第3章 回顾与思考-【指南针·课堂优化】2026-2027学年七年级上册数学（北师大版·新教材）

第三章整式及其加减 回顾与思 知 1.用基本的 把数或表示数的字 4.整式的加减法则：几个整式相加减，用 母连接而成的式子，叫代数式，单独的 或 把每个整式括起来，再用加减号连接，然 也是代数式 后 2.注意代数式的书写. 5.探索规律要经历一个由“特殊到一般”的 3. 和 统称为整式 归纳推理过程， 典 例 探 究 考 点1) 用字母表示数 为 kg; 【例1】用含字母的式子表示下列数量 (3)在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁 关系： 片，大正方形的边长是acm,小正方形的边长是 (1)某工厂去年的产值是x万元，今年比去 bcm,则剩余部分的面积为 cm2. 年增产40%，今年的产值是 万元； 考点②求代数式的值 (2)父亲今年m岁，儿子的年龄比父亲的2 【例2】当x=-0.5,y=时，求代数式 大3岁，4年后，父亲的年龄是 岁，儿子 x(x-y)2的值. 的年龄是 岁； 【解析】求代数式的值的步骤：一代入，二 (3)买m支钢笔，每支a元，买n个本子，每 计算. 个b元，共需 元 【解析】(1)今年的产值=去年的产值十 【答案】 把x=-0.5,y-号代人， 今年比去年增加的产值；(2)先表示出儿子今年 得x(x-y)2=-0.5×(-0.5-8) 的年龄，4年后的年龄等于今年的年龄加上4； (3)总花费=买钢笔用的钱十买本子用的钱. =-2(-3)2 【答案】(1)140%x(2)(m+4); (2m+） (3)(am+bm) 2X9=-9 眼踪试练] 跟踪试练 1.(1)棱长为a的正方体的所有的棱长之和为 2.已知x-3=2,则代数式(x-3)2-2(x-3)+1 ,表面积为 ,体积为； 的值为 (2)有两片棉田，其中一片有m公顷，平均每 3.按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为 公顷产棉花akg;另一片有n公顷，平均每公 6,则输出的值为 顷产棉花bkg,则两片棉田上棉花的总产量 输入x→加上5→平方→减去3→输出 87 指南针·裸堂优化·七年级上册·数学(BS) 考 点③合并同类项 (④)-a6-a+a26+a 【例3】合并同类项： (1)2x2-3x+4x2-6x-5; (2)a2-2ab+2ba-3a+5+2a. 【解析】(1)2x2-3x+4x2-6.x-5 =(2.x2+4x2)+(-3x-6.x)-5 =6.x2-9x-5. (2)a2-2ab+2ba-3a+5+2a =a2+(-2ab+2ba)+(-3a+2a)+5 =a2-a+5. 点找： 考点④整式加减的实际应用 在多项式中合并同类项，可以用“一找二 【例4】小莲提一篮子玉米到集贸市场去 合”法，所谓“一找”就是找同类项，可把各组同 兑换大米，每2kg玉米兑换1kg大米.商贩用 类项用不同记号做上标记，“二合”就是把同类 秤称得连篮子带玉米恰好20kg,于是商贩连篮 项的系数相加. 子带大米给小莲共10kg,在这个过程中谁吃 跟踪试练 亏？吃亏数额有多大？（设合适的字母，然后用 4.合并同类项： 字母表示) (1)5a-3b-a+2b; 【解析】设篮子的质量为a(a>0)kg,由题 意可知，小莲的玉米质量为(20-a)kg,商贩给 小莲的大米质量为(10-a)kg, 因为玉米和大米的兑换比例为2：1，所以 商贩应该给小莲的大米质量为2(20-a)一 (2)-3x2+7x-6+2x2-5x+1; （102a)kg,因为10-a<10-a所以在这 个过程中小莲吃亏，吃亏数额是10- 2a-(10 -a)=2a(kg). 跟踪试练】 (3)a2b-b2c+3a26+26c; 5.为节约能源，某小区按以下规定收取每月电 费：用电不超过140度，按每度0.52元收费， 如果超过140度，超过部分按每度0.60元 收费. (1)若该小区某住户五月份的用电量是100 度，则他五月份应交多少电费？ ·88… 第三章整式及其加减 (2)若该小区某住户六月份的用电量是200 故答案为n;(n十1). 度，则他六月份应交多少电费？ (2)①1625625②13+23+33+…+49 (3)若该小区某住户七月份的用电量是a度 +503 (a>140),则他七月份应交多少电费？（结果 用含a的式子表示) =号×0×51 -号×250×2601 =1625625, ②23+43+63+…+983+1003 =23×(13+23+33+.+503) =8×1625625 =13005000. 【答案】(1)n;(n+1) (2)①1625625 ②13005000. 跟踪试练] 6.定义一种新运算，观察下列各式 1⊕3=3×1-3=0； 3⊕(-1)=3×3+1=10； 5①4=3×5-4=11； 考点⑤数式探索规律 4⊕(-3)=3×4+3=15. 【例5】观察下列各等式： (1)请计算：(-1)①2= 13=1=7×1×23, (2)请猜一猜：ab=(用含a,b的代 1+2-9-1×2×3, 数式表示)； (3)若a⊕(-2b)=-3,请计算(4a十b)①⊕(6a 1+23+3=36=7×32×4, -b)的值. …… 用你发现的规律解答下列问题： (1)填空：13+23+33+…+(n-1)3+n3= 2(n为正整数)； (2)计算： ①13+23+33+…+493+503； ②23+43+63+…+983+1003； 【解析】(1)13+23+33+…+(n-1)3+ n2=×n2×(n+1)2(n为正整数). ·89· 指南针·课堂优化·七年级上册·数学(BS) 7.观察下列各式的规律： 小圆圈，第3个图形中共有4十3×4=16个小圆 ①1×3-22=3-4=-1； 圈，第4个图形中共有4+4×5=24个小圆圈， ②2×4-32=8-9=-1； …,依此规律，第6个图形中共有4+6×7= ③3×5-42=15-16=-1. 46个小圆圈，第n个图形中共有[4+n(n+1)] 请按以上规律写出第4个算式为 个小圆圈。 【答案】46；[4+n(n+1)] 用含有字母的式子表示第n个算式为 跟踪试练」 8.（广安中考)链状烷烃是一类由碳，氢元素组 考点⑥用代数式表示图形规律 成的有机化合物，这类物质前四种化合物的 【例6】将一些小圆圈按如图所示的规律 分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白 摆放，第1个图形中有6个小圆圈，第2个图形 球代表氢原子.第1种如图①有1个碳原子和 中有10个小圆圈，第3个图形中有16个小圆 4个氢原子，化学式为CH4;第2种如图②有 圈，第4个图形中有24个小圆圈，…，依此规 2个碳原子和6个氢原子，化学式为C2H6;第 律，第6个图形中有 个小圆圈，第n个 3种如图③有3个碳原子和8个氢原子，化学 图形中有 个小圆圈 式为C3H8…按照这一规律，第2026种化合 o o 00000 物的化学式为 888 00 0000 00oo0 第1个图形 第2个图形第3个图形 第4个图形 【解析】观察题图可知，每个图形的最外 侧都有4个小圆圈，再结合每个图形内部圆圈的 ① ② ③ ④ 行数和列数可知，第1个图形中共有4十1×2= A.C2026H2026 B.C4052H4052 6个小圆圈，第2个图形中共有4+2×3=10个 C.C2026H4o52 D.C2o26H4054 A.a+(6+c-d)=a+6+c-d 【基础过关】 B.a-(b-c+d)=a-b+c-d 1.代数式x2,-abc,x+y,0,4x-2x,是，y C.a-b-(c-d)=a-b-c-d D.a+b-(-c-d)=a+6+c+d 03心2-，2%中，单项式的个数为 4.多项式k(k-3)x3+kx2-3x2+1是关于x的 二次多项式，则值为 () A.4 B.5 C.6 D.7 A.0 B.3 2.如果单项式x2ym+2与x”y的和仍然是一个单 C.0或3 D.不能确定 项式，则m、n的值是 () 5.若a<0,ab<0,则|b-a+1|+|a-b-5|的 A.m=2,n=2 B.m=-1,n=2 值等于 () C.m=-2,n=2 D.m=2,n=-1 A.4 B.-4 3.下列变形中，不正确的是 ( C.不能确定 D.-2a+2b+6 ·90· 第三章整式及其加减 6.用代数式表示： 29x2-[(e-号)-(x2-)-1]- (1)x的号与y的2倍的差： (2)x与y的积减去x与y的和： (3)x与y的和的倒数是 7.某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光 盘在租出后的头两天每天收0.80元，以后每天 收0.50元.那么一张光盘在租出n天(n是大 于2的自然数)应收租金 元 8.已知a-b=3,c-d=2,则代数式(b-c)-(a 12.已知a-1|+(2a+b)2=0,求7a2b-(-4ab+ 一d)的值为 5ab)-2(2a2b-3ab)的值. 9.若2x-y=1,则(x2+2x)-（x2+y-1)= 10.（内江中考)南宋时期数学家杨辉的著作《详 解九章算法》记载着如图图表，后人把这个 图表称作“杨辉三角”.图中两条平行线之间 的一列数：1,3,6,10,15，…，我们把第一个 数记为a1=1,第二个数记为a2=3,第三个 数记为a=6,…,第n个数记为a则1+ 1+1+…+1= az a3 an 1 11/ 1 2 1 1 3 3 1 14 6 41 13.已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简： 15101051 16/15/201561 la-c|-|b+c|-|c-a|-|a+b|. 11.计算： 0 (1)(7x2-6xy-1)-2(-3x3-4xy)-5; ·91· 指南针·裸堂优化·七年纸上册·数学(BS) 【能力提升】 【核心素养】 14.若a+b=2,则-2a2b-ab2-2(-ab-a)+ 17.每家乐超市出售一种商品，其原价a元，现 26+ab2 有三种调价方案： 15.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正 (1)先提价20%，再降价20%；(2)先降价 多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则 20%,再提价20%；(3)先提价15%，再降 第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋 价15%. 子的个数是 问这三种方案调价结果是否一样？最后是 不是都恢复了原价？ 16.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的 点A,B,C把数轴分成①②③④四部分，点 A,B,C对应的数分别是a,b,c,已知bc<0. (1)请说明原点在第③部分； (2)若AC的长是多项式-2x2+5x+1的 次项系数，BC的长是单项式x2y的次数，b 是最大的负整数，求a; (3)在(2)的条件下，若将点C移动2个单位 长度到达点D,则点D表示的数是多少？ ① ② ③ ④ ·92·6.(1)12.25(2)5 7.(1)长方形花坛比正方形花坛多种植(3a2一b)株 (2)这两块花坛一共种植了76株 8A9A10.B1号 12.(1)-8(2)-1或-513.(1)3(2)2 14.±/5 15.(1)此地早晨的华氏温度是41（℉） (2)李华的说法正确 16.0 17.(1)13元(2)乘车路程为x(x>2)千米，乘车费用为： 2.2x(2<x≤8) y出租车=2x十5(x>2),y滴滴快车= 3x-6.4(x>8) (3)小方家到环球中心的距离为9千米 第3课时整式 知识梳理 一、1.数字母一个数一个字母 2.数字因数所有字母和 二、1.和2.每个单项式次数最高的项字母 三、单项式多项式 课后演练 1.D2.D3.B4.A5.C6.A7.C 8.号9.3410.2 1.①D7z（-1)+x(2)2 12.21 13.(1)10×87+587-2×5(2)证明略 2整式的加减 第1课时同类项合并同类项 知识梳理 1.字母相同相同字母的指数常数项 2.同类项3.系数系数字母字母的指数 课后演练 1.C2.C3.C 4.(1)5(2)-4(3)x2y35.36.A7.B8.D 9.a=3b 10.(1)2a2b(2)x+x+2(3)-a+a2b 11.(1)x2+x(2)-xy-3y2(3)3(x+y)3+5(x-y)4 21 指南针·课堂优化·七年级上册·数学(BS)参考答案 12.(1)-10(2)4 3探索与表达规律 13.(1)3(2)1314.-115.-116.-1117.36 第1课时探索与表达规律(1) 18.【阅读理解】原式=号 知识梳理 【尝试应用】a=-3 2.a-7a+7 【拓展探究】原式=8 课后演练 第2课时去括号 1.C2.A3.C4.A 5.1826.D7.B 知识梳理 829品 63 64 10.4164.5 不变符号改变符号 11.(1)22027 (2)成立，说明略(3)201-2（4)32-3 课后演练 1.B2.B3.C 第2课时探索与表达规律(2) 4.(1)x+y-m+n(2)x+y-m+n 课后演练 (3)x-y-m-n(4)3x-3y-m-n 1.D2.B 5.(1)-50-30(2)140(3)n-3 3.1-2m4.(1)225(2)9964(3)(n+1)2 6.B7.A8.6-52 5.(1) 1 nn+l (2器 9.(1)ab(2)-2x-5y(3)-5x-4y 6.A7.C8.C (4)-5x2+14xy-2y2 9.a-16a-15a-14 10.2311.-2b-2c12.-313.(1)-1(2)1030 10.(1)后一个数比前一个数大8. 14.(1)一去掉括号时，没有变号(2)乘法分配律 (2)其余3个数分别为a十8，a+16,a+24. (3)(a2b+4ab)-3(ab-a2b) 这4个数的和为a+a+8+a+16+a+24=4a+48=4( =a26+4ab-3ab+3a2b 12),它们的和能被4整除。 =4a2b十ab (3)后一个数比前一个数大6. 15.101a+5050m 其余3个数分别为b+6,b+12,b+18. 第3课时整式的加减 11.(10,18)12.m(2m-1) 知识梳理 13.(1)图中“H”形框中七个数的和是中间数的7倍 1.括号加减号去括号同类项 (2)成立，理由略(3)不能 2.(1)去括号(2)合并同类项去括号合并同类项 回顾与思考 课后演练 1.C2.B3.C 知识回顾 1.运算符号 1 一个数一个字母 4.-x+4x+65.5x2-6x-56.4a-2 3.单项式多项式 7.(1)-xy+2x2y2(2)2x3+9.xy-3.xy 4.括号去括号合并同类项 8.B9.C10.-211.16-8 典例探究 12.14日（②）-号 1.(1)12a6a2a3(2)am+bm(3)a2- 2.13.118 13.7a-5b14.515.-3x2-2x-4 4.(1)4a-b(2)-x2+2x-5(3)4a2b+bc 16.(1)a=1,b=-2,c=-3 1 (2)当a=1,b=-2,c=-3时，原式=-12. 17.26318.(1)x+5(2)x=1(3)m的值为3 5.(1)他五月份应交52元电费 (2)他六月份应交108.8元电费 (3)他七月份应交(0.6a一11.2)元电费 6.(1)-5(2)3a-b(3)-6 7.4×6-52=24-25=-1n(n+2)-(n+1)2=-1 8.B 课后演练 1.C2.B3.C4.A5.D 6哈-2y8y-(z+03)z 7.0.5m+0.6)8-592100 1.D13x2+2xy-6(2)3x+y+号 12.-1013.-a+c.14.415.n(n+2) 16.(1)证明略(2)a=-3(3)点D表示的数是0或4 17.三种方案调价结果不一样，最后是都没恢复原价 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线 第1课时线段、射线、直线 知识梳理 1.(1)两(2)①两个端点的大写字母②一个小写字母 2.(1)向一方无限延伸(2)①表示它的端点和射线上的另外一点 的大写字母表示端点的字母②一个小写字母 3.(1)向两方无限延伸(2)①表示任意两个点的大写字母 ②一个小写字母 4.有且只有 课后演练 1.B2.(1)D(2)B3.(1)5(2)104.略5.B6.B 7.两点确定一条直线8.一9.1010.20 11.(1)161+1+2+3+4+5(2)1+n(m+1 2 第2课时比较线段的长短 知识梳理 :1.线段线段2.长度 4.(1)把一条线段分成两条相等线段的点 (2)①-AB②2AC2BC 课后演练 1.C 212