3.2 平面直角坐标系（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本同步练习以平面直角坐标系为核心，通过A/B/C组三级分层设计，构建从基础概念到综合应用再到思维创新的巩固路径，适配新授课差异化教学需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|象限判断、点的坐标等基础知识点|以单选、填空为主，聚焦单一概念辨析，如象限符号特征直接应用| |B组能力进阶|与坐标轴平行性质、距离计算等综合应用|增加解答题，结合几何图形情境，如网格中点坐标确定与面积计算| |C组思维拔高|坐标规律探究、中点公式等拓展内容|设置规律归纳题，如点平移循环规律分析，培养空间观念| |拓展链接中考|中考真题题型|整合跨知识点综合题，如结合对称与距离的实际应用，衔接测评需求|

分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 象限的判断 题型02 确定坐标系内点的坐标 题型03 点到坐标轴的距离 题型04 点在坐标轴上的性质 题型05 与坐标轴平行的性质 题型06 坐标系内两点之间的距离 题型07 坐标平移的性质 题型08 探究坐标规律 题型09 中点坐标公式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 3.2 平面直角坐标系 象限的判断题型01 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列各点在第四象限的是（     ）． A． B． C． D． 3．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（     ） A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到轴距离相等 4．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（  　  ） A． B． C． D． 5．点在第二象限，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，小手盖住的点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，下列说法中错误的是（     ） A．点的坐标是 B．点的纵坐标是 C．点的横坐标是 D．点位于第三象限 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点在第______象限． 12．在平面直角坐标系中，点在第________象限． 确定坐标系内点的坐标题型02 一、单选题 1．方格纸上有，两个点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系（轴和轴的方向不变），则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．象棋是我国传统智力运动，国家级非物质文化遗产，也是中华文化的重要载体，兼具娱乐、竞技与教育价值．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中，叶片两点坐标为，，则底部点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．昆明部分景点在地图上的位置如图所示，若西山的位置坐标为，世博园的位置坐标为，则官渡古镇的位置坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 __________ ． 6．某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为，表示荷花池的点的坐标为，则表示月季园的点的坐标是______． 三、解答题 7．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，三角形ABC的三个顶点都是格点，以某条水平直线为轴，建立平面直角坐标系，使三角形的顶点尽可能多地落在坐标轴上． (1)在图中画出满足条件的平面直角坐标系； (2)写出点的坐标； (3)y轴上有一点，三角形与三角形的面积相等，写出点的坐标． 点到坐标轴的距离题型03 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若点到轴的距离等于到轴的距离，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 3．已知点到轴的距离为，且，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．若在第四象限，且点到轴的距离为7，到轴的距离为4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．若轴上的点到轴的距离是7，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 6．在平面直角坐标系中，点到轴与轴的距离之和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A．4 B． C． D． 8．已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（     ） A．5或 B．或 C．5或 D．或 二、填空题 9．点到轴上的距离是_____． 10．在平面直角坐标系中，若点在轴上方，到轴的距离是3个单位长度，到轴的距离是5个单位长度，则点的坐标是__________． 11．已知点在第二象限，且点到轴的距离为，则的值是________． 12．已知点到x轴、y轴距离相等，则__________． 13．在平面直角坐标系中，点到轴距离为________． 14．已知平面直角坐标系内的点的坐标为，且点到轴的距离为5，则的值为____________． 15．点在第一象限，且到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是____________． 三、解答题 16．已知平面直角坐标系中有一点，若点到轴的距离为3，求点的坐标． 17．已知点，试分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P到x轴的距离为2，且在第四象限． 18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为____________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的“长距”为3，且点C在第一象限内，将点C沿水平方向进行平移得到点D，使点D为“完美点”，且点D也在第一象限，求点D的坐标． 点到坐标轴上的性质题型04 一、单选题 1．已知点在轴上，则的值是（     ） A． B． C．1 D．3 2．点在轴上，且到原点的距离是2，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 3．点在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则的值为（      ） A． B． C．或 D．或 4．七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 5．已知点在轴上，则点到轴的距离是（    ） A．4 B．18 C．0 D．0或18 6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，线段长度的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．若点在轴上，则点到轴的距离是___________． 8．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为_______． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点的坐标． 与坐标轴平行的性质题型05 一、单选题 1．已知点，轴，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 3．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 4．在平面直角坐标系中，已知，，，若轴，则当线段的长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知点与点，下列说法不正确的是（     ） A．都在第三象限 B．轴 C．轴 D． 6．已知直线轴且与 轴的距离等于5，则直线与轴交点坐标是（     ） A．或 B．或 C． D． 7．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，轴，若，则点Q的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．已知点坐标为，线段平行于轴，且，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．在平面直角坐标系中，点，，且平行于轴，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，已知轴，且，则点的坐标为__________． 12．已知直线轴，且点，点，则________． 三、解答题 13．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在第三象限的角平分线上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． 14．已知点，试分别根据下列条件，求出的值并写出点的坐标． (1)点在轴上； (2)经过点，的直线，与轴平行； (3)点到两坐标轴的距离相等． 15．已知点． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第四象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求出点的坐标． 坐标系内两点之间的距离题型06 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 2．在平面直角坐标系中，描出，连接，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 4．在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．跨学科 一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是（ ） A． B． C． D． 7．平面上三个点的坐标分别是，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，已知点，点，那么线段的长是________． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，已知点、． (1)求、两点间的距离； (2)如果点在轴上，且满足，求点的坐标． 10．小明在探索平面直角坐标系中任意两点，之间的距离时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理得．若，，求的长． 11．如图，在平面直角坐标系中有三点，和． (1)求点和点之间的距离； (2)请判断的形状，并说明理由． 12．【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 坐标平移的性质题型07 一、单选题 1．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．2 D．0 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 5．点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 6．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 三、解答题 7．沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 8．三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出三角形ABC各顶点的坐标：A_____，B______，C______ (2)三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？ (3)求三角形ABC的面积． 探究坐标规律题型08 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为2，宽为1．将长方形沿轴翻转1次，点落在点处，翻转2次，点落在点处，翻转3次，点落在点处（点与点重合），翻转4次，点落在点处，以此类推…翻转2026次后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是____________． 中点坐标公式题型09 一、单选题 1．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 3．如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为_____． 三、解答题 4．如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 5．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在边长均为1的网格纸上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，网格纸被撕掉了一部分，已知点M的坐标为，则点N的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2026秒时点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，将“马”的小篆字体放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，则点C的坐标为_________． 6．已知平面直角坐标系中，点在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则P点坐标为______． 7．A，B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为8，则点P的坐标为____． 三、解答题 8．已知点，试分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P到x轴的距离为2，且在第四象限． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知其中 a， b 满足，点M为第三象限内一点． (1)请直接写出A、B两点的坐标：A（ ，0），B（ ，0）； (2)若M为，请用含m的式子表示的面积； (3)若到坐标轴的距离相等，且，求N点坐标． 10．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 11．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． (3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 12．在平面直角坐标系中，规定某一点到轴、轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到轴，轴距离相等，则称该点为“完美点”． (1)点的“短距”是________； (2)若点是“完美点”，求点的坐标； (3)若坐标系第三象限内存在一点，且它的“短距”是5，现有一点，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 13．如图，在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点A与点B的“非常距离”为；若，则点A与点B的“非常距离”为． (1)填空：已知点与点，则点A与点B的“非常距离”为 ． (2)已知点，点D为y轴上的一个动点．若点C与点D的“非常距离”为2，求点D的坐标． 14．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； (1)【实践操作】 根据上面的结论，计算： ①已知：点、点，线段________； ②若点、，且轴，求的长度． (2)【拓展应用】 如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足， ①请直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿箭头所示方向，每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，，，，，…，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 3．光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，依此类推， （1）经过第次全反射到达，则的坐标为________； （2）经过第（为正整数）次全反射到达，则的坐标为________． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 5．新定义：在平面直角坐标系中，若点，点，则称点Q是点的“级关联点”（其中为常数，且）．若点的“级关联点”在坐标轴上，则的值是________． 三、解答题 6．已知平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出，两点坐标：（____，_____），（____，_____），并在图（1）中画出点，点； (2)连接，，，直线交轴于点，交轴于点． ①求的面积； ②求点C，点D的坐标； (3)点P是射线上不与点重合的一动点，连接，当时，直接写出P点横坐标的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图．将其放在平面直角坐标系内，若用表示赏荷栈道的位置，用表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 7．若点在x轴上，则点P的坐标是________． 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 目 录 A组 巩固过关 题型01 象限的判断 题型02 确定坐标系内点的坐标 题型03 点到坐标轴的距离 题型04 点在坐标轴上的性质 题型05 与坐标轴平行的性质 题型06 坐标系内两点之间的距离 题型07 坐标平移的性质 题型08 探究坐标规律 题型09 中点坐标公式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 3.2 平面直角坐标系 象限的判断题型01 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵ 点的坐标为，可得，， 又∵ 第三象限内点的坐标符号特征为，即横纵坐标均为负数， ∴ 点位于第三象限. 2．下列各点在第四象限的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：平面直角坐标系中，四个象限内点的坐标符号规律为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 即第四象限内点满足横坐标为正，纵坐标为负， 选项A中，横坐标，纵坐标，不符合第四象限点的特征； 选项B中，横坐标，纵坐标，不符合第四象限点的特征； 选项C中，横坐标，纵坐标，不符合第四象限点的特征； 选项D中，横坐标，纵坐标，符合第四象限点的特征． 3．法国数学家笛卡尔首先建立了坐标思想，从而使数学的两大要素“数”与“形”统一起来．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（     ） A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到轴距离相等 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标性质，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知两点坐标为和，逐一判断： A、，横坐标不相同，故A选项错误； B、，纵坐标不相同，故B选项错误； C、在第二象限，在第四象限，所在象限不同，故C选项错误； D、点到轴的距离等于横坐标的绝对值，且，，两点到轴距离相等，故D选项正确． 4．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、点位于第一象限，不符合题意； B、点位于第四象限，不符合题意； C、点位于第二象限，不符合题意； D、点位于第三象限，符合题意． 5．点在第二象限，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据点A的位置推导a、b的符号，再判断点B横纵坐标的符号，确定点B所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴， ∴点在第四象限． 6．如图，小手盖住的点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：小手盖住的点的坐标在第二象限，可能是． 7．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，只需判断点的横纵坐标的正负，结合各象限的坐标符号特征即可判断． 【详解】解：对于点， 横坐标为，，是正数， ，可得， ∴ 纵坐标，是负数， 根据平面直角坐标系象限的坐标特征，横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限． 8．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，判断点横纵坐标的正负，即可确定其所在象限． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∴ ， 又∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征， ∴点在第四象限． 9．在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，再结合第四象限点的符号特征即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为，即，， 又∵点在第四象限，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴，， ∴点的坐标为． 10．如图，下列说法中错误的是（     ） A．点的坐标是 B．点的纵坐标是 C．点的横坐标是 D．点位于第三象限 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，分别确定各点的坐标及所在象限，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：A、点A的坐标是，故本选项错误； B、点B在x轴上，纵坐标是0，故本选项正确； C、点C的横坐标是，故本选项正确； D、点D的坐标是，在第三象限，故本选项正确． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点在第______象限． 【答案】四 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：∵横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 12．在平面直角坐标系中，点在第________象限． 【答案】三 【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，根据点的横纵坐标符号判断即可． 【详解】解：点的横坐标为负，纵坐标为负，符合第三象限点的坐标符号特征， 因此点在第三象限． 确定坐标系内点的坐标题型02 1．方格纸上有，两个点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立平面直角坐标系（轴和轴的方向不变），则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：以点为原点建立平面直角坐标系时，点的坐标为，即点相对于点的横坐标为，纵坐标为， 当以点为原点建立平面直角坐标系时，点相对于点的横纵坐标，与点相对于点的横纵坐标互为相反数， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 2．象棋是我国传统智力运动，国家级非物质文化遗产，也是中华文化的重要载体，兼具娱乐、竞技与教育价值．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棋子“车”和“马”的坐标可确定坐标轴和原点的位置，据此建立坐标系，进而得到棋子“炮”的坐标即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则棋子“炮”的坐标为． 3．平面直角坐标系中，叶片两点坐标为，，则底部点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向下平移5个单位即可找到坐标原点的位置，建立直角坐标系，即可求出点坐标． 【详解】解：如图所示，将向下平移5个单位即可找到坐标原点的位置，建立直角坐标系， ∴点坐标为． 4．昆明部分景点在地图上的位置如图所示，若西山的位置坐标为，世博园的位置坐标为，则官渡古镇的位置坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过已知点的坐标确定坐标系的原点、坐标轴方向以及单位长度，进而得出所求点的坐标． 【详解】已知西山的位置坐标为，世博园的位置坐标为， 所以坐标轴如图所示： 所以官渡古镇的位置坐标为． 二、填空题 5．如图，正方形的边长为，点的坐标为，平行于轴，则点的坐标为 __________ ． 【答案】 【分析】根据轴得到点的坐标，再根据正方形得到轴，继而得到点的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标相同，均为， ∵正方形边长，，在右侧， ∴， ∴， ∵正方形中轴，， ∴点和点横坐标相同为， ∴， ∴点的坐标为． 6．某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为，表示荷花池的点的坐标为，则表示月季园的点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及轴、轴的位置，进而根据网格结构确定待求点的坐标． 【详解】解：由听雨轩的点的坐标为可知，轴经过听雨轩所在的竖直直线，且原点位于听雨轩上方2个单位长度处； 由荷花池的点的坐标为可知，轴位于荷花池右侧2个单位长度处，轴位于荷花池下方1个单位长度处； 综合上述信息可确定平面直角坐标系的原点位置， 观察网格图可知，月季园的点的坐标是． 三、解答题 7．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，三角形ABC的三个顶点都是格点，以某条水平直线为轴，建立平面直角坐标系，使三角形的顶点尽可能多地落在坐标轴上． (1)在图中画出满足条件的平面直角坐标系； (2)写出点的坐标； (3)y轴上有一点，三角形与三角形的面积相等，写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）以所在直线为x轴，过点A作的垂线，垂足为点O，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系，即可解答； （3）先求出三角形的面积，再列出三角形面积的表达式，求出的长度，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； （3）解：， ∵点P在y轴上，三角形与三角形的面积相等， ∴， ∵， ∴或． 点到坐标轴的距离题型03 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平面内一点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值． 【详解】解：∵点的纵坐标为， ∴点到轴的距离为． 2．在平面直角坐标系中，若点到轴的距离等于到轴的距离，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离的性质，根据点到x轴距离为纵坐标的绝对值，到y轴距离为横坐标的绝对值，列出绝对值方程求解即可. 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离为，到轴的距离为，点坐标为， 点到轴的距离为，到轴的距离为. 点到轴的距离等于到轴的距离， . 分两种情况求解： ① 当时，解得； ② 当时，解得. 因此的值为或. 3．已知点到轴的距离为，且，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据点到坐标轴的距离性质，算术平方根的定义，结合乘积的符号判断x和y的取值，即可得到点P的坐标. 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴，可得或， ∵， ∴， 又∵，且 ∴，即， ∴点的坐标为. 4．若在第四象限，且点到轴的距离为7，到轴的距离为4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点所在象限判断横纵坐标符号，再结合距离求出点的坐标． 【详解】∵点在第四象限， ∴点的横坐标大于，纵坐标小于， 又∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以结合横纵坐标的符号可得点的坐标为横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 5．若轴上的点到轴的距离是7，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据点P在x轴上确定纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，得到横坐标的所有可能，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，可排除A， D选项； ∵点到轴的距离是，平面直角坐标系中，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， ∴，可得或． ∴点的坐标是或． 6．在平面直角坐标系中，点到轴与轴的距离之和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值， ∴点到轴与轴的距离之和是． 7．在平面直角坐标系中，坐标为的点在第四象限，若该点到两条坐标轴的距离相等，则a的值为（） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据第四象限内点的坐标特征得到横纵坐标的符号，再利用点到两坐标轴距离相等推出横纵坐标绝对值相等，去掉绝对值符号后列方程求解即可 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， ∵点到两条坐标轴的距离相等 ∴ 得： 整理得 移项解得 8．已知点，若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（     ） A．5或 B．或 C．5或 D．或 【答案】B 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，得到点横、纵坐标的绝对值相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵点 到两坐标轴的距离相等， ∴， 分两种情况讨论： ①当 时， 即 ， 解得： ； ②当 时， 即 ， ， 解得 ； 综上，的值为或． 二、填空题 9．点到轴上的距离是_____． 【答案】7 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：已知点坐标为， 点的纵坐标为， 点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即． 10．在平面直角坐标系中，若点在轴上方，到轴的距离是3个单位长度，到轴的距离是5个单位长度，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】平面直角坐标系中，点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到轴的距离为该点横坐标的绝对值，结合点在轴上方确定纵坐标的符号，即可求出点的坐标． 【详解】解：点在轴上方， ∴点A的纵坐标大于0， ∵点A到轴的距离是个单位长度， ∴点A的纵坐标的绝对值为3， 点的纵坐标为， 点到轴的距离是个单位长度， ∴点A的横坐标的绝对值为5， 点的横坐标为， 点的坐标为或． 11．已知点在第二象限，且点到轴的距离为，则的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离相关知识. 点到轴的距离等于横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，据此结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴的距离为， ∴点的横坐标，且， 可得， 移项，得， 系数化为，得， 当时，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴的值是． 12．已知点到x轴、y轴距离相等，则__________． 【答案】或/或 【分析】根据平面直角坐标系中点的性质，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，由此列出绝对值方程，分情况求解即可得到的值． 【详解】解：依题意：， 分两种情况讨论：当时 移项得， 解得， 当时 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 综上，的值为或． 13．在平面直角坐标系中，点到轴距离为________． 【答案】1 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标为，点到轴的距离为横坐标的绝对值，即． 14．已知平面直角坐标系内的点的坐标为，且点到轴的距离为5，则的值为____________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，列方程求解即可． 【详解】解：∵点，且点到轴的距离为， ∴， ∴，或 解得或； 15．点在第一象限，且到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是____________． 【答案】 【分析】先根据第一象限点的坐标特点判断横纵坐标的符号，再结合点到坐标轴距离的定义和题目给出的倍数关系列方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：点在第一象限， ，， ∵点到轴的距离是到轴距离的3倍， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 16．已知平面直角坐标系中有一点，若点到轴的距离为3，求点的坐标． 【答案】 或 【分析】根据题意，得，去绝对值，解答即可． 【详解】解：∵点，点到轴的距离为3， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； 故或． 17．已知点，试分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P到x轴的距离为2，且在第四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纵坐标比横坐标大3列方程求解m的值，再求解即可； （2）根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解． 【详解】（1）解：∵点P的纵坐标比横坐标大3， ∴， 解得， ∴， 所以，点P的坐标为； （2）解：∵点P到x轴的距离为2， ∴， 解得或， 当时，，， 此时，点， 当时，，， 此时，点， ∵点P在第四象限， ∴点P的坐标为． 18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为____________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的“长距”为3，且点C在第一象限内，将点C沿水平方向进行平移得到点D，使点D为“完美点”，且点D也在第一象限，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“完美点”的定义列方程求解即可； （3）由点在第一象限及“长距”为3，分别讨论横坐标或纵坐标绝对值为3，结合水平平移后纵坐标不变且点为第一象限“完美点”，解得点坐标为或． 【详解】（1）解：点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4， 点的“长距”为4． （2）解：点是“完美点”， 点到轴、轴的距离相等， ∴，即， 或， 解得或． （3）点在第一象限内， ，可得 解得． 点的“长距”为3， 分两种情况讨论： ①当时，或， 解得或（舍）． 当时，，满足“长距”为3， 沿水平方向平移得到点，纵坐标不变为1，点为“完美点”且在第一象限，故． ②当时，或， 解得或（舍）． 当时，，满足“长距”为3， 沿水平方向平移得到点，纵坐标不变为3，点为“完美点”且在第一象限，故． 综上，点的坐标为或． 点到坐标轴上的性质题型04 一、单选题 1．已知点在轴上，则的值是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中轴上点的坐标特征，利用轴上点的纵坐标为0列一元一次方程即可求解． 【详解】∵点在轴上， ∴点的纵坐标为， ∴ ， 解得 ． 2．点在轴上，且到原点的距离是2，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为， ∵点到原点的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，即， ∴或， ∴点的坐标为或． 3．点在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则的值为（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】 根据x轴上点的纵坐标为0，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，可分别求出、的值，再计算即可．熟练掌握点的坐标性质是解题关键． 【详解】点在轴上，且点到轴的距离为， ，， 解得，或． 当，时，， 当，时，． 的值为或． 4．七年级（1）班同学开展“数学趣味闯关”活动，第一关的题目是：若点在x轴上，且到y轴的距离为3，则点P的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：x轴上的点纵坐标为0，到y轴距离为横坐标的绝对值， 故坐标为或． 5．已知点在轴上，则点到轴的距离是（    ） A．4 B．18 C．0 D．0或18 【答案】B 【分析】根据y轴上点的横坐标为0的坐标特征，先求出a的值，再得到点A的纵坐标，利用点到x轴的距离等于纵坐标绝对值的性质计算结果． 【详解】解：∵点在轴上，轴上的点横坐标为 ∴ 解得 将代入纵坐标得： ∴点的坐标为 ∴点到轴的距离为18． 6．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，线段长度的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用垂线段最短的性质求解． 【详解】解：∵点在轴上，根据直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴长的最小值等于点P到y轴的距离， ∵点P的坐标为， ∴点P到y轴的距离为，即长的最小值为． 二、填空题 7．若点在轴上，则点到轴的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据轴上点的横坐标为0的性质求出的值，再根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，计算得到最终结果 ． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点A的横坐标为0，即，解得， 将代入点，得点坐标为， ∴点到轴的距离为． 8．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为_______． 【答案】或/或 【分析】根据点在轴上的坐标特征得到横坐标为，可求出的值． 根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，可求出的所有可能值，再代入计算得到的值． 【详解】解：点 在轴上， ， 解得． 点到轴的距离为， ， 即或， 解得或． 当，时，； 当，时，． 综上可知，的值为或． 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得，即可求解； （2）根据第二象限的点的符号特征以及点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， 解得． ． ∴点的坐标为． （2）解：∵点在第二象限， ，， ∵点到两坐标轴的距离之和为6， ． ， 解得． ，． ∴点的坐标为． 与坐标轴平行的性质题型05 一、单选题 1．已知点，轴，且，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】点位置不确定，需要分类讨论，利用坐标特征计算即可得到结果． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 又∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 2．已知平面直角坐标系中有和两点，且点在第四象限，，直线轴，则的值为（    ） A．或 B． C． D．2或12 【答案】C 【分析】先根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到的值，再根据的长度得到的所有可能值，结合点在第四象限的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， ， 解得或， 点在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负数， ， ． 3．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】平行于轴的直线上的点的横坐标相等，以及点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此即可求解点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ∴， ∵点B到x轴的距离为3， ∴点B的纵坐标的绝对值为3， ∴点B的纵坐标为或3， ∴点B的坐标为或 4．在平面直角坐标系中，已知，，，若轴，则当线段的长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行于轴的点的坐标特征和垂线段最短的性质，先根据轴确定点的纵坐标，再根据垂线段最短确定长度最小时点的横坐标，即可得到结果． 【详解】解：轴，， 点的纵坐标 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小 轴， 轴，即点与点的横坐标相同 ， 点的横坐标 点的坐标为． 5．已知点与点，下列说法不正确的是（     ） A．都在第三象限 B．轴 C．轴 D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质，根据点的坐标判断象限，分析线段位置，计算线段长度，找出错误说法即可． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第四象限． ∵点B的横坐标，纵坐标， ∴点B在第一象限．因此A选项说法错误． ∵A，B两点横坐标相等， ∴轴， 又轴轴，可得轴，因此B，C选项说法正确． ，因此D选项说法正确． 综上，不正确的是A． 6．已知直线轴且与 轴的距离等于5，则直线与轴交点坐标是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行于轴的直线的坐标特征，结合点到坐标轴的距离性质，即可求出直线与轴的交点坐标． 【详解】解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标相等，设纵坐标为， 直线与轴的距离等于， ，解得或， 又轴上所有点的横坐标为， ∴交点坐标为或． 7．在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，轴，若，则点Q的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据题意得出P点坐标，根据轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2， ∴， ∵轴， ∴设 若， 则， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 8．已知点坐标为，线段平行于轴，且，则点的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用平行于x轴的点的坐标特征，先确定B点的纵坐标，再根据线段长度分情况计算B点的横坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵线段平行于轴，， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴点B的横坐标为或， ∴点的坐标为或． 9．在平面直角坐标系中，点，，且平行于轴，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，即可得解． 【详解】解：平行于轴，点，， ． 10．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（    ） A．若点A在y轴上，则 B．若点A在一三象限角平分线上，则 C．若点A到x轴的距离是3，则 D．若点A在第四象限，则a的值可以为4 【答案】D 【分析】本题根据不同位置点的坐标特征，结合点到坐标轴距离的意义，逐个判断选项正误即可. 【详解】解：A选项：若点A在y轴上， ∵y轴上点的横坐标为0， ∴，选项给出，故A错误. B选项：若点A在一三象限角平分线上， ∵一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等， ∴，解得，选项给出，故B错误. C选项：若点A到x轴的距离是3， ∵点到x轴的距离等于点纵坐标的绝对值， ∴，解得或，选项给出，不符合题意，故C错误. D选项：若点A在第四象限， ∵第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴，解得， ， 的值可以为，故D正确. 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，已知轴，且，则点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知的长度，点可能在点左侧，也可能在点右侧，分情况计算即可得到点坐标． 【详解】解：轴，点， 点的纵坐标为， ， 情况一：当点在点左侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为； 情况二：当点在点右侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为． 12．已知直线轴，且点，点，则________． 【答案】11 【分析】根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，求出的值，进而得到点的坐标，再计算的长度即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等， 即， 解得， 将代入点的横坐标，得， ∴点的坐标为， ∵点，纵坐标相同， ∴的长度为两点横坐标差的绝对值， 即． 三、解答题 13．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在第三象限的角平分线上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据横纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在第三象限的角平分线上， ∴横纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴，， ∴点P的坐标为． （2）解：∵直线平行于x轴，且， ∴点P的纵坐标等于点A的纵坐标，即， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 14．已知点，试分别根据下列条件，求出的值并写出点的坐标． (1)点在轴上； (2)经过点，的直线，与轴平行； (3)点到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1)，点的坐标为． (2)，点的坐标为． (3)时，点坐标为；时，点坐标为． 【分析】（1）根据轴上的点纵坐标为0列方程求出的值即可； （2）根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等列方程求出的值即可； （3）根据点到两坐标轴的距离相等则点的横纵坐标的绝对值相等列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为． ∴． 解得． ∴， ∴点坐标为． （2）解：∵直线与轴平行，平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴， 解得． ∴， ∴点坐标为． （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到轴距离为纵坐标的绝对值，到轴距离为横坐标的绝对值， ∴． 分两种情况讨论： 当时， 解得， ∴，， 此时点坐标为． 当时， 整理得， 解得． ∴，， 此时点坐标为． 15．已知点． (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第四象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点的纵坐标即可得出答案； （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其横坐标即可得出答案； （3）根据第四象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ， ， ， 点的坐标为； （2）点的坐标为，直线轴， ， 解得：， ， 点的坐标为； （3）点在第四象限，且它到轴的距离与轴的距离相等， ， ， ，， 点的坐标为 坐标系内两点之间的距离题型06 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：点到原点的距离为． 2．在平面直角坐标系中，描出，连接，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理即可求出线段的长度． 【详解】，， ． 3．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，连接，取的中点，连接，则的长度为（    ） A．6 B．7.5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理解题． 【详解】解：由题意知，，即， ∴． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】可利用平面直角坐标系中纵坐标相同的两点的位置特点计算线段长，纵坐标相同的两点连线平行于x轴，线段长度等于横坐标差的绝对值． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 5．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长度，根据作图可知，结合点在轴正半轴的位置即可得到点的坐标． 【详解】解：原点坐标为，点坐标为， ， 以点为圆心长为半径画弧，交轴的正半轴于点， ， 点坐标为． 6．跨学科 一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于轴的对称点，连接，则光线从点到点经过的路线长为，作与交于点，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接， 则，且三点共线， 作与交于点． ∴光线从点到点经过的路线长为： ， 即光线从点到点经过的路线长是． 7．平面上三个点的坐标分别是，，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离公式：也考查了三角形形状的判定．先根据两点间的距离公式计算出三边长，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， 故选：A． 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，已知点，点，那么线段的长是________． 【答案】 【分析】平面直角坐标系中，若两点坐标为，，则两点间距离公式为，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】解：∵，， ∴. 三、解答题 9．在平面直角坐标系中，已知点、． (1)求、两点间的距离； (2)如果点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）设，根据，利用两点间距离公式列出方程，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点、， ∴、两点间的距离为． （2）解：∵点在轴上， ∴设， ∵，、， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴点的坐标为． 10．小明在探索平面直角坐标系中任意两点，之间的距离时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理得．若，，求的长． 【答案】 【详解】解：根据，且，， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中有三点，和． (1)求点和点之间的距离； (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：为等腰直角三角形，理由如下： 过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E， ∵， ∴点，点 ∵点，点， ∴． ∵，点， ∴． 在中， ∵，， ∴． 同理，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形． 【分析】（1）根据点的坐标得到，，根据勾股定理计算即可； （2）过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，根据点的坐标得到，，根据勾股定理求出，同理，根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴． ∵点，点， ∴． ∴在中，； （2）略． 12．【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 【答案】(1)4 (2)①或；② 【分析】（1）由轴得到的长度为求解； （2）①首先求出轴，，然后根据题意分两种情况讨论求解； ②设，求出，，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵点，，则轴， ∴的长度为； （2）解：①∵，， ∴轴，， ∵线段与y轴交于点C， ∴，， ∵点C把线段分成的两部分， ∴或． 又∵， 当时，则； 当时，则； 又，， ∴或， ∴或； ②如图，取， ∵，， ∴轴，轴，即 ∴， ∴． 坐标平移的性质题型07 一、单选题 1．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 2．线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移与坐标．熟练掌握点平移坐标变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据点A与点C的坐标判断出平移方式 ，再根据平移方式 ，结合点平移坐标变化规律，求出点D坐标即可． 【详解】解：因为线段是由线段平移得到， 的对应点为 ， 所以线段向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到线段， 所以点的横坐标加4，纵坐标加2， 所以点 的对应点D的坐标为，即， 故选：C． 3．将点向右平移若干个单位长度后得到点，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标平移，掌握点的坐标平移规律∶ “左减右加，上加下减”是解题的关键．根据点向右平移，纵坐标不发生变化，由此可知，解方程即可求解． 【详解】解∶∵点向右平移若干个单位长度后得到点 ∴， 解得． 故选∶A． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． 5．点P先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后，则得到点，则点P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化 - 平移，熟练掌握点的平移规律（右加左减横坐标，上加下减纵坐标）是解题的关键．根据点平移的逆过程，将点反向平移得到点的坐标． 【详解】解：横坐标： 纵坐标： 故点的坐标为． 故答案为：． 6．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为． 故答案为： 三、解答题 7．沿轴正方向平移10个单位长度得到，的顶点坐标如图所示． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)   (2)四边形ACED的面积为63 【分析】本题主要考查了图形的平移，点的坐标，四边形的面积等知识点，掌握平移的性质，是解答本题的关键． （1）平移前后两个三角形全等，对应边相等，由此可得点的坐标； （2）根据即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴，， ∵沿轴正方向平移个单位长度得到， ∴，，， ∴点的坐标是，点的坐标是； （2）解：四边形可看作是一个长方形和一个三角形的面积之差， ． 8．三角形ABC与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出三角形ABC各顶点的坐标：A_____，B______，C______ (2)三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？ (3)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)（1，3），（2，0），（3，1）； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位 (3)2 【分析】（1）直接写出个点的坐标，即可求解； （2）根据点A（1，3）的对应点为，即可求解； （3）用长方形的面积减去三角形ABC周围3个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A（1，3），B（2，0），C（3，1）； 故答案为：（1，3），（2，0），（3，1）； （2）解：根据题意得：点A（1，3）的对应点为， ∴三角形是由三角形ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到的； （3）解：三角形ABC的面积= ． 【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积． 探究坐标规律题型08 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为2，宽为1．将长方形沿轴翻转1次，点落在点处，翻转2次，点落在点处，翻转3次，点落在点处（点与点重合），翻转4次，点落在点处，以此类推…翻转2026次后，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探究点坐标的变化规律，发现每4次翻转为一个循环周期，横坐标增加6，纵坐标循环变化，利用规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，长方形的长为2，宽为1 ， 第1次翻转，点落在处，坐标为， 第2次翻转，点落在处，坐标为 ， 第3次翻转，点落在处，与重合，坐标为 ， 第4次翻转，点落在处，坐标为 ， 此时长方形回到初始相对位置，完成一个循环 ， 每4次翻转为一个循环，横坐标增加，纵坐标按循环， ， 的纵坐标与相同，为0 横坐标为， 的坐标为 ． 2．在平面直角坐标系中，一只青蛙从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次跳动，每次跳动个单位长度，其坐标为：，，，，，，其行走路线如图所示，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察可得，每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4，计算出的商和余数即可得到答案． 【详解】解：点，，，，，，，，，…， ∴每4个点为一个循环，纵坐标依次为2，2，0，0，每个循环横坐标增加4， ∵， ∴点纵坐标为2，横坐标为， 点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据伴随点的定义求出前几个点的坐标，找出坐标的循环规律，计算2026除以循环周期的余数，根据余数确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， 根据伴随点的定义可得：的坐标为，即， 的坐标为，即， 的坐标为，即， 的坐标为，即，和的坐标相同， 由此可知，每个点为一个循环周期， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 4．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，……那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形中点的坐标变化规律，发现下标是3的倍数的点都在轴上，且横坐标等于下标除以3，据此规律即可求解. 【详解】解：由图可得：，，，，， 点的坐标为， ， 点的坐标为. 二、填空题 5．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是____________． 【答案】 【分析】根据友好点的定义，计算前几个点的坐标，发现序列每个点循环一次，再确定的坐标，并计算其友好点． 【详解】解：∵， ∴为的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：相同； ∴观察可知，每四次循环一次， ∵， ∴， ∴的友好点为． 中点坐标公式题型09 一、单选题 1．已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 二、填空题 2．在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 【详解】解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 3．如图，平面组合图形中，点、，则该平面组合图形的重心的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查平面组合图形的重心的坐标，A，B是两个图形的重心，平面组合图形的重心的坐标是两重心坐标的平均值，据此求解即可． 【详解】解：∵点A，B是两个图形的重心，且、， ∴平面组合图形的重心的坐标为，即． 故答案为：． 三、解答题 4．如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点． (1)写出图中点、、的坐标是：___________，B___________，___________ (2)的面积是___________． (3)如果点在边上，平分的面积，那么点的坐标是___________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，三角形中线三角形面积，坐标与图形． （1）根据点的位置写出坐标即可； （2）用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可； （3）根据中点坐标公式即可得到答案． 【详解】（1）解：点、、的坐标是， 故答案为： （2）的面积是 故答案为： （3）如图，点即为所求， ∵点为的中点，点、的坐标是， ∴点的坐标是 故答案为： 5．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵轴， ∴点与点的横坐标相等，均为，纵坐标之差的绝对值等于的长度， ∵， ∴点的纵坐标为，或， ∴点的坐标为或. 2．如图，在边长均为1的网格纸上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，网格纸被撕掉了一部分，已知点M的坐标为，则点N的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据点M的坐标为，补全平面直角坐标系，则点N的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2026秒时点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出四边形各边长及周长，计算出点P运动的总路程，利用总路程除以周长得到余数，根据余数确定点P的位置． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴四边形的周长为， ∵点P的速度为2个单位长度/秒，运动时间为2026秒， ∴点P运动的总路程为 ， ∵， ∴点P运动了253圈后又运动了4个单位长度， ∵，且点P从点A出发沿方向运动， ∴此时点P到达点B处， ∴点P的坐标为． 4．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 二、填空题 5．如图，将“马”的小篆字体放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，则点C的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：如图所示， A，B两点的坐标分别为， 点的坐标为． 6．已知平面直角坐标系中，点在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，则P点坐标为______． 【答案】 【分析】先根据第二象限内点的符号特征和题目给出的数量关系列方程求出的值，再代入计算得到点的横纵坐标即可． 【详解】解：点在第二象限， 点的横坐标小于，纵坐标大于，则点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即，到轴的距离为横坐标的绝对值，即， 根据题意得， 解得：， 将代入得横坐标，纵坐标， 点坐标为． 7．A，B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为8，则点P的坐标为____． 【答案】或/或 【分析】设点坐标为．利用点的纵坐标可得三角形的高为．再根据三角形的面积为列含绝对值的方程，求解得到的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：设点坐标为． 点坐标为，点在轴上， 的长度为 ． 点坐标为， 三角形中，边上的高为点纵坐标的绝对值，即高为． 根据三角形面积公式可得：， 化简得． 即或． 解得或． 点坐标为或． 三、解答题 8．已知点，试分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P到x轴的距离为2，且在第四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纵坐标比横坐标大3列方程求解m的值，再求解即可； （2）根据点P到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数求解． 【详解】（1）解：∵点P的纵坐标比横坐标大3， ∴， 解得， ∴， 所以，点P的坐标为； （2）解：∵点P到x轴的距离为2， ∴， 解得或， 当时，，， 此时，点， 当时，，， 此时，点， ∵点P在第四象限， ∴点P的坐标为． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知其中 a， b 满足，点M为第三象限内一点． (1)请直接写出A、B两点的坐标：A（ ，0），B（ ，0）； (2)若M为，请用含m的式子表示的面积； (3)若到坐标轴的距离相等，且，求N点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b的值，可得答案； （2）先求出，再由三角形的面积公式表示即可 （3）先根据距离相等可得方程，再结合所在象限求出点M的坐标，然后根据的长度得出答案． 【详解】（1）解：，且 ，， ，， ，， ，； （2）解：如图， ∵，； ∴ 为，且在第三象限内， ， 的面积； （3）解：∵到坐标轴的距离相等， 或， 或10， ∴或 为第三象限内一点， . ∵ ，， 或，即或． 10．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点不是“优美点”，理由： 过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为，面积为， ∵， ∴点不是“优美点”； (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得出结果； （2）根据“优美点”的定义可得，求解即可； （3）根据“优美点”的定义求出或，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵点是“优美点”， ∴， 整理可得， 解得或； （3）解：∵点是“优美点”， ∴， 解得或， ∴或， 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时； 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时， 综上所述，点的坐标为或． 11．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． (3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）直接由线段中点坐标公式求解即可． （2）设点，根据中点坐标公式求解即可． （3）分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， 则线段的中点的坐标为，即． （2）解：设点， ∵点，且线段的中点坐标为， ∴，解得， ∴点． （3）解：当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 12．在平面直角坐标系中，规定某一点到轴、轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到轴，轴距离相等，则称该点为“完美点”． (1)点的“短距”是________； (2)若点是“完美点”，求点的坐标； (3)若坐标系第三象限内存在一点，且它的“短距”是5，现有一点，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）根据“短距”的定义求解； （2）根据“完美点”的定义得到，求出或，然后分别代入求解即可； （3）首先得到，然后根据“短距”的定义得到，求出，得到坐标为，然后根据“完美点”的定义求解． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点的“短距”是2； （2）解：∵点是“完美点” ∴ ∴或 当时，，； 当时，，； ∴点的坐标为或； （3）证明：∵点在第三象限， ∴，即， ∴该点到轴的距离为， ∵它的“短距”是， ∴，即， 解得， 将代入点的横坐标，得， ∴点坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴、轴的距离相等， ∴点是“完美点”． 13．如图，在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点A与点B的“非常距离”为；若，则点A与点B的“非常距离”为． (1)填空：已知点与点，则点A与点B的“非常距离”为 ． (2)已知点，点D为y轴上的一个动点．若点C与点D的“非常距离”为2，求点D的坐标． 【答案】(1)4 (2)或． 【分析】（1）根据、两点的坐标，结合“非常距离”的定义求解即可； （2）根据y轴上的点的特征可知点D的横坐标为0，再结合“非常距离”的定义，得出点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2，即可求解 ． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴点A与点B的“非常距离”为4； （2）解：∵点D在y轴上， ∴横坐标为0， ∴， ∵， ∴点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2， 设点D的纵坐标为， 则，解得或， ∴点D的坐标为或． 14．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； (1)【实践操作】 根据上面的结论，计算： ①已知：点、点，线段________； ②若点、，且轴，求的长度． (2)【拓展应用】 如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足， ①请直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①，；②存在，或 【分析】（1）①根据【问题情境】的结论计算即可； ②根据得出，再根据【问题情境】的结论计算即可； （2）①利用绝对值和算术平方根的非负数性质得出，，进而求出、的值即可； ②根据、坐标求出，根据点坐标求出，根据三角形的面积等于三角形面积的倍，得出，解方程求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：①∵点、点， ∴； ②点、，且轴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵，，， ∴，， 解得：，． ②解：存在，或，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∴， ∵三角形的面积等于三角形面积的倍， ∴， ∵ ∴，即， 解得：或， ∴或． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿箭头所示方向，每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，，，，，…，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察图形，第8个点一个循环周期， 余1， ∴点在第一象限， 再观察图形，，，，， ∵，，， ∴到达的编号是， 当时，， 当时，， ∴， ∴． 二、填空题 2．如图，在平面直角坐标系中，、两点均在第四象限，其中点，点，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】添加辅助线，过点作轴于，过点作，交的延长线于，构造全等三角形，得到，由此求解即可． 【详解】解：过点作轴于，过点作，交的延长线于，如图， 则有， ∵， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即的值为2． 3．光纤通讯是利用光的全反射原理进行光信号传输．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，在经过第次全反射到达，依此类推， （1）经过第次全反射到达，则的坐标为________； （2）经过第（为正整数）次全反射到达，则的坐标为________． 【答案】 【分析】先根据点的下标的情况，得出点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：（1），，，， 下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的横坐标依次增加，下标为奇数的点的横坐标依次增加， ，即； （2）为正整数， 为奇数，且当时，，即的横坐标为首项， 又下标为奇数的点的横坐标依次增加，下标为奇数的点的纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 4．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 5．新定义：在平面直角坐标系中，若点，点，则称点Q是点的“级关联点”（其中为常数，且）．若点的“级关联点”在坐标轴上，则的值是________． 【答案】或 【分析】根据新定义求出点的级关联点的坐标，再利用坐标轴上点的坐标特征，分横坐标为和纵坐标为两种情况列方程求解即可． 【详解】解：由“级关联点”定义得， 点，即， 点的坐标为，整理得， 点在坐标轴上， 分两种情况讨论： 当点在轴上时，横坐标为，即，解得； 当点在轴上时，纵坐标为，即，解得． 三、解答题 6．已知平面直角坐标系中，，，且． (1)直接写出，两点坐标：（____，_____），（____，_____），并在图（1）中画出点，点； (2)连接，，，直线交轴于点，交轴于点． ①求的面积； ②求点C，点D的坐标； (3)点P是射线上不与点重合的一动点，连接，当时，直接写出P点横坐标的取值范围． 【答案】(1)；4；1；1 (2)①3；②；. (3)或. 【分析】（1）根据非负性进行求解即可； （2）①分割法求面积即可；②等积法求出的长，进而求出的坐标； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴， ∴， 画图略； （2）解：①作轴，轴， 由（1）知：； ∴， ∴ ∴的面积； ②∵的面积， ∴， ∴； ∵的面积， ∴， ∴， ∴. （3）解：当点在线段上，即，且时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，满足要求； 当点在线段的延长线上，即，且时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，满足题意； 综上：或. 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②，③点的坐标为 (3) 【分析】（1）利用算术平方根与绝对值的非负性，列方程求出、，直接得到、两点坐标； （2）①根据等高三角形面积比等于对应底边长之比，结合线段比例直接得到两个三角形面积之比； ②过点作轴于点，根据即可求出答案； ③设点纵坐标，拆分为两个小三角形，结合面积比例列方程求解，得到点坐标； （3）设轴动点纵坐标为，分割表示出面积，结合面积不等关系列出绝对值不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：，，且， 两个非负数均为，即， 解得，， 点坐标为，点B坐标为； （2）解：①和有公共顶点，底边、在同一条直线上，因此两个三角形的高（点到直线的垂线段长度）完全相等， 面积比就等于底边长的比， ； ②过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ， ； ③设点坐标为，即， 以为底，高是点的纵坐标， ， ， 可得， 又， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：设点坐标为， ， 与以为公共底，高分别为点、点到轴的距离和， ， 由题意，且， 代入得：， 整理得， 即， 解得． 8．在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 一、单选题 1．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据各象限点的横纵坐标符号特点第一象限；第二象限；第三象限；第四象限,即可判断． 【详解】解：点所在象限为第一象限． 2．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图．将其放在平面直角坐标系内，若用表示赏荷栈道的位置，用表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的坐标确定平面直角坐标系，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∴中国共产党太原历史展览馆的位置表示为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 5．在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可． 【详解】解：设点坐标为， ∵点在第二象限内， ∴，， ∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5， ∴，， ∴，， 即点坐标为， 故选：D 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 二、填空题 6．点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 7．若点在x轴上，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算得出的值，再代入点P的横坐标，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴ 解得 把代入，得 ∴ 故答案为： 8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $