【说明】本题综合考查了根式的化简求值、函数新定义； 例24、已知，求的值. 【提示】根据指数幂的运算性质，结合换元法进行运算求解即可； 【答案】； 【解析】由可得， 即， 又，令，则， 解得，即； 【说明】本题综合考查了根式的化简求值、指数幂的化简、求值； 1、整数指数幂的概念及运算性质： 经历了由“正整数”到“整数”到“分数”到“有理数”到“实数”的发展与规定、拓展；比如： （1）整数指数幂的概念： （2）规定：正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，n∈N，且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是 (a>0，m，n∈N，且n>1)； 0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义； （3）运算法则 对任意给定的正数、及实数、，有 ①；②；③；④. 【说明】有括号先算括号里的；无括号先做指数运算；负指数幂化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质；在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算； 2、根式的概念、运算及其相关 （1）概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. （2）性质： (a使有意义)； 当n为奇数时，，当n为偶数时，＝； 【说明】①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误。 1．下面四个等式运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】对于A选项，根据负指数幂的定义，（）. 得到，而不是，所以A选项错误. 对于B选项，根据分数指数幂的定义，， 则，而不是，所以B选项错误. 对于C选项，，所以C选项错误. 对于D选项，对于. 又因为表示的立方根，即，所以D选项正确. 故选：D. 2．下列说法正确的个数是（    ） ①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B； 【解析】根据根式的概念和性质求解. 【详解】①16的4次方根应是±2；②=2， 由根式的性质得③④.正确. 故选：B 3．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 4．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D； 【解析】1万=，所以1亿=， 所以1兆=， 所以. 故选：D 5．的值为__________. 【答案】； 【提示】原式. 故答案为：. 6．的分数指数幂表示为 【答案】； 【解析】原式； 7．化简的结果是 【答案】； 【解析】由分数指数幂的运算法则可得： 原式. 8．已知，则的值是 【答案】； 【解析】由，得，，则，因此， 所以. 9．某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是___________万元.（结果保留整数） 【提示】计算每一年投入的研发资金，加起来即可； 【答案】825； 【解析】第一年投入研发资金50万元， 第二年投入研发资金万元， 第三年投入研发资金万元， 第四年投入研发资金万元 第五年投入研发资金万元 第六年投入研发资金万元 第七年投入研发资金万元 第八年投入研发资金万元 所以该企业连续8年投入研发的总资金是万元 故答案为：825 10．已知集合，，且，则______． 【提示】由题意首先利用集合A中元素的互异性可确定，然后结合集合相等的充分必要条件求得实数a,b的值即可确定a+b的值； 【答案】3； 【解析】由集合中元素的互异性，可知 ，，所以， 所以 ， ， 又，所以，，即，，所以. 11．（1）已知，求的值； （2）化简. 【答案】（1）3（2） 【解析】（1）      （2）原式 12．已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【提示】（1）将两边平方，即可求得答案； （2）将两边平方，求得，再根据立方和公式求得的值，即可求得答案； 【答案】（1）7；（2）3； 【解析】（1）将两边平方，得，即； （2）将两边平方，得，即； , 所以． 第20页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $