8.4 抛物线 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以抛物线定义与几何性质为核心，通过分层训练构建"定义应用-几何关系-综合计算"的方法体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础强化练|12题|定义转化求距离、焦点准线关系应用、圆与抛物线位置关系判定|从抛物线定义出发，结合焦点准线性质，逐步过渡到与圆的综合几何问题| |综合提升练|15题|直线方程设为x=my+a简化运算、中点弦性质、最值问题转化|以直线与抛物线相交为载体，整合弦长计算、面积求解、动态几何最值，形成"性质-运算-应用"逻辑链|

8.4　抛物线 基础强化练 1.(2026江苏扬州期末)若P(x0,4)为抛物线y2=4x上一点,则点P到其焦点的距离为 (　 　) A.4　　B.5　　C.2　　D.6 2.(2026福建龙岩三模)已知圆(x+1)2+y2=16与抛物线y2=2px(p>0)交于M,N两点.若|MN|=4,则p的值为 (　 　) A.6　　B.12　　C.2　　D.4 3.(2026山东济南一模)若圆(x-1)2+y2=4与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,则C的焦点坐标为 (　 　) A.　　B.(1,0)　　C.　　D.(2,0) 4.(2026四川南充二诊)已知一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与直线x+2=0相切,则此圆恒过定点 (　 　) A.(-4,0)　　B.(-2,0)　　C.(2,0)　　D.(4,0) 5.(2026山西晋中三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点,过点A,B分别向C的准线作垂线,垂足为A',B',若|AA'|+|BB'|=,AB中点的纵坐标为2,则C的方程为 (　 　) A.y2=3x或y2=x　　B.y2=4x或y2=x C.y2=6x或y2=x　　D.y2=8x或y2=x 6.(2026河北邯郸一模)已知焦点为F的抛物线y2=4x上有一点A,满足|AF|=3,则△AOF(O为坐标原点)的面积为 (　 　) A.　　B.　　C.2　　D. 7.(2026湖南永州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点E在x轴上且位于F右侧,点P在C上,若△PEF为等边三角形,则|PF|= (　 　) A.2　　B.2　　C.2　　D.4 8.(2026山西晋中调研)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F的直线l与C在第一象限的交点为P,且|PF|=5,则l的方程为 (　 　) A.4x+3y-4=0　　B.4x-3y-4=0 C.3x+4y-3=0　　D.3x-4y-3=0 9.(2026广东广州一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆M:(x+1)2+y2=16与C交于A,B两点,若直线AM与直线BM的斜率之积为-3,则|AF|= (　 　) A.3　　B.　　 C.4　　D.5 10.(2026湖南郴州质检)已知点A(-1,0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P是抛物线C上一动点,则的最大值为 (　 　) A.1　　B.　　 C.　　D.2 11.(多选)(2026浙江强基联盟联考)已知抛物线y2=4x与圆x2+y2-2x-3=0交于M,N两点,则下列说法正确的是 (　BCD　) A.圆心坐标为(-1,0) B.|MN|=4 C.抛物线的准线与圆相切 D.过抛物线焦点的直线与圆相交 12.(多选)(2026福建三市联考)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1,0),准线为l,圆M过点F.下列说法正确的是 (　 　) A.p=1 B.l的方程为x=-1 C.若圆心M在C上,则圆M与l相切 D.若圆M与l相切,则圆心M在C上 综合提升练 1.(2026广东广州一模)已知抛物线E:x2=4y上有一点P,A(4,1),过点P作y=-2的垂线,垂足为Q,则|PA|-|PQ|的最大值为 (　 　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.(2026安徽皖北协作区联考)若P(x,y)是抛物线C:x2=-12y上的动点,点A(4,0),则|y-3|+|PA|的最小值为 (　 　) A.　　B.5　　C.7　　D.2 3.(2026山西吕梁期末)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点A,B,C,若=2,则以AB为直径的圆截y轴所得的弦长为 (　 　) A.2　　B.　　C.　　D. 4.(2026河北保定一模)抛物线C:y2=4x的焦点为F,动点P在抛物线C的准线上,O为坐标原点,当∠OPF最大时,△OPF的面积为 (　 　) A.　　B.　　C.　　D.2 5.(2026安徽合肥八中模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且不与坐标轴垂直的直线l与C交于A,B两点,M为线段AB的中点,过M作C的准线的垂线,垂足为N,若△FMN为等腰三角形,则直线l的斜率的绝对值为 (　 　) A.　　B.　　C.1　　D. 6.(2026浙江宁波十校联考)已知直线l与焦点为F的抛物线C:y2=4x相交于M,N两点,且∠MFN=,线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则的最小值为　 (　 　) A.1　　B.　　C.　　D.2 7.(2026河北石家庄二模)彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样.某彩凤穿花纹碗如图1所示,其轴截面(不含碗的底座)如图2所示,已知该碗的底座高为1 cm,曲线AC,BD均是焦点到准线的距离为5 cm的抛物线的一部分,则该碗的高度为 (　 　) 　　 A.8 cm　　B.9 cm　　 C.10 cm　　D.11 cm 8.(2026山东济南一模)已知抛物线W:y2=2px(p>0)的焦点为F,C.若W上存在点A,使得|CF|=|AF|,且△ACF的面积为2,则p= (　 　) A.1　　B.2　　 C.3　　D.4 9.(多选)(2026湖北宜昌调研)已知直线l:y=k(x-1)(k>0)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,F为抛物线的焦点,过点F作l的垂线交直线x=-1于点D,O为坐标原点,则 (　 　) A.·=0　　 B.·=0 C.若|AF|=2|BF|,则k=2　　 D.若|DF|=,则k= 10.(多选)(2026湖南长沙长郡中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.过F的直线与C交于A,B两点,连接BO并延长,与准线l相交于点P,PF与x轴交于Q点,准线l与y轴交于点G,则 (　 　) A.|AP|=|AF|　　B.∠AOB为锐角 C.PF⊥AQ　　D.= 11.(多选)(2026辽宁名校联盟联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C的准线l与x轴交于点E(-1,0),过E的直线与C交于A,B两点,且|BF|=2|AF|=3,延长AF,BF与C分别交于点D,Q,则 (　 　) A.|EF|=2 B.|BE|=2|AB| C.直线AB的斜率为± D.四边形ABDQ的面积为 12.(多选)(2026吉林东北师大附中期末)已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,K为C的准线与y轴的交点,点M在抛物线C上(不与原点重合),设∠KMF=α,∠MKF=β,∠MFK=θ,则下列结论正确的是 (　 　) A.以MF为直径的圆与x轴相切 B.β的最大值为 C.tan β=sin θ D.存在点M,使得α=β 13.(2026广东湛江联合测试一)已知直线l1:x+y+3=0和直线l2:y=-1,则抛物线y=x2上一动点P到直线l1,l2的距离之和的最小值为　 　.  14.(2026浙江宁波模拟)如图,已知定点B(2,-2),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,则|PD|+|PC|的最小值为　 　.  15.(2026浙江金丽衢十二校第一次联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点P(p,y0)到焦点F的距离为3,过焦点F作直线与抛物线交于A,B两点,|AB|=6,O为坐标原点. (1)求点F的坐标; (2)求△OAB的面积. 参考答案 基础强化练 1.(2026江苏扬州期末)若P(x0,4)为抛物线y2=4x上一点,则点P到其焦点的距离为 (　B　) A.4　　B.5　　C.2　　D.6 2.(2026福建龙岩三模)已知圆(x+1)2+y2=16与抛物线y2=2px(p>0)交于M,N两点.若|MN|=4,则p的值为 (　A　) A.6　　B.12　　C.2　　D.4 3.(2026山东济南一模)若圆(x-1)2+y2=4与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,则C的焦点坐标为 (　B　) A.　　B.(1,0)　　C.　　D.(2,0) 4.(2026四川南充二诊)已知一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与直线x+2=0相切,则此圆恒过定点 (　C　) A.(-4,0)　　B.(-2,0)　　C.(2,0)　　D.(4,0) 5.(2026山西晋中三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点,过点A,B分别向C的准线作垂线,垂足为A',B',若|AA'|+|BB'|=,AB中点的纵坐标为2,则C的方程为 (　C　) A.y2=3x或y2=x　　B.y2=4x或y2=x C.y2=6x或y2=x　　D.y2=8x或y2=x 6.(2026河北邯郸一模)已知焦点为F的抛物线y2=4x上有一点A,满足|AF|=3,则△AOF(O为坐标原点)的面积为 (　A　) A.　　B.　　C.2　　D. 7.(2026湖南永州二模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点E在x轴上且位于F右侧,点P在C上,若△PEF为等边三角形,则|PF|= (　D　) A.2　　B.2　　C.2　　D.4 8.(2026山西晋中调研)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F的直线l与C在第一象限的交点为P,且|PF|=5,则l的方程为 (　B　) A.4x+3y-4=0　　B.4x-3y-4=0 C.3x+4y-3=0　　D.3x-4y-3=0 9.(2026广东广州一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆M:(x+1)2+y2=16与C交于A,B两点,若直线AM与直线BM的斜率之积为-3,则|AF|= (　C　) A.3　　B.　　 C.4　　D.5 10.(2026湖南郴州质检)已知点A(-1,0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P是抛物线C上一动点,则的最大值为 (　B　) A.1　　B.　　 C.　　D.2 11.(多选)(2026浙江强基联盟联考)已知抛物线y2=4x与圆x2+y2-2x-3=0交于M,N两点,则下列说法正确的是 (　BCD　) A.圆心坐标为(-1,0) B.|MN|=4 C.抛物线的准线与圆相切 D.过抛物线焦点的直线与圆相交 12.(多选)(2026福建三市联考)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1,0),准线为l,圆M过点F.下列说法正确的是 (　BCD　) A.p=1 B.l的方程为x=-1 C.若圆心M在C上,则圆M与l相切 D.若圆M与l相切,则圆心M在C上 综合提升练 1.(2026广东广州一模)已知抛物线E:x2=4y上有一点P,A(4,1),过点P作y=-2的垂线,垂足为Q,则|PA|-|PQ|的最大值为 (　C　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 2.(2026安徽皖北协作区联考)若P(x,y)是抛物线C:x2=-12y上的动点,点A(4,0),则|y-3|+|PA|的最小值为 (　B　) A.　　B.5　　C.7　　D.2 3.(2026山西吕梁期末)已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点A,B,C,若=2,则以AB为直径的圆截y轴所得的弦长为 (　C　) A.2　　B.　　C.　　D. 4.(2026河北保定一模)抛物线C:y2=4x的焦点为F,动点P在抛物线C的准线上,O为坐标原点,当∠OPF最大时,△OPF的面积为 (　B　) A.　　B.　　C.　　D.2 5.(2026安徽合肥八中模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且不与坐标轴垂直的直线l与C交于A,B两点,M为线段AB的中点,过M作C的准线的垂线,垂足为N,若△FMN为等腰三角形,则直线l的斜率的绝对值为 (　C　) A.　　B.　　C.1　　D. 6.(2026浙江宁波十校联考)已知直线l与焦点为F的抛物线C:y2=4x相交于M,N两点,且∠MFN=,线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则的最小值为　 (　C　) A.1　　B.　　C.　　D.2 7.(2026河北石家庄二模)彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样.某彩凤穿花纹碗如图1所示,其轴截面(不含碗的底座)如图2所示,已知该碗的底座高为1 cm,曲线AC,BD均是焦点到准线的距离为5 cm的抛物线的一部分,则该碗的高度为 (　C　) 　　 A.8 cm　　B.9 cm　　 C.10 cm　　D.11 cm 8.(2026山东济南一模)已知抛物线W:y2=2px(p>0)的焦点为F,C.若W上存在点A,使得|CF|=|AF|,且△ACF的面积为2,则p= (　B　) A.1　　B.2　　 C.3　　D.4 9.(多选)(2026湖北宜昌调研)已知直线l:y=k(x-1)(k>0)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,F为抛物线的焦点,过点F作l的垂线交直线x=-1于点D,O为坐标原点,则 (　BCD　) A.·=0　　 B.·=0 C.若|AF|=2|BF|,则k=2　　 D.若|DF|=,则k= 10.(多选)(2026湖南长沙长郡中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.过F的直线与C交于A,B两点,连接BO并延长,与准线l相交于点P,PF与x轴交于Q点,准线l与y轴交于点G,则 (　ACD　) A.|AP|=|AF|　　B.∠AOB为锐角 C.PF⊥AQ　　D.= 11.(多选)(2026辽宁名校联盟联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C的准线l与x轴交于点E(-1,0),过E的直线与C交于A,B两点,且|BF|=2|AF|=3,延长AF,BF与C分别交于点D,Q,则 (　ABD　) A.|EF|=2 B.|BE|=2|AB| C.直线AB的斜率为± D.四边形ABDQ的面积为 12.(多选)(2026吉林东北师大附中期末)已知F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,K为C的准线与y轴的交点,点M在抛物线C上(不与原点重合),设∠KMF=α,∠MKF=β,∠MFK=θ,则下列结论正确的是 (　ACD　) A.以MF为直径的圆与x轴相切 B.β的最大值为 C.tan β=sin θ D.存在点M,使得α=β 13.(2026广东湛江联合测试一)已知直线l1:x+y+3=0和直线l2:y=-1,则抛物线y=x2上一动点P到直线l1,l2的距离之和的最小值为　2　.  14.(2026浙江宁波模拟)如图,已知定点B(2,-2),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,则|PD|+|PC|的最小值为 　.  15.(2026浙江金丽衢十二校第一次联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点P(p,y0)到焦点F的距离为3,过焦点F作直线与抛物线交于A,B两点,|AB|=6,O为坐标原点. (1)求点F的坐标; (2)求△OAB的面积. 解析　(1)由抛物线定义可得|PF|=p+==3,因此p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0). (2)设直线AB的方程为x=my+1, 联立消x可得y2-4my-4=0, Δ=16(m2+1)>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4, 所以|AB|=|y1-y2| =· =·=4(1+m2)=6,解得m=±. 所以原点O到直线AB的距离为d===, 所以S△OAB=d·|AB|=. 方法技巧　当直线过x轴上的定点(a,0)时,一般将方程设为x=my+a; 当直线过y轴上的定点(0,b)时,一般将方程设为y=kx+b. 1 学科网（北京）股份有限公司 $