重难点专训02 三角恒等变换与求值七大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型突破-分层训练”构建三角恒等变换全体系，7大方法口诀化提炼，7类题型梯度设计，适配一轮复习系统性突破需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法|7种核心方法|角的配凑、辅助角φ速判等7法，含适用场景与口诀|从基础变换技巧到综合应用，形成“技巧-题型-综合”递进链| |题型突破|7类题型+37道例题|给值求值、辅助角含参等，每题型配通法与变式|题型与方法一一对应，如给值求角对应范围讨论法| |分层训练|巩固15题+创新9题|涵盖上海期中/模拟/真题，重思维迁移|从基础应用到创新情境，培养运算能力与模型观念|

重难点专训02 三角恒等变换与求值 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 给值求值 2 题型2 给值求角 3 题型3 三角恒等式化简与证明 4 题型4 辅助角公式的含参应用 5 题型5 齐次式处理与"1"的代换 6 题型6 三角恒等变换与函数性质综合 6 题型7 三角恒等变换与解三角形综合 8 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 方法1：给值求值的"角的配凑"技巧 【适用场景】 已知某些角（如α+β、α-β、2α等）的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值。核心思想是"不单独求α、β，而是把目标角整体表示为已知角的组合"。 【一句话口诀】不求单角求关系，和差倍半整体替，符号先定再代入。 方法2：辅助角公式的φ速判法 【适用场景】 遇到 asinα+bcosα 型表达式需要化简、求最值、求周期、求单调区间时。辅助角公式是三角恒等变换中使用频率最高的工具。 【一句话口诀】提取根号定振幅，a正b正φ一象，a负b正φ二象，符号先看再算tan。 方法3：齐次式"弦化切"套路 【适用场景】 表达式为分子分母都是sinα、cosα的同次多项式（分式齐次式），或已知tanα的值求含sin/cos的表达式的值。核心是将弦统一为切，减少变量个数。 【一句话口诀】齐次识别看次数，分子分母同除cos，非齐先补1再除，切代弦值一步出。 方法4："1"的代换常用形式 【适用场景】 表达式中出现常数"1"，或需要构造齐次式、需要因式分解、需要化简含1±sinα±cosα的分式时。"1"的代换是三角恒等变换中最灵活的技巧。 【一句话口诀】1有千面最灵活，sin²加cos²最常用，半角代化简分式，tan45度藏和角。 方法5：降幂升幂选择策略 【适用场景】 表达式中出现sin²α、cos²α（二次三角式），需要求函数周期、最值、单调区间时用降幂；出现根号下含三角函数、或需要配方因式分解时用升幂（二倍角公式逆向使用）。 【一句话口诀】求性质就降幂，去根号就升幂，正减余加记降幂，升幂半角配平方。 方法6：给值求角的范围讨论法 【适用场景】 已知某些角的三角函数值，求角的大小（给值求角），或判断三角形解的个数、判断角的范围。核心是"先缩范围，再定角"，避免多解或漏解。 【一句话口诀】给值求角先缩圈，特殊角比大小，单调函数选cos，范围之内唯一解。 方法7：恒等变换与函数性质综合处理流程 【适用场景】 解答题中给出三角多项式函数（含sinx、cosx、sin²x、cos²x、sinxcosx等），求最小正周期、最大值/最小值、单调递增/递减区间、对称轴、对称中心等。这是上海高考解答题的高频压轴形式。 【一句话口诀】降幂辅助标准式，周期最值一眼知，单调区间整体换，参数分类验端点。 题型通法及变式提升 题型1 给值求值 给值求值的核心是"角的配凑"：将目标角表示为已知角的和、差、倍、半关系，再代入公式计算。 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，均为锐角，，，的值为_______． 2．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则________ 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知为锐角,若，则 _____. 4．已知，，，则______． 5．已知， (1)求的值； (2)求的值. 题型2 给值求角 给值求角三步走：①求目标角的某三角函数值；②根据已知条件确定目标角的范围（尽可能缩小）；③在该范围内由三角函数值确定角。 6．若为锐角，，则角__________. 7.设，，且，则_____________． 8．若，，并且，，且，则的值为______. 9.已知，且满足，则___________． 10．已知，，，，则__________． 11.若，且，则的值为___________. 题型3 三角恒等式化简与证明 化简证明的常用策略：①从复杂端向简单端推导；②切割化弦统一函数名；③"1"的代换构造齐次式；④和差化积/积化和差处理和差与乘积的互化；⑤分析法（从结论出发找等价条件）。证明题要求每一步变形都有公式依据，不能跳步。 12．在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．若中，、是方程的两个根，则___________． 14．在中，若，则角的取值范围是_________. 15．已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为__________. 16．（1）求证： （2）在中，求证： 17．在中，求证： （1）；     （2）. 题型4 辅助角公式的含参应用 辅助角公式是三角恒等变换中最重要的工具，常用于求函数最值、周期、单调区间。含参问题需注意：①参数a, b的符号影响φ的象限；②当参数为0时需单独讨论；③求闭区间上的最值需检查端点和极值点。 18．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 20．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 21．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 22．（25-26高三上·上海·期末）关于的方程在上有实数解，求的取值范围. 题型5 齐次式处理与"1"的代换 齐次式是三角求值中的高频结构。一次齐次式如asinα+bcosα用辅助角公式；二次齐次式如asin²α+bsinαcosα+ccos²α可除以cos²α转化为tan²α的表达式，或用降幂公式转化为二倍角。分式齐次式分子分母同除以cos的最高次幂。 23．已知，则__________. 24．已知，则＝______ 25．已知，则______． 26．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 题型6 三角恒等变换与函数性质综合 标准解题流程：①利用恒等变换（降幂、二倍角、辅助角）将函数化为Asin(ωx+φ)+B的标准形式；②根据标准形式求周期、最值、单调区间、对称轴等；③若含参数，需分类讨论。 27．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，，，若． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 28．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知函数，其中 . (1)若，求的值； (2)若方程在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围及的值. 29．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 30．（2025·上海静安·一模）已知函数(). (1)将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位； (2)若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域. 31．（25-26高三上·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期与值域； (2)若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的最大值. 题型7 三角恒等变换与解三角形综合 在解三角形问题中，三角恒等变换常用于：①利用内角和A+B+C=π进行角的转化（如sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC）；②将边的关系通过正弦定理/余弦定理转化为角的关系后，用恒等变换化简；③求三角形面积或角的大小时，需结合恒等变换求三角函数值。 32．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)写出函数的极大值点构成的集合，以及内所有的严格增区间； (2)在中角所对的边分别是若，且，求的周长． 33．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 34．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当函数的最小正周期为时，求的增区间； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值． 35．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 36．（25-26高三上·上海·阶段检测）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 37．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知在中，角、、的对边分别为、、，若且. (1)求角、、的大小； (2)设函数，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·上海·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D．以上都不是 2．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高三上·上海·期末）已知，则______． 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，则___________． 5．（25-26高三上·上海·期末）已知的最小正周期为，则__________． 6．（26-27高三上·上海·开学考试）在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 7.已知，. （1）当时，的值域为__________； （2）当时，的值域为__________. 8．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及单调减区间. (2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 9．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，. (1)求的最小正周期和极大值点； (2)已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，求边上的高的最大值. 11．（2025·上海奉贤·一模）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)在中，角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求． 12．（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 13.已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 14.已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的值． 15．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 创新提升 1．（25-26高三上·上海青浦·期末）对于实数，定义集合，集合的元素个数为，给出下列说法： ①存在，使得；②存在，使得；③存在，使得；④存在，使得. 其中正确的说法有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 3．（2025·上海浦东新·模拟预测）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里） 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为，则当该水渠的修建成本最低时的值为__________. 6．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 7．（2026高三下·上海·竞赛）在圆内接六边形中，，则圆的半径为_________． 8.已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为__________. 9．（26-27高三上·上海·开学考试）定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． (1)请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； (2)求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； (3)若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 三角恒等变换与求值 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 给值求值 2 题型2 给值求角 5 题型3 三角恒等式化简与证明 8 题型4 辅助角公式的含参应用 11 题型5 齐次式处理与"1"的代换 14 题型6 三角恒等变换与函数性质综合 16 题型7 三角恒等变换与解三角形综合 19 重难专题分层过关练 24 巩固过关 24 创新提升 33 解题方法及技巧提炼 方法1：给值求值的"角的配凑"技巧 【适用场景】 已知某些角（如α+β、α-β、2α等）的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值。核心思想是"不单独求α、β，而是把目标角整体表示为已知角的组合"。 【一句话口诀】不求单角求关系，和差倍半整体替，符号先定再代入。 方法2：辅助角公式的φ速判法 【适用场景】 遇到 asinα+bcosα 型表达式需要化简、求最值、求周期、求单调区间时。辅助角公式是三角恒等变换中使用频率最高的工具。 【一句话口诀】提取根号定振幅，a正b正φ一象，a负b正φ二象，符号先看再算tan。 方法3：齐次式"弦化切"套路 【适用场景】 表达式为分子分母都是sinα、cosα的同次多项式（分式齐次式），或已知tanα的值求含sin/cos的表达式的值。核心是将弦统一为切，减少变量个数。 【一句话口诀】齐次识别看次数，分子分母同除cos，非齐先补1再除，切代弦值一步出。 方法4："1"的代换常用形式 【适用场景】 表达式中出现常数"1"，或需要构造齐次式、需要因式分解、需要化简含1±sinα±cosα的分式时。"1"的代换是三角恒等变换中最灵活的技巧。 【一句话口诀】1有千面最灵活，sin²加cos²最常用，半角代化简分式，tan45度藏和角。 方法5：降幂升幂选择策略 【适用场景】 表达式中出现sin²α、cos²α（二次三角式），需要求函数周期、最值、单调区间时用降幂；出现根号下含三角函数、或需要配方因式分解时用升幂（二倍角公式逆向使用）。 【一句话口诀】求性质就降幂，去根号就升幂，正减余加记降幂，升幂半角配平方。 方法6：给值求角的范围讨论法 【适用场景】 已知某些角的三角函数值，求角的大小（给值求角），或判断三角形解的个数、判断角的范围。核心是"先缩范围，再定角"，避免多解或漏解。 【一句话口诀】给值求角先缩圈，特殊角比大小，单调函数选cos，范围之内唯一解。 方法7：恒等变换与函数性质综合处理流程 【适用场景】 解答题中给出三角多项式函数（含sinx、cosx、sin²x、cos²x、sinxcosx等），求最小正周期、最大值/最小值、单调递增/递减区间、对称轴、对称中心等。这是上海高考解答题的高频压轴形式。 【一句话口诀】降幂辅助标准式，周期最值一眼知，单调区间整体换，参数分类验端点。 题型通法及变式提升 题型1 给值求值 给值求值的核心是"角的配凑"：将目标角表示为已知角的和、差、倍、半关系，再代入公式计算。 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，均为锐角，，，的值为_______． 【答案】 【详解】因为为锐角，且，则； 又因为，均为锐角，则，则； 因为，则； 故 ； 2．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则________ 【答案】 【详解】因为， ， 所以， 所以. 故答案为： 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知为锐角,若，则 _____. 【答案】 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 ， ， 所以. 故答案为： 4．已知，，，则______． 【答案】 【详解】因为，且，所以， 由，得，又，所以， 因为，所以， 所以 ． 5．已知， (1)求的值； (2)求的值. 【详解】（1），由和， 解得，. ，由，得. 则. （2），则. . 题型2 给值求角 给值求角三步走：①求目标角的某三角函数值；②根据已知条件确定目标角的范围（尽可能缩小）；③在该范围内由三角函数值确定角。 6．若为锐角，，则角__________. 【答案】 【详解】由于为锐角，所以， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为： 7.设，，且，则_____________． 【答案】 【详解】将代入已知等式得，交叉相乘并移项整理， 即. 由诱导公式可得 . 已知，因此，. 由于正弦函数在区间上单调递增，若两个角的正弦值相等，则两角相等， 即 ，移项得. 8．若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】 【详解】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 9.已知，且满足，则___________． 【答案】 【详解】根据题意，， 因为，则， 所以，则. 故答案为： 10．已知，，，，则__________． 【答案】 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则， 则 ， ， 则. 故答案为：. 11.若，且，则的值为___________. 【答案】或 【详解】由题意知， 则， 即， 当时，，即， 由，得； 当时，， 所以，即， 由，得，所以，得. 故答案为：或 题型3 三角恒等式化简与证明 化简证明的常用策略：①从复杂端向简单端推导；②切割化弦统一函数名；③"1"的代换构造齐次式；④和差化积/积化和差处理和差与乘积的互化；⑤分析法（从结论出发找等价条件）。证明题要求每一步变形都有公式依据，不能跳步。 12．在非等边斜三角形中，为的外接圆半径，为的面积，下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，因为sinsin（）＝cos， 若cosA＝sin，则可得2cos2cos1＝0，解得cos1，或， 因为A∈（0，π），可得∈（0，），可得cos∈（0，1），故错误； 对于B，SabsinC•2RsinA•2RsinB•sinC＝2R2sinAsinBsinC，故错误； 对于C，因为△ABC为非直角三角形，所以tanA＝﹣tan（B+C）， 则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故正确； 对于D，若，则，即tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，由于△ABC为非等边斜三角形，故错误． 故选：C． 13．若中，、是方程的两个根，则___________． 【答案】 【详解】因为、是方程的两个根， 由韦达定理可得，； 因为中，； 故， 故； ． 14．在中，若，则角的取值范围是_________. 【答案】 【详解】，则均为锐角， 若，不妨设，则，则， 即，从而，与矛盾， 所以，由得， 所以， 又因为， 则， 所以，，，所以. 故答案为：. 15．已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】 .又， 则. 又注意到，则. 如图，过C点做AB垂线CE，则，又过B点做AB垂线BD，使， 过C做AB平行线，交DB为F，易得四边形CEBF为矩形，则， 从而，则为等腰三角形，则，则由图结合三角形三边关系可得， 则，则. 因， 则构造函数，因在上单调递减，则. 则，则最小值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题涉及的一些常见恒等式： ， . 16．（1）求证： （2）在中，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）证明：因为， 所以 . （2）在中，因为， 所以，即. 17．在中，求证： （1）；     （2）. 【答案】（1）证明： . （2）证明： 由正弦定理，得，，. ∴ . 原命题得证. 题型4 辅助角公式的含参应用 辅助角公式是三角恒等变换中最重要的工具，常用于求函数最值、周期、单调区间。含参问题需注意：①参数a, b的符号影响φ的象限；②当参数为0时需单独讨论；③求闭区间上的最值需检查端点和极值点。 18．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由，. 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即. 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即的取值范围为：. 19．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图像关于y轴对称，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将利用辅助角公式化为，利用函数的图像关于y轴对称，得到，计算求解. 【详解】，， 的图像关于y轴对称， ，， 当时，. 故选：B. 20．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数在区间上有且仅有1个零点，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当时，， 令，则， 则有，解得， 故t的取值范围为. 故选：A. 21．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 22．（25-26高三上·上海·期末）关于的方程在上有实数解，求的取值范围. 【答案】 【详解】其中为锐角，且 于是， 由于，故，故，因此的最大值为1，的最小值为 故， . 题型5 齐次式处理与"1"的代换 齐次式是三角求值中的高频结构。一次齐次式如asinα+bcosα用辅助角公式；二次齐次式如asin²α+bsinαcosα+ccos²α可除以cos²α转化为tan²α的表达式，或用降幂公式转化为二倍角。分式齐次式分子分母同除以cos的最高次幂。 23．已知，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以. 24．已知，则＝______ 【答案】 【详解】 ． 故答案为：． 25．已知，则______． 【答案】 【详解】由， 可得：， ， 故答案为： 26．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】 【详解】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， . 题型6 三角恒等变换与函数性质综合 标准解题流程：①利用恒等变换（降幂、二倍角、辅助角）将函数化为Asin(ωx+φ)+B的标准形式；②根据标准形式求周期、最值、单调区间、对称轴等；③若含参数，需分类讨论。 27．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，，，若． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【详解】（1）由题意得 ， 由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足， 化简得， 即的单调递增区间为，. （2）因为，所以， 在该区间内，， 故. 28．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知函数，其中 . (1)若，求的值； (2)若方程在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围及的值. 【详解】（1） ， ，， 所以，，可得， 所以， 则 （2）因为，，令， 函数与直线在区间上恰有两个不同的零点， 在区间的图象特征： 函数与直线恰有两个不同的交点，所以， 即在区间和各有一个交点，且关于对称， ，即，可得. 29．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 30．（2025·上海静安·一模）已知函数(). (1)将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位； (2)若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域. 【详解】（1）， 这个函数的振幅为2，初始相位为. （2）由的最小正周期为，且 ，故. 函数的值域为. 31．（25-26高三上·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期与值域； (2)若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的最大值. 【详解】（1）， 则函数的最小正周期为，值域为； （2）由题可得, 所以，则， 由于，所以或； 又直线是曲线的一条对称轴， 所以，则， 由于，所以或； 故的最大值为. 题型7 三角恒等变换与解三角形综合 在解三角形问题中，三角恒等变换常用于：①利用内角和A+B+C=π进行角的转化（如sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC）；②将边的关系通过正弦定理/余弦定理转化为角的关系后，用恒等变换化简；③求三角形面积或角的大小时，需结合恒等变换求三角函数值。 32．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)写出函数的极大值点构成的集合，以及内所有的严格增区间； (2)在中角所对的边分别是若，且，求的周长． 【详解】（1）已知函数， 由，可得： 由辅助角公式可得：， 极大值点满足，解得， 故极大值点构成的集合为， 严格增区间由得，在内， 取得，取得，故严格增区间为和， （2）由得，结合解得， 由得，即，所以，又， 即或， 由余弦定理，得， 故三角形周长为. 33．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知函数 . (1)若函数的最小正周期为，求在的值域； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角满足 ，，求的最小值. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以， 则 ， 由，则，所以， 则，即在的值域为； （2）当时，， 所以，所以， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 34．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当函数的最小正周期为时，求的增区间； (2)若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值． 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 令， 则， 即函数的单调递增区间为. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得． 因为，所以， 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时取等号， 故a的最小值为． 35．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知. (1)若将函数的图象向左平移得到函数的图象，求函数的解析式，并求出函数的零点； (2)在中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值. 【详解】（1）因为 ， 将函数图象向左平移得到， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）因为，所以， 又，所以，所以，所以， 又，由余弦定理， 即，所以，当且仅当时取等号，即， 所以， 即当且仅当时，的面积取得最大值为. 36．（25-26高三上·上海·阶段检测）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为7米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．    (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．求面积的最大值． 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）设，由， 故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 37．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知在中，角、、的对边分别为、、，若且. (1)求角、、的大小； (2)设函数，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离． 【详解】（1）由题设及正弦定理知，化简得， 或，即或， 当时，有，因为不为0， 则，得，； 当时，有，不符题设， ，． （2）由（1）及题设知， 当时，为减函数， 即的单调递减区间为， 它的相邻两对称轴间的距离为． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·上海·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】C 且 ， 所以函数单调递增区间是. 故选：C 2．（2025·上海嘉定·二模）已知关于x的不等式在区间内有k个整数解，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题设，显然， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以，整数解有，共5个整数解. 故选：C 3．（25-26高三上·上海·期末）已知，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 所以，所以. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·期末）已知的最小正周期为，则__________． 【答案】 【详解】依题意得， 已知最小正周期， 代入周期公式得：，解得. 故答案为：. 6．（26-27高三上·上海·开学考试）在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由，且，得. 所以，所以. 由正弦定理，得. 因为是锐角三角形，所以，即. 所以，所以，， 即的取值范围为. 7.已知，. （1）当时，的值域为__________； （2）当时，的值域为__________. 【详解】（1）当时， 设，则， 则， 所以当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为； 所以函数的值域为； （2）当时，，， 则， 又函数，，在分别单调递减， 所以在单调递减， 又，， 所以在内有解， 令，即，且， 设， 则方程可转化为， 即， 将方程两侧平方可得， 化简可得，即， 由知，所以由上式解得， 即，，， 且当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以在处取得最大值为， 又，， 所以函数的最小值为， 即函数的值域为； 故答案为：，； 8．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及单调减区间. (2)求函数，的最大值，并求出取得最大值时的值. 【详解】（1）函数的最小正周期， 由，得， 所以函数单调减区间为. （2）依题意， 所以， 由，得，则当，即时，函数取得最大值2， 所以最大值为2，此时. 9．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)在中，，若的平分线交于，求的长. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）因为，则，即，所以， 解得，又，所以，又的平分线交于，， 由，即， 得到，解得. 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，. (1)求的最小正周期和极大值点； (2)已知锐角的内角、、的对边分别为、、，且，，求边上的高的最大值. 【详解】（1）由已知，最小正周期为. 当，时，即，时，函数单调递减； 当，时，即，时，函数单调递增； 所以函数的极大值点为，. （2）由得，而，故，. 由余弦定理可知：，故. 设边上的高为，所以有，故. 而，故，所以，当时，取等号. 所以，因此边上的高的最大值. 11．（2025·上海奉贤·一模）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)在中，角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求． 【详解】（1）， 当时，， 则，即的值域为； （2），则，即， 又，故或； 若，由，则 ， 由正弦定理，可得； 若，由，则 ， 由正弦定理，可得. 综上，或. 12．（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【详解】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 13.已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 14.已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求的值． 【详解】（1）已知，， 化简得：， 整理得：，， 又，， 所以，函数的值域为． （2）由得，， 由余弦定理得：， 又，，即， ，即， ． 15．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 创新提升 1．（25-26高三上·上海青浦·期末）对于实数，定义集合，集合的元素个数为，给出下列说法： ①存在，使得； ②存在，使得； ③存在，使得； ④存在，使得. 其中正确的说法有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，，所以， 所以或； 当时， ，此时， 所以存在，使得，故②正确； 当时， 或，此时， 所以存在，使得，故③正确； 当且时，不妨取， 此时或， 则或， 所以或，此时，即存在，使得，故④正确， 综上，无论m在上取任何实数，都不可能只有一个解，故①错误. 故选：C 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由，得，显然， 在中，，而，则， 由正弦定理，得，由三角形有且仅有两个， 得，则，所以边的取值范围是. 3．（2025·上海浦东新·模拟预测）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长为，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 【答案】 【详解】如图所示，过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，， 由题意，， 因为为得中点，所以，又，所以，， 又，， 由正弦定理得，所以， 又，所以， ， 所以， 所以, 所以阴影部分面积为. 故答案为： 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里） 【答案】 【详解】由题意：. 设，则. 在中，即. 在中，. 在中，，即. 将以上三式相乘，得：， 从而有：， 所以：. 所以. 在中，，, 所以. 在中，. 故答案为： 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面.已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为，则当该水渠的修建成本最低时的值为__________. 【答案】 【详解】作出横截面如下图所示，其中，则， ，， 又梯形的面积， ， 设，则， 若取最小值，则取得最小值； 表示点与点连线的斜率， 的轨迹为， 可作出图象如下图所示， 则当过点的直线与为相切时，取得最小值， 设切线方程为：，即， 到切线距离，解得：， 即当时，取得最小值，此时，则， 即当时，该水渠的修建成本最低. 6．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 【答案】 【详解】由题意可知四边形需完全在探照灯照明范围内，所以四边形的四个顶点都在以A为顶点、夹角为α的角的内部， 当其中两条跑道恰好落在探照灯的光沿边上时，四边形跑道的周长可取到最大值； 如图：不妨设四边形跑道为,设,则， 由正弦定理可得, 在三角形中，由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 在中， , 由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 故四边形的周长， 所以四边形跑到周长的最大值为米. 7．（2026高三下·上海·竞赛）在圆内接六边形中，，则圆的半径为_________． 【答案】 【详解】因为，相等弦对应圆心角相等， 设，，对应的圆心角为，，，对应的圆心角为， 可得， 得． 设圆内接六边形的外接圆的半径为， 则，可得， ，可得， 由， 展开得， 两边乘以代入得， 整理得， 对上式两边平方，可得， 由， 即有， 化为，解得，因此外接圆半径为． 8.已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】解法一：明确集合A，B的几何意义，数形结合，根据几何意义即可求得参数范围. 解法二：先证明不属于的复数，恰好是那些区间上的实数，再利用该结论得到取值范围. 【详解】解法一：由于，设， 则 ， 设z对应点，则， 所以，其中， 当时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集， 即平面上除去线段的点的集合，其中， 集合表示复平面上的圆，圆心为，半径为a， 如果，则该圆与线段无公共点， 结合图形可知的取值范围为； 解法二： 先证明：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 下设是复数. ①情况一：不是实数，也不是纯虚数. 设，，并令，. 则对，有，即. 假设，则，矛盾，所以，从而. 又因为， 所以. 此时，假设：由于， 故. 同理，根据可以得到. 对和相加和相减， 就能得到，. 若假设，则，从而或， 这和情况一的定义矛盾，所以. 若假设，则，从而，这和情况一的定义矛盾，所以. 这就得到，所以，所以， 即. 这就得到. 所以或，无论哪种情况都能得到是实数，故可设. 若，则，得是实数，这和情况一的定义矛盾. 若，则，得是纯虚数，这和情况一的定义矛盾. 故前面的假设不成立，所以结合可知， 一定存在使得，结合可知. ②情况二：是纯虚数. 此时设，则满足， 且 . 故. ③情况三：是实数，且. 此时满足， 且，故. ④情况四：是实数，且. 此时满足， 且，故. ⑤情况五：是实数，且. 假设，则存在复数使得，且，设. 则. 从而，，而由可知， 所以，故. 这就得到，矛盾. 所以假设不成立，从而. 综合上面五种情况，就得到了结论：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 现在回到原题，结合上面的结论，条件等价于中包含的每个实数都不属于. 一方面，若中包含一个实数，满足. 则，，从而. 另一方面，若，则实数满足，. 故中包含一个实数，满足. 这就说明，中包含一个实数满足的充要条件是. 所以的取值范围是. 故答案为：. 9．（26-27高三上·上海·开学考试）定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． (1)请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； (2)求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； (3)若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 【详解】（1）在区间上的最大值为，最小值为， 在区间上的最大值为，最小值为， 所以的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0． （2）假设在区间上有最大值，最小值，存在，使得， 则：， 又只与有关，则  解得：， 这与定义域为矛盾, ∴ 不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关． （3）由题意可得：，即， 设在区间上的最小值为，最大值为，设与的“最值距”分别为， 则的最小值为0，最大值为， ①如果在区间上变号，即， 若，则，解得：， ∵，则，则，这与矛盾，舍去； 同理，若，可得，这与矛盾，舍去； ②如果在区间上恒正，即， 此时，解得：； ③如果在区间上恒负，即， 此时，解得：； 综上：在区间上的“中值”为2或. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $