第五单元 用字母表示数和数量关系（单元考点梳理讲义）-2026-2027学年五年级数学上册（人教版-新教材）

该小学数学五年级上册第五单元复习讲义通过考点导图和表格系统梳理知识体系，将用字母表示数、数量关系等六大考点按“概念-规则-应用”递进组织，用表格归纳三类基础数量关系和运算定律，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“典例精讲+变式训练”的分层设计，如百数表九宫格问题引导学生用字母表示规律，培养推理意识和抽象能力，解答题结合骑行路程等生活情境发展模型意识。基础题巩固书写规则，提升题探究规律，助力不同学生进阶，为教师精准教学提供支持。

人教版五年级数学上册单元考点梳理讲义（新教材） 第五单元 用字母表示数和数量关系 目 录 第一部分 考点导图 第二部分 知识考点 第三部分 典例精讲 第四部分 变式训练 考点一：用字母表示数 1．用字母表示数的意义：在数学中，我们可以用字母（如a,b,c,x,y等）来表示数。用字母可以表示任意数、特定的未知数，也可以表示数量关系、运算定律和计算公式。用字母表达更简洁、更具有概括性，是代数学习的基础。 2．书写规则 （1）当数与字母相乘时，乘号可以省略不写，数字写前面。（例如：a×3=3a） （2）当1与字母相乘，1省略不写。（例如：1×x=x） （3）当字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“· ”表示。（例如：a×b=ab） （4）当两个相同的字母相乘时，可以省略乘号，写成这个字母的平方。（例如：a×a=a2，读作a的平方，表示2个a相乘） 【易错点】 （1）加号、减号、除号不能省略。 （2）注意区分a2和2a：a2=a×a；2a=a+a=a×2。 （3）取值范围：字母表示的数要符合实际意义（人数、长度不能为负数、小数）。 考点二：用字母表示数量关系 1．三类基础数量关系式 （1）路程问题： 路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度 （2）价格问题： 总价=单价×数量；单价=总价÷数量；数量=总价÷单价 （3）工作问题： 工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间； 工作时间=工作总量÷工作效率 2．常见数量关系 文字描述 关系类型 字母表达式示例 加法关系 比x多a的数 x+a 减法关系 比x少a的数 x－a 倍数关系 x的a倍 ax 逆倍数 x是某数的a倍，求某数 x÷a 3．解题要点：找准标准量，理清加、减、倍的关系，规范书写含字母式子。 考点三：用字母表示运算定律及计算公式 1．运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 2．平面图形公式 长方形周长：C=2(a+b) 长方形面积：S=ab 正方形周长：C=4a 正方形面积：S=a2 考点四：含有字母式子的化简与求值 1. 化简方法（合并同类项）：只有相同字母的项才能合并，数字相加减，字母不变 2. 代入求值步骤 （1）化简：只合并同类项（字母完全相同），系数相加减，字母保留； （2）求值步骤：①写原式；②代入数字（数字相乘补回乘号）；③分步计算； （3）有平方、括号优先算平方、括号内。 （4）化简通用公式ax±bx=(a±b)x。 【易错点】 （1）代入数字时，数字相乘必须写×，不能省略； （2）不同类字母不能合并； （3）求值结果不带字母，是具体数字。 考点五：用含有字母的式子表示规律 1．解题思路：先列举几组数据，找出变化规律；用字母代表序号，写出通用式子。 2．常见题型：摆小棒、点阵、图形拼接。 3．方法技巧 （1）列表写出1个、2个、3个对应数量； （2）找出固定不变数、每次增加的相同数； （3）规律结构：总数量=每次增加量×字母n+固定余数； （4）代入n验证前几组，检验式子是否正确。 【易错点】 （1）n代表序数，只能取1、2、3……正整数； （2）写出式子后必须带回题目数字验算，避免规律找反； （3）区分“增加几”和“倍数关系”两种规律。 考点六：利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加/减同一个数，等式仍然成立。 若a=b，则：①a＋c=b＋c；②a－c=b－c。 （2）性质2：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若a=b，则：①ac=bc；②a÷c=b÷c（c≠0）。 2．方法技巧 （1）根据题目数量关系列出含未知数x的等式，利用等式性质解方程，求出未知量 （2）目标：把左边化简为单独x，右边算出数值； （3）解完代入原式检验左右是否相等。 3．等式变形通用公式 （1）若x+a=b，则x=b−a； （2）若x−a=b，则x=b+a； （3）若ax=b，则x=b÷a（a≠0）； （4）若x÷a=b，则x=ab。 【易错点】 （1）等式两边必须同步运算，不能只算一边； （2）除数不能为0； （3）求未知数时每一步等号对齐； （4）应用题解出x后，完整写答句。 【典例题型1】 用字母表示数量关系（1个未知数） 1．学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 【答案】 足球的个数 篮球的个数 4x 2x－10 【分析】已知排球有x个，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。根据已知信息逐项分析。 【详解】排球的个数比足球多10个，也就是足球比排球少10个，所以x－10就代表足球的数量。 篮球的个数是排球的3倍，排球总数是x，那么3乘x也就是3x，代表的就是篮球的数量。 排球是x个，篮球是3x个，两者相加x＋3x＝4x，就是篮球和排球的总个数。 排球是x个，足球是x－10个，两者相加x＋（x－10）＝x＋x－10＝2x－10，就是排球和足球的总个数。 【练习】1．如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐( )人。 【答案】 6 4n＋2 【分析】我们还能把人数拆分来看：不管多少张桌子并起来，左右两端总共固定坐2人，剩下的人是每张桌子对应坐4人。 【详解】现在算26人需要的桌子数：先把两端固定的2人去掉，剩下26−2＝24（人）， 每张桌子对应安排4人，需要的桌子数就是24÷4＝6（张）。 每多并1张桌子，就多坐4个人。所以n张桌子能坐的人数就是4×n＋2＝（4n＋2）人。 【典例题型2】用字母表示运算定律及计算公式 1．23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为( )。 【答案】100a＋10b＋c 【分析】23中，2在十位，代表2个10，也就是10×2；3在个位，代表3个1，直接写3。以此类推即可。 【详解】三位数的百位上的数字a，代表a个100，也就是100×a；十位上的数字b代表b个10，也就是10×b；个位上的数字c代表c个1，把三部分加起来，这个三位数就可以表示成100a＋10b＋c。 【练习】1．一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方米。 【答案】 2a＋2b ab b 【分析】根据长方形周长计算公式：2×（长＋宽），面积计算公式：长×宽，将长是a米、宽是b米分别代入公式列出式子即可； 从这个长方形上剪下最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽，也就是b米；再根据正方形的面积计算公式：边长乘边长列出式子即可。 【详解】长方形的周长：2×（长＋宽）＝2×（a＋b）＝2a＋2b（米） 长方形的面积：长×宽＝ab（平方米） 正方形的面积：边长×边长＝b×b＝b2（平方米） 【典例题型3】  含有字母式子的化简与求值 1．在百数表中任意圈出一个九宫格，请找出规律并回答下列问题。 (1)如果设九宫格正中间的数为，那么请用含的式子分别表示九宫格内左上角、右上角、左下角和右下角的四个数。 (2)计算九宫格内四个顶角上的数之和，并说明这个和与正中间的数的数量关系。 (3)若九宫格内的九个数的和为360，求九宫格正中间的数。 【答案】(1)左上角：；右上角：；左下角：；右下角： (2)四个顶角上的数之和是正中间的数的4倍。 (3)40 【分析】（1）百数表中，九宫格内上面的数比正中间的数少10，下面的数比正中间的数多10，左边的数比正中间的数少1，右边的数比正中间的数多1，左上角的数比正中间的数少11，右上角的数比正中间的数少9，左下角的数比正中间的数多9，右下角的数比正中间的数多11；据此解答即可； （2）将四个顶角的表达式加起来即可； （3）将九宫格中九个数的表达式加起来，和为360，求出m的值即可。 【详解】（1）左上角：；右上角：；左下角：；右下角： （2）四个顶角上的数相加： 所以四个顶角上的数之和是正中间的数的4倍。 （3）九宫格内的九个数分别是，，，，，，，， 所以，因数＝积÷另一个因数，因此 【练习】1．琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 (1)琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） (2)这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 【答案】(1)（30a＋90）个 (2)4小时 【分析】（1）一天生产的总时间＝上午生产的时间＋下午生产的时间；一天生产的数量＝平均每小时生产的数量×一天生产的总时间。 （2）一天生产的总时间＝一天生产的数量÷平均每小时生产的数量；上午生产的时间＝一天生产的总时间－下午生产的时间。 【详解】（1）30×（a＋3） ＝30×a＋30×3 ＝（30a＋90）个 答：琼韵工厂一天可生产椰雕（30a＋90）个。 （2）210÷30－3 ＝7－3 ＝4（小时） 答：a表示的是4小时。 【典例题型4】 等式的认识及列等量关系式 1．看图列关系式。 _______＝_______ 【答案】 4x 96 【分析】先观察线段图的数量关系：首先识别图中的元素，上方的1个粉色方块标注长度为厘米，下方的4个和上方完全等长的粉色方块拼接后，总长度标注为96厘米。下方的总长度是4个单段长度相加的和，也就是单段长度的4倍，对应总长度96厘米，由此可以搭建出等式关系。 【详解】从图中可知，每一小段的长度都是厘米，下方的总长度由4段完全相同的小段组成，总长度为96厘米，因此列得的关系式为：（答案不唯一）。 【练习】1．看图列关系式。 _______＝_______ 【答案】 【分析】首先观察天平状态，因为天平处于平衡状态，所以天平左右两侧的总质量相等，这是列等式的核心依据。分别计算天平左侧所有物品的质量之和，再表示出天平右侧所有物品的质量之和。根据左右两侧总质量相等的关系，列出对应的等式。 【详解】计算天平左侧总质量：左盘放置了两个砝码，分别是40克和60克，因此左盘总质量为（克）。 计算天平右侧总质量：右盘放置了标注质量为x克的未知物体，和一个30克的砝码，因此右盘总质量为克。 结合天平处于平衡状态的条件，左右两侧总质量相等，最终得到的关系式为： 因此：①填（或），②填（或）。 一、选择题 1．下面几组式子中，左右两边不相等的是（     ）。 A．m2和m×m B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】结合用字母表示数的书写规则、乘法的意义和乘法分配律，逐一判断每组式子是否相等即可。 【详解】A．m2表示2个m相乘，即m2＝m×m，二者相等。 B．字母和字母相乘时可以省略乘号，即，二者相等。 C．表示3个相加，即，二者相等。 D．根据乘法分配律，，，故左右两边不相等。 2．妍妍的爸爸今年b岁，妍妍今年（b－26）岁。10年后，爸爸（     ）岁，他们相差（     ）岁。 A．10，26 B．26，36 C．36，b＋10 D．b＋10，26 【答案】D 【分析】每人每年年龄增长1岁，10年后爸爸的年龄是今年年龄加10；两个人的年龄差始终不变，可直接用今年的年龄计算差值。 【详解】10年后爸爸的年龄：岁 今年两人的年龄差： （岁） 10年后年龄差不变，仍为26岁。 3．合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一共有（     ）人。 A．30－x B．30＋x C．60＋x D．60－x 【答案】C 【分析】女生有30人，女生比男生少x人，先求出男生人数是30＋x，再把男、女生人数相加求出合唱小组的总人数：30＋（30＋x）＝60＋x，逐个分析每个选项的含义。 【详解】A．30－x：这个式子表示比女生人数少x，和题中“女生比男生少x人”的数量关系完全相反，既不是男生人数，也不是总人数，错误。 B．30＋x：该算式仅仅计算出男生的人数，没有加上女生的人数，不能代表小组的总人数，错误。 C．60＋x：由女生30人加上男生（30＋x）人，计算得到的就是合唱小组全部的人数，正确。 D．60－x：这个式子不符合本题的数量推导，没有对应的实际意义，错误。 4．李老师买了4筒羽毛球，每筒12个，共花费a元，每个羽毛球（     ）元。 A．4×12÷a B．a÷（4×12） C．4a÷12 D．a÷4×12 【答案】B 【分析】先计算出羽毛球的总数量，再用总花费除以总数量，即可得到每个羽毛球的价格。 【详解】羽毛球总个数： 每个羽毛球价格： 5．下面选项中，能用式子表示的是（     ）。 A．线段总长度： B．线段总长度： C．长方形面积： D．长方形周长： 【答案】D 【分析】长方形周长等于长与宽和的2倍、面积等于长乘宽，据此列式整理再与题干比较，据此解答。 【详解】A．选项中线段的总长度表示为2＋m＋8整理后是m＋10与题干不符； B．选项中线段的总长度表示为m＋8＋8整理后是m＋16与题干不符； C．选项中长方形的面积表示为8×m整理后是8m与题干不符； D．选项中长方形的周长表示为（4＋m）×2整理后是2（m＋4），与题干相符。 6．下面哪一个不能用“2（a＋b）”表示结果？（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要分别分析每个选项所对应的数学表达式，看是否能表示为2（a＋b）。 梯形的面积公式为S＝（上底＋下底）×高÷2，此梯形上底是a，下底是b，高是4，据此计算其面积表达式，再与 2（a＋b）对比。 此组合图形是由两个长方形组成，每个长方形的长分别为a、b，宽都是2，根据长方形面积公式S＝长×宽，计算组合图形面积，再看是否符合 2（a＋b）。 长方形的周长公式为C＝（长＋宽）×2，此长方形长是a，宽是b，根据公式计算周长表达式，判断是否为 2（a＋b）。 已知女生a人，男生人数比女生的2倍还多b人，则先表示出男生人数，再计算合唱队总人数（女生人数＋男生人数），看是否等于2（a＋b）。 【详解】A．梯形面积S＝（上底＋下底）×4÷2＝2（a＋b），所以该选项能用2（a＋b）表示结果 。 B．2×a＋2×b＝2（a＋b），所以该选项能用2（a＋b）表示结果 。 C．长方形周长C＝（a＋b）×2＝2（a＋b），所以该选项能用2（a＋b）表示结果 。 D．男生人数为（2a＋b）人，那么合唱队总人数为a＋（2a＋b）＝3a＋b，与2（a＋b）＝2a＋2b不相等，所以该选项不能用2（a＋b）表示结果 。 故答案为：D 7．下面四个选项中，（     ）中两个式子的计算结果一定是相等的。 A．72和7×2 B．b×b和2b C．a＋a和2a D．c＋c和c2 【答案】C 【分析】根据平方的意义（两个相同的数相乘）和乘法的意义（求几个相同加数和的简便运算），逐一判断各选项两个式子的结果是否一定相等。 【详解】A．72＝7×7＝49，7×2＝14，49≠14，结果不相等。 B．b×b＝b2，2b＝b＋b，仅当b＝0或b＝2时二者相等，不是一定相等。 C．a＋a＝2×a＝2a，无论取何值，两个式子结果都相等。 D．c＋c＝2c，c2＝c×c，仅当c＝0或c＝2时二者相等，不是一定相等。 二、填空题 8．两个边长都是a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是( )。 【答案】6a 【分析】 如图，两个正方形拼成一个长方形，长方形的长＝正方形的边长×2，长方形的宽＝正方形的边长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，用字母表示出长方形周长即可。 【详解】长方形的长：a×2＝2a（厘米） 长方形的宽：a（厘米） 长方形的周长： （2a＋a）×2 ＝3a×2 ＝6a（厘米） 这个长方形的周长是6a厘米。 9．长方形的长是a，宽是b，面积用S表示。用字母表示出长方形的面积是( )。 【答案】S＝ab 【解析】略 10．已知比大15，用含有的式子表示，可以表示为( )；当时，的值为( )。 【答案】 / 30 【分析】求比一个数大多少的数，用加法表示；代入b的值进行求解。 【详解】a＝b＋15 当b＝15时，a＝15＋15＝30 11．小红和妈妈一起去超市购物。买了a千克苹果，每千克5元；又买了b千克香蕉，每千克4元。5a＋4b表示( )。 【答案】买苹果和香蕉共付多少元 【分析】根据总价＝单价×数量，5a表示买a千克苹果付的钱数；4b表示买b千克香蕉付的钱数，5a＋4b表示买苹果和香蕉共付多少元，据此解答。 【详解】根据分析可知，5a＋4b表示买苹果和香蕉共付多少元。 12．学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 【答案】 足球的个数 篮球的个数 4x 2x－10 【分析】已知排球有x个，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。根据已知信息逐项分析。 【详解】排球的个数比足球多10个，也就是足球比排球少10个，所以x－10就代表足球的数量。 篮球的个数是排球的3倍，排球总数是x，那么3乘x也就是3x，代表的就是篮球的数量。 排球是x个，篮球是3x个，两者相加x＋3x＝4x，就是篮球和排球的总个数。 排球是x个，足球是x－10个，两者相加x＋（x－10）＝x＋x－10＝2x－10，就是排球和足球的总个数。 13．已知亮亮家到学校的路程是600米。 (1)亮亮从家去学校，步行速度是60米/分，他t分钟走了( )米，此时距离学校还有( )米。（t小于或等于10） (2)亮亮从家去学校，走了n分钟到达，他的步行速度是( )米/分。 【答案】(1) 60t 600－60t (2) 【分析】（1）路程＝速度×时间，先用速度60米/分乘时间t，求出已经走的路程；再用总路程减去已经走的路程，求出剩下距离学校的路程。 （2）速度＝路程÷时间，总路程是600米，时间是n分钟，用路程除以时间得到步行速度。 【详解】（1）t分钟走了60t米 距离学校还有（600－60t）米 （2）步行速度是600÷n=（米/分） 14．用小棒按如下规律摆三角形。 (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 【答案】(1)2n＋1 (2)150 【分析】（1）摆第一个三角形需要3根小棒，之后每摆一个三角形，增加两根小棒；摆2个三角形需要3＋2×1根小棒，摆3个三角形需要3＋2×2根小棒，摆4个三角形需要3＋2×3根小棒，那么摆n个三角形需要3＋2×（n－1）根小棒，据此解答即可； （2）已知小棒总数为301根，根据我们找到的规律，总数是若干个2相加之后再加1得到的；那么我们可以先用总数也就是301减去1再除以2即可求出三角形的总个数。 【详解】（1）摆n个三角形需要的小棒数量为：3＋2×（n－1） ＝3＋2n－2×1 ＝3＋2n－2 ＝2n＋3－2 ＝（2n＋1）根 （2）（301－1）÷2 ＝300÷2 ＝150（个） 三、计算题 15．化简。                 【答案】；；； 【分析】第一题：逆用乘法分配律把字母前的数字进行相加。 第二题：先逆用乘法分配律把含有相同字母的式子进行相加，含不同字母的式子不能相加，所以写成式子的形式。 第三题：根据四则运算顺序，先算乘法部分，再算纯数字的加法，数字结果和带字母的项不能合并，所以写成式子的形式。 第四题：两个相同的数相乘可以简写成平方的形式，就是两个a相乘，写作；后面的是两个a相加，根据乘法的含义，2个a相加可以简写为；二者含义不同不能合并，所以写成式子的形式。 【详解】  16．先化简再求值。 当时，求的值。 【答案】；2 【分析】先将看成一个数，先算，得出，再算，这一步相当于逆用乘法分配律，先算（6－2），再与相乘，得出，据此化简。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】 当时 17．当a＝7，b＝15时，计算下面式子的值． 7a＋5       4b－2.7     3.5a＋3.5b     1.7a－0.1b 【答案】54　57.3　77　10.4 【解析】略 四、解答题 18．小明面对远处的山谷喊话，经过3.4秒听到回声，若空气中的声速为v米/秒，则他到山谷的距离是多少？ 【答案】（3.4÷2×v）米 【分析】小明喊话后，声音先从他的位置传到山谷，再从山谷反射回来传到小明耳朵，走的是两段相等的路程，总用时3.4秒，所以声音单程（从小明到山谷）的用时是（3.4÷2）秒。根据“路程＝速度×时间”，他到山谷的距离就是（3.4÷2）乘声速v；据此解决。 【详解】声音单程（从小明到山谷）的用时是：（3.4÷2）秒， 他到山谷的距离是：（3.4÷2×v）米， 答：他到山谷的距离是（3.4÷2×v）米。 19．为践行低碳出行理念，李老师每天骑自行车上、下班。 (1)若用表示骑行速度，t表示骑行时间，表示骑行路程，请用字母表示求骑行速度的数量关系式。 (2)如果李老师某次骑行路程为3300米，用时15分钟，利用上面的式子求出骑行的速度。 【答案】(1) (2)220米/分 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”的数量关系，用对应字母替换得到速度的字母表达式； （2）将已知的路程和时间数值代入表达式，计算出速度。 【详解】（1）根据分析，解答如下： 答：求骑行速度的数量关系式为。 （2）根据分析，解答如下： （米/分） 答：骑行的速度是220米/分。 20．4月23日是“世界读书日”，学校开展了“图书漂流”活动。丽丽看一本书，每天看10页，天可以全部看完。 (1)用含有字母的式子表示这本书的总页数。 (2)当时，求这本书的总页数。 【答案】(1)页 (2)60页 【分析】（1）这本书的总页数＝每天看的页数×看完的天数，数字和字母相乘时中间的乘号可以省略并把数字写在字母的前面； （2）把m＝6代入含有字母的式子即可求出结果； 【详解】（1）根据分析，解答如下： 10×m＝10m（页） 答：这本书的总页数为10m页。 （2）根据分析，解答如下： ，10m＝10×6＝60（页） 答：当时，这本书的总页数为60页。 21．用v表示速度，t表示时间，s表示路程，分别写出它们之间的数量关系。 （1）s＝______，v＝______，t＝______。 （2）从上面选一个公式解决问题。 如果每分钟骑行260米，30分钟骑行的路程是多少米？ 【答案】（1）vt；s÷t；s÷v （2）7800米 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，代入字母即可。 （2）将速度和时间代入公式，计算即可求得结果。 【详解】（1）因为路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，所以s＝vt，v＝s÷t，t＝s÷v。 （2）260×30＝7800（米） 答：30分钟骑行的路程是7800米。 22．用两个长分米、宽分米的长方形拼成一个大长方形。 (1)用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长。 (2)当，时，求这个长方形的周长。 【答案】(1) ①分米 ②分米 (2)①分米 ②分米 【分析】（1）两个完全相同的长方形拼接成大长方形，有两种拼接方式：宽边重合拼接和长边重合拼接。先分别确定每种拼法下大长方形的长和宽，再结合长方形周长公式写出含字母的式子； （2）将数值代入对应式子计算即可。 【详解】（1）第一种拼法：将两个长方形的宽边重合，沿长的方向拼接，此时大长方形的长为分米，宽为分米。 周长：分米 第二种拼法：将两个长方形的长边重合，沿宽的方向拼接，此时大长方形的长为分米，宽为分米。 周长：分米 答：拼成的大长方形的周长是分米或分米。 （2）当，时： 宽边重合拼法的周长： （分米） 长边重合拼法的周长： （分米） 答：这个长方形的周长是88分米或80分米。 23．学校买来a个足球，每个足球b元，又买来5个篮球，每个篮球60元。 (1)用含有字母的式子表示买足球和篮球一共花的钱数。 (2)当，时，一共花了多少元？ 【答案】(1)（ab＋300）元 (2)660元 【分析】（1）根据“总价＝单价×数量”，先分别求出足球总价（用含字母的式子表示）和篮球总价，相加得到总花费的字母表达式； （2）将a、b的具体数值代入字母式，计算出总花费。 【详解】（1）a×b＋5×60 ＝（ab＋300）元 答：一共花的钱数：（ab＋300）元 （2）当a＝8，b＝45时 ab＋300 ＝8×45＋300 ＝360＋300 ＝660 答：一共花了660元 24．小青家去年平均每月用水a吨，今年比去年平均每月节约用水b吨。 （1）用含有字母的式子表示小青家今年一共用水多少吨？ （2）当a＝30，b＝5时，小青家今年一共用水多少吨？ 【答案】（1）吨 （2）300吨 【分析】（1）今年小青家平均每月用水吨数＝去年平均每月用水吨数－b，今年共用水吨数＝今年平均每月用水吨数×12，依此即可求解。 （2）将a＝30，b＝5带入（1）中的字母表达式中，进行计算即可解此题。 【详解】（1）（a－b）×12 ＝12（a－b）吨 答：小青家今年一共用水12（a－b）吨。 （2）12×（30－5） ＝12×25 ＝300（吨） 答：小青家今年一共用水300吨。 25．为了备战瑞金市第二届中小学生游泳比赛，小光每分钟游a米，上午游了1小时，下午游了b米。 （1）用式子表示小光一天游了多少米？ （2）当a＝70，b＝5000时，小光一天游了多少米？ 【答案】（1）（60a ＋ b）米 （2）9200米 【分析】（1）根据题意，已知小光每分钟游a米，上午游了1小时，下午游了b米。因为1小时＝60分，小光一天游的总路程为：60a ＋ b，以此答题即可。 （2）当a＝70时，b＝5000时，代入算式计算即可。 【详解】根据分析可知： （1）1小时＝60分 （60a ＋ b）米 答：用式子表示小光一天游了60a ＋ b米。 （2）a＝70，b＝5000时 60a ＋ b ＝60×70＋5000 ＝4200＋5000 ＝9200 答：小光一天游了9200米。 26．一家商店上午售出电视12台,下午售出6台,每台电视售价x元． （1）用含有字母的式子表示上午和下午一共收款多少元． （2）当x=1800时,上午和下午一共收款多少元? 【答案】（1）18x （2）32400元 【详解】（1）18x （2）当x=1800时,18x=18×1800=32400． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学上册单元考点梳理讲义（新教材） 第五单元 用字母表示数和数量关系 目 录 第一部分 考点导图 第二部分 知识考点 第三部分 典例精讲 第四部分 变式训练 考点一：用字母表示数 1．用字母表示数的意义：在数学中，我们可以用字母（如a,b,c,x,y等）来表示数。用字母可以表示任意数、特定的未知数，也可以表示数量关系、运算定律和计算公式。用字母表达更简洁、更具有概括性，是代数学习的基础。 2．书写规则 （1）当数与字母相乘时，乘号可以省略不写，数字写前面。（例如：a×3=3a） （2）当1与字母相乘，1省略不写。（例如：1×x=x） （3）当字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“· ”表示。（例如：a×b=ab） （4）当两个相同的字母相乘时，可以省略乘号，写成这个字母的平方。（例如：a×a=a2，读作a的平方，表示2个a相乘） 【易错点】 （1）加号、减号、除号不能省略。 （2）注意区分a2和2a：a2=a×a；2a=a+a=a×2。 （3）取值范围：字母表示的数要符合实际意义（人数、长度不能为负数、小数）。 考点二：用字母表示数量关系 1．三类基础数量关系式 （1）路程问题： 路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度 （2）价格问题： 总价=单价×数量；单价=总价÷数量；数量=总价÷单价 （3）工作问题： 工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间； 工作时间=工作总量÷工作效率 2．常见数量关系 文字描述 关系类型 字母表达式示例 加法关系 比x多a的数 x+a 减法关系 比x少a的数 x－a 倍数关系 x的a倍 ax 逆倍数 x是某数的a倍，求某数 x÷a 3．解题要点：找准标准量，理清加、减、倍的关系，规范书写含字母式子。 考点三：用字母表示运算定律及计算公式 1．运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 2．平面图形公式 长方形周长：C=2(a+b) 长方形面积：S=ab 正方形周长：C=4a 正方形面积：S=a2 考点四：含有字母式子的化简与求值 1. 化简方法（合并同类项）：只有相同字母的项才能合并，数字相加减，字母不变 2. 代入求值步骤 （1）化简：只合并同类项（字母完全相同），系数相加减，字母保留； （2）求值步骤：①写原式；②代入数字（数字相乘补回乘号）；③分步计算； （3）有平方、括号优先算平方、括号内。 （4）化简通用公式ax±bx=(a±b)x。 【易错点】 （1）代入数字时，数字相乘必须写×，不能省略； （2）不同类字母不能合并； （3）求值结果不带字母，是具体数字。 考点五：用含有字母的式子表示规律 1．解题思路：先列举几组数据，找出变化规律；用字母代表序号，写出通用式子。 2．常见题型：摆小棒、点阵、图形拼接。 3．方法技巧 （1）列表写出1个、2个、3个对应数量； （2）找出固定不变数、每次增加的相同数； （3）规律结构：总数量=每次增加量×字母n+固定余数； （4）代入n验证前几组，检验式子是否正确。 【易错点】 （1）n代表序数，只能取1、2、3……正整数； （2）写出式子后必须带回题目数字验算，避免规律找反； （3）区分“增加几”和“倍数关系”两种规律。 考点六：利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加/减同一个数，等式仍然成立。 若a=b，则：①a＋c=b＋c；②a－c=b－c。 （2）性质2：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若a=b，则：①ac=bc；②a÷c=b÷c（c≠0）。 2．方法技巧 （1）根据题目数量关系列出含未知数x的等式，利用等式性质解方程，求出未知量 （2）目标：把左边化简为单独x，右边算出数值； （3）解完代入原式检验左右是否相等。 3．等式变形通用公式 （1）若x+a=b，则x=b−a； （2）若x−a=b，则x=b+a； （3）若ax=b，则x=b÷a（a≠0）； （4）若x÷a=b，则x=ab。 【易错点】 （1）等式两边必须同步运算，不能只算一边； （2）除数不能为0； （3）求未知数时每一步等号对齐； （4）应用题解出x后，完整写答句。 【典例题型1】 用字母表示数量关系（1个未知数） 1．学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 【答案】 足球的个数 篮球的个数 4x 2x－10 【分析】已知排球有x个，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。根据已知信息逐项分析。 【详解】排球的个数比足球多10个，也就是足球比排球少10个，所以x－10就代表足球的数量。 篮球的个数是排球的3倍，排球总数是x，那么3乘x也就是3x，代表的就是篮球的数量。 排球是x个，篮球是3x个，两者相加x＋3x＝4x，就是篮球和排球的总个数。 排球是x个，足球是x－10个，两者相加x＋（x－10）＝x＋x－10＝2x－10，就是排球和足球的总个数。 【练习】1．如图所示，一张桌子可以坐6人，2张桌子并起来可以坐10人，3张桌子并起来可以坐14人，照这样摆，26人需要( )张桌子，n张桌子并起来可以坐( )人。 【典例题型2】用字母表示运算定律及计算公式 1．23可以表示为10×2＋3，如果一个三位数百位、十位和个位上的数字分别是a、b、c，那么这个三位数可以表示为( )。 【答案】100a＋10b＋c 【分析】23中，2在十位，代表2个10，也就是10×2；3在个位，代表3个1，直接写3。以此类推即可。 【详解】三位数的百位上的数字a，代表a个100，也就是100×a；十位上的数字b代表b个10，也就是10×b；个位上的数字c代表c个1，把三部分加起来，这个三位数就可以表示成100a＋10b＋c。 【练习】1．一个长方形的长是a米，宽是b米（a＞b），它的周长是( )米，面积是( )平方米。从这个长方形上剪下一个最大的正方形，正方形的面积是( )平方米。 【典例题型3】  含有字母式子的化简与求值 1．在百数表中任意圈出一个九宫格，请找出规律并回答下列问题。 (1)如果设九宫格正中间的数为，那么请用含的式子分别表示九宫格内左上角、右上角、左下角和右下角的四个数。 (2)计算九宫格内四个顶角上的数之和，并说明这个和与正中间的数的数量关系。 (3)若九宫格内的九个数的和为360，求九宫格正中间的数。 【答案】(1)左上角：；右上角：；左下角：；右下角： (2)四个顶角上的数之和是正中间的数的4倍。 (3)40 【分析】（1）百数表中，九宫格内上面的数比正中间的数少10，下面的数比正中间的数多10，左边的数比正中间的数少1，右边的数比正中间的数多1，左上角的数比正中间的数少11，右上角的数比正中间的数少9，左下角的数比正中间的数多9，右下角的数比正中间的数多11；据此解答即可； （2）将四个顶角的表达式加起来即可； （3）将九宫格中九个数的表达式加起来，和为360，求出m的值即可。 【详解】（1）左上角：；右上角：；左下角：；右下角： （2）四个顶角上的数相加： 所以四个顶角上的数之和是正中间的数的4倍。 （3）九宫格内的九个数分别是，，，，，，，， 所以，因数＝积÷另一个因数，因此 【练习】1．琼韵工厂制作椰雕，平均每小时生产30个，上午生产a小时，下午生产3小时。 (1)琼韵工厂一天可生产椰雕多少个？（用字母表示） (2)这天生产了210个椰雕，a表示的是几小时？ 【典例题型4】 等式的认识及列等量关系式 1．看图列关系式。 _______＝_______ 【答案】 4x 96 【分析】先观察线段图的数量关系：首先识别图中的元素，上方的1个粉色方块标注长度为厘米，下方的4个和上方完全等长的粉色方块拼接后，总长度标注为96厘米。下方的总长度是4个单段长度相加的和，也就是单段长度的4倍，对应总长度96厘米，由此可以搭建出等式关系。 【详解】从图中可知，每一小段的长度都是厘米，下方的总长度由4段完全相同的小段组成，总长度为96厘米，因此列得的关系式为：（答案不唯一）。 【练习】1．看图列关系式。 _______＝_______ 一、选择题 1．下面几组式子中，左右两边不相等的是（     ）。 A．m2和m×m B．和 C．和 D．和 2．妍妍的爸爸今年b岁，妍妍今年（b－26）岁。10年后，爸爸（     ）岁，他们相差（     ）岁。 A．10，26 B．26，36 C．36，b＋10 D．b＋10，26 3．合唱小组女生有30人，比男生少x人，合唱小组一共有（     ）人。 A．30－x B．30＋x C．60＋x D．60－x 4．李老师买了4筒羽毛球，每筒12个，共花费a元，每个羽毛球（     ）元。 A．4×12÷a B．a÷（4×12） C．4a÷12 D．a÷4×12 5．下面选项中，能用式子表示的是（     ）。 A．线段总长度： B．线段总长度： C．长方形面积： D．长方形周长： 6．下面哪一个不能用“2（a＋b）”表示结果？（     ） A． B． C． D． 7．下面四个选项中，（     ）中两个式子的计算结果一定是相等的。 A．72和7×2 B．b×b和2b C．a＋a和2a D．c＋c和c2 二、填空题 8．两个边长都是a厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是( )。 9．长方形的长是a，宽是b，面积用S表示。用字母表示出长方形的面积是( )。 10．已知比大15，用含有的式子表示，可以表示为( )；当时，的值为( )。 11．小红和妈妈一起去超市购物。买了a千克苹果，每千克5元；又买了b千克香蕉，每千克4元。5a＋4b表示( )。 12．学校有x个排球，篮球的个数是排球的3倍，排球的个数比足球多10个。x－10表示( )，3x表示( )，篮球和排球一共有( )个，排球和足球一共有( )个。 13．已知亮亮家到学校的路程是600米。 (1)亮亮从家去学校，步行速度是60米/分，他t分钟走了( )米，此时距离学校还有( )米。（t小于或等于10） (2)亮亮从家去学校，走了n分钟到达，他的步行速度是( )米/分。 14．用小棒按如下规律摆三角形。 (1)摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)用301根小棒可以摆( )个三角形。 三、计算题 15．化简。                 16．先化简再求值。 当时，求的值。 17．当a＝7，b＝15时，计算下面式子的值． 7a＋5       4b－2.7     3.5a＋3.5b     1.7a－0.1b 四、解答题 18．小明面对远处的山谷喊话，经过3.4秒听到回声，若空气中的声速为v米/秒，则他到山谷的距离是多少？ 19．为践行低碳出行理念，李老师每天骑自行车上、下班。 (1)若用表示骑行速度，t表示骑行时间，表示骑行路程，请用字母表示求骑行速度的数量关系式。 (2)如果李老师某次骑行路程为3300米，用时15分钟，利用上面的式子求出骑行的速度。 20．4月23日是“世界读书日”，学校开展了“图书漂流”活动。丽丽看一本书，每天看10页，天可以全部看完。 (1)用含有字母的式子表示这本书的总页数。 (2)当时，求这本书的总页数。 21．用v表示速度，t表示时间，s表示路程，分别写出它们之间的数量关系。 （1）s＝______，v＝______，t＝______。 （2）从上面选一个公式解决问题。 如果每分钟骑行260米，30分钟骑行的路程是多少米？ 22．用两个长分米、宽分米的长方形拼成一个大长方形。 (1)用含有字母的式子表示拼成的大长方形的周长。 (2)当，时，求这个长方形的周长。 23．学校买来a个足球，每个足球b元，又买来5个篮球，每个篮球60元。 (1)用含有字母的式子表示买足球和篮球一共花的钱数。 (2)当，时，一共花了多少元？ 24．小青家去年平均每月用水a吨，今年比去年平均每月节约用水b吨。 （1）用含有字母的式子表示小青家今年一共用水多少吨？ （2）当a＝30，b＝5时，小青家今年一共用水多少吨？ 25．为了备战瑞金市第二届中小学生游泳比赛，小光每分钟游a米，上午游了1小时，下午游了b米。 （1）用式子表示小光一天游了多少米？ （2）当a＝70，b＝5000时，小光一天游了多少米？ 26．一家商店上午售出电视12台,下午售出6台,每台电视售价x元． （1）用含有字母的式子表示上午和下午一共收款多少元． （2）当x=1800时,上午和下午一共收款多少元? — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $