3.2 平面直角坐标系 课时作业 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册第三章“平面直角坐标系”同步练，适配新授课，以基础巩固为核心，通过四层次梯度设计实现从概念理解到综合应用的进阶，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|象限划分、坐标读写等单一概念|选择题/填空题聚焦基础辨析（如象限判断、坐标轴上点特征）| |技能应用|点到坐标轴距离、平行于坐标轴直线等运算|解答题强化坐标与几何结合（如点到轴距离计算、图形边长求解）| |综合拓展|坐标与图形面积、周长综合应用|整合图形性质与坐标关系（如三角形、长方形面积计算）| |探究创新|新定义（“同心点”）与实际情境（地图坐标）|创设跨情境问题，发展应用意识与创新思维|

北师大版数学八年级上册 第三章　位置与坐标 2　平面直角坐标系　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【知识要点梳理】 1．平面直角坐标系　在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系。水平的数轴叫做 轴（横轴），习惯上取向右为正方向；竖直的数轴叫做 轴（纵轴），取向上为正方向；两轴的交点 叫做坐标原点。 2．点的坐标　对于平面内任意一点 ，过 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴上对应的数 叫做点 的横坐标，在 轴上对应的数 叫做点 的纵坐标，记作 。横坐标一定写在前面，两者不能颠倒。 3．四个象限　两条坐标轴把平面分成四个部分，按逆时针方向依次叫做第一、二、三、四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 4．特殊位置的点的坐标特征 （1） 轴上的点：纵坐标为 ，即 ；　 轴上的点：横坐标为 ，即 ；原点是 。 （2）第一、二象限的点纵坐标为正，第三、四象限的点纵坐标为负；第一、四象限的点横坐标为正，第二、三象限的点横坐标为负。 （3）平行于 轴的直线上，各点的纵坐标相同；平行于 轴的直线上，各点的横坐标相同。 5．点到坐标轴的距离　点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ，到原点的距离可用勾股定理求得，为 。 6．坐标法求图形面积　求坐标系中图形的面积时，常选择与坐标轴平行的边作底边，边长等于两端点相应坐标的差的绝对值；再用点到该边所在直线的距离作高，最后用面积公式计算。三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即面积 底 高。 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1． 点 所在的象限是（　　） A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限 2． 下列各点中，在 轴上的是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 以外的点 3． 点 到 轴的距离是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4． 若点 在第三象限，则（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 5． 如图，点 的坐标是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6． 已知点 与点 在同一条平行于 轴的直线上，且 ，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C． 或 　　　　D． 7． 若点 满足 ，则点 在（　　） A．第一或第二象限　　　　　　　　　　B．第一或第三象限 C．第二或第三象限　　　　　　　　　　D．第二或第四象限 8． 已知点 在 轴上，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9． 点 的横坐标是＿＿＿＿，纵坐标是＿＿＿＿，它在第＿＿＿＿象限。 10． 如图，写出图中各点的坐标：（＿＿＿＿＿＿），（＿＿＿＿＿＿），（＿＿＿＿＿＿），（＿＿＿＿＿＿）。 11． 点 到 轴的距离是＿＿＿＿，到 轴的距离是＿＿＿＿。 12． 若点 在第四象限，则 ＿＿＿＿，＿＿＿＿（填“”或“”）。 13． 已知点 与点 ，则直线 与 轴的位置关系是＿＿＿＿＿＿。 14． 若点 在 轴上，则 ＿＿＿＿，点 的坐标是＿＿＿＿＿＿。 15． 点 到原点 的距离是＿＿＿＿＿＿。 16． 在平面直角坐标系中，若点 与点 ，则线段 的长是＿＿＿＿；若点 与点 ，则线段 的长是＿＿＿＿。 三、解答题（共 44 分） 17．（8 分）在下面的平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在第几象限或哪条坐标轴上： 18．（6 分）已知点 。 （1）若点 在 轴上，求 的值及点 的坐标； （2）若点 在 轴上，求 的值及点 的坐标； （3）若点 到 轴的距离是 ，且点 在第四象限，求点 的坐标。 19．（8 分）如图，已知三角形 的三个顶点分别是 、、。 （1）求线段 的长； （2）求点 到 轴的距离； （3）求三角形 的面积。 20．（8 分）如图，长方形 的四个顶点都在坐标系中，已知 ，，，。 （1）求长方形 的长 和宽 ； （2）求长方形 的周长和面积； （3）若点 在边 上，且点 到 轴的距离是 ，请写出点 的坐标。 21．（6 分）已知点 ，根据下列条件分别写出 、 应满足的关系： （1）点 在第二象限； （2）点 在 轴的负半轴上； （3）点 到 轴的距离为 ，到 轴的距离为 ，且在第三象限，直接写出点 的坐标。 22．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 、、。 （1）请在图中描出 、、 三点，并顺次连接成三角形 ； （2）判断线段 与 轴的位置关系，并求 的长； （3）求三角形 的面积。 四、拓展探究（共 8 分） 23．（4 分）探究：在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标相等的点叫做“同心点”，如 、 都是同心点。 （1）请再写出两个同心点的坐标； （2）所有的同心点组成一条直线，这条直线经过哪几个象限？它经过原点吗？ （3）已知点 是同心点，求 的值及点 的坐标。 24．（4 分）综合应用：如图，某地图上以广场 为原点建立平面直角坐标系， 轴的正方向表示正东， 轴的正方向表示正北，每个单位长度表示 。已知图书馆的坐标是 ，医院的坐标是 ，车站的坐标是 。 （1）图书馆在广场 的什么方向上？（用“东、南、西、北”与格数描述） （2）医院与图书馆之间的距离是多少千米？图书馆与车站之间的距离是多少千米？ （3）若一条笔直的道路经过医院和图书馆，判断这条道路与 轴的位置关系，并说明理由。 参考答案与解析 一、选择题 1．B 解析：点 的横坐标 ，纵坐标 ，符合“左负右正、上正下负”中第二象限 的特征，所以点 在第二象限。 2．B 解析： 轴上的点的纵坐标为 。A 中横坐标为 ，该点在 轴上；B 中纵坐标为 ，该点在 轴上；C 不在坐标轴上。故选 B。 3．B 解析：点 到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，即 。 易错点：距离一定是非负数，不能写成 ；到 轴的距离用纵坐标，不要与横坐标混淆。 4．C 解析：第三象限的点的坐标特征是 ，即横坐标、纵坐标都是负数，所以 且 。 5．B 解析：由图，点 向 轴作垂线，垂足对应 ；向 轴作垂线，垂足对应 。所以点 的坐标是 。 6．C 解析：由于 、 的纵坐标都是 ，两点在同一条平行于 轴的直线上，此时 。 由 得 或 ，解得 或 。 易错点：含绝对值的方程要考虑两种情况，本题点 可能在 的右边，也可能在左边。 7．D 解析： 说明 与 异号。若 、，点在第二象限；若 、，点在第四象限。 8．B 解析： 轴上的点横坐标为 ，所以 ，解得 。 二、填空题 9． ；　；　四 解析：记法 中前一个数是横坐标、后一个数是纵坐标。因为 ，，符合第四象限 的特征。 10． ；　；　；　 解析：逐点向两坐标轴作垂线读数即可。注意点 在 轴上，横坐标为 ；点 在 轴上，纵坐标为 。 11． ；　 解析：到 轴的距离等于纵坐标的绝对值 ；到 轴的距离等于横坐标的绝对值 。 方法提示：可以记成“到横轴看纵坐标，到纵轴看横坐标”，并且都要取绝对值。 12． ；　 解析：第四象限的点的坐标特征是 ，即横坐标为正、纵坐标为负。 13． 垂直（即直线 与 轴垂直，也与 轴平行） 解析：、 两点的横坐标都是 ，所以直线 是一条平行于 轴的直线，它与 轴垂直。 14． ；　 解析： 轴上的点纵坐标为 ，所以 ，解得 。 此时横坐标 ，所以点 的坐标是 。 15． 解析：过点 分别向两坐标轴作垂线，得到一个直角三角形，两条直角边长分别是 和 。 由勾股定理得 。 16． ；　 解析：、 的横坐标相同， 平行于 轴，； 、 的纵坐标相同， 平行于 轴，。 三、解答题 17．（8 分） 各点描出后的位置如图所示： 在第一象限；　 在第二象限；　 在第三象限； 在第四象限；　 在 轴上（负半轴）；　 在 轴上（负半轴）。 方法小结：描点时先看横坐标，沿 轴左右移动；再看纵坐标，沿 轴上下移动。 18．（6 分） （1）点 在 轴上，则纵坐标为 ，即 ，解得 。 此时横坐标 ，所以点 的坐标是 。 （2）点 在 轴上，则横坐标为 ，即 ，解得 。 此时纵坐标 ，所以点 的坐标是 。 （3）点 在第四象限，则纵坐标为负，又到 轴的距离是 ，所以 ，解得 。 此时横坐标 ，不满足第四象限横坐标为正的要求。 所以满足条件的点 不存在。 说明：本题需要把“到 轴的距离”与“所在象限”两个条件同时满足，最后一定要回代检验。 19．（8 分） （1）、 两点都在 轴上，。 （2）点 到 轴的距离等于它的纵坐标的绝对值，即 。 （3）以 为底，点 到 所在直线（即 轴）的距离为高， 三角形 的面积 。 方法小结：在坐标系中求三角形面积，优先选择与坐标轴平行的边作底边，这样底和高都能直接由坐标算出。 20．（8 分） （1） 与 的纵坐标相同， 平行于 轴，； 与 的横坐标相同， 平行于 轴，。 （2）周长 ；　面积 。 （3）点 在边 上，则它的横坐标为 。又点 到 轴的距离是 ，所以纵坐标为 或 。 因为 上点的纵坐标在 与 之间，两种情况都符合，所以点 的坐标是 或 。 21．（6 分） （1）点 在第二象限，则横坐标为负、纵坐标为正，即 且 。 （2）点 在 轴的负半轴上，则横坐标为 、纵坐标为负，即 且 。 （3）到 轴的距离为 ，则 ；到 轴的距离为 ，则 。 又点 在第三象限，横、纵坐标都是负数，所以 ，，即点 的坐标是 。 22．（8 分） （1）描点连线后如图所示。 （2）因为点 与点 的纵坐标都是 ，所以线段 平行于 轴。 。 （3）因为 与 的横坐标相同，所以 垂直于 ，可以把 看作高， 。 三角形 的面积 。 四、拓展探究 23．（4 分） （1）示例：、（答案不唯一，只要横、纵坐标相等即可）。 （2）当横坐标为正时，纵坐标也为正，点在第一象限；当横坐标为负时，纵坐标也为负，点在第三象限。所以这条直线经过第一、三象限，并且当横坐标为 时纵坐标也为 ，所以它经过原点。 （3）由同心点的定义得 ，移项得 。 此时 ，，所以点 的坐标是 。 24．（4 分） （1）图书馆的坐标是 ，横坐标 表示在广场 的东边 ，纵坐标 表示在北边 ，所以图书馆在广场 的东北方向，即向东 、向北 处。 （2）医院 与图书馆 的纵坐标相同，两点间的距离为 ，即 ； 图书馆 与车站 的横坐标相同，两点间的距离为 ，即 。 （3）这条道路平行于 轴。 理由：医院与图书馆的纵坐标都是 ，即这两点到 轴的距离相等且都在 轴上方，所以经过这两点的直线平行于 轴。 【本节易错提醒】 1．坐标 中横坐标在前、纵坐标在后， 与 是两个不同的点。 2．点到 轴的距离是纵坐标的绝对值，到 轴的距离是横坐标的绝对值，结果一定非负。 3．坐标轴上的点不属于任何象限；原点既在 轴上，也在 轴上。 4．已知距离求坐标时，通常有两个方向（正、负）两种情况，要结合象限条件取舍，避免漏解或多解。 5．求图形面积时，底边尽量选与坐标轴平行的边，长度用两端点对应坐标之差的绝对值计算。 学科网（北京）股份有限公司 $